《2021年2021年椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习付答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年2021年椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习付答案.docx（34页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-一椭圆的定义：1.椭圆的定义：平面与两个定点F1 .F2 的距离之和等于定长大于| F1F2 | 的点的轨迹叫做 椭圆 ；这两个定点F1 . F2 叫做椭圆的 焦点 ，两焦点的距离| F1F2|叫做椭圆的 焦距 ；对椭圆定义的几点说明：1“在平面为前提，否那么得不到平面图形去掉这个条件，我们将得到一个椭球面；2“两个定点的设定不同于圆的定义中的“一个定点，学习时留意区分；3作为到这两个定点的距离的和的“常数，必需满意大于|F1F2| 这个条件；假设不然，当这个“常数等于| F 1 F2| 时，我们得到的为线段F1F
2、2；当这个“常数小于| F 1F2|时，无轨迹；这两种特别情形，同学们必需留意；4下面我们对椭圆进展进一步观看，发觉它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心， 我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B1， B2，于为我们易得| A 1A2|的值就为那个“常数，且|B 2F2|+|B2 F1| .|B 1F2|+|B1F1| 也等于那个“常数；同学们想 一想其中的道理；5中心在原点.焦点分别在x 轴上， y 轴上的椭圆标准方程分别为：x 2y2a 2b21(ab0)、y 2x 2a2b21(ab0)、一样点为：外形一样.大小一样；都有a b 0， a2c2b2 ；不同点为：
3、 两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同第一个椭圆的焦点坐标为c，0和 c， 0，其次个椭圆的焦点坐标为0， c和 0，c；椭圆的焦点在x 轴上的分母较大；标准方程中x2 项的分母较大；椭圆的焦点在y 轴上标准方程中y2 项二椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类为与坐标系有关的性质，如顶点.焦点.中心坐标；一类为与坐标系无关的本身固有性质，如长.短轴长.焦距.离心率对于第一类性质，只x 2y2要a2b21(ab0)的 有 关 性 质 中 横 坐 标x和 纵 坐 标y互 换 ， 就 可 以 得 出y2x 2a2b21(ab0) 的有关性质；总结如下：. word.zl-第
4、 1 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-几点说明：1长轴：线段A1 A2 ，长为 2a ；短轴：线段B1B2 ，长为 2b ；焦点在长轴上；2对于离心率e，由于 ac0 ，所以 0e1 ，离心率反映了椭圆的扁平程度；ca2b2由于 eaab21a2，所以 e 越趋近于1，b 越趋近于 0 ，椭圆越扁平； e越趋近于0， b 越趋近于 a ，椭圆越圆；3观看以下图，OF 2B2三直线与椭圆：| OB2 |b、| OF2 |c ，所以| B2 F2 |a ，所以椭圆的离心率e = cos直线 l
5、：AxByC0 A . B 不同时为0x2y2椭圆 C ：a2b 21(ab0)那么如何来判定直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判定直线和椭圆交点的情形；方法如下：AxByC0x2y2消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，化简后形式如下a2b21. word.zl-第 2 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-1当0 时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点；2当3当0 时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点相切0 时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点；mx
6、2nxp0(m0) ，n24mp注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为A( x1 、 y1 ) 、 B(x2 、 y2 ) ，那么线段AB 的长度即弦长为| AB |( xx )2( yy)2 ，设直线的斜率为k ，1212可得：| AB |( xx ) 2 k ( xx ) 21k2 | xx| ，然后我们可通过求出方程的121212根或用韦达定理求出；典型例题一例 1椭圆的一个顶点为A 2，0，其长轴长为短轴长的2 倍，求椭圆的标准方程分析： 题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：1当A 2，0为长轴端点时，a2 ， b1 ，x2y2椭圆的标准方程为：1 ；412当A 2，0为短轴
7、端点时，b2 ， a4 ，x2y2椭圆的标准方程为：1 ；416说明： 椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，为不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情形典型例题二例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率解：2ca 212c33c2a 2 ，13 e33说明： 求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一为求a ，求 c ，再求比二为列含 a 和 c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可典型例题三例 3中心在原点， 焦点在 x 轴上的椭圆与直线xy10 交于 A .B 两点， M 为 AB 中. word.zl-第 3 页，共 28 页 - - - - -
8、 - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-点， OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程x2解： 由题意，设椭圆方程为y21 ，a 2xy12由x2a2y0，得 11a 22x2a2 x0 ， xx1x21a 21， y1x，M2a2MM1a 2yMkOMxM112， a4 ，a 242 xy241 为所求说明： 1此题求椭圆方程采纳的为待定系数法；2直线与曲线的综合问题，常常要借用根与系数的关系，来解决弦长.弦中点.弦斜率问题典型例题四x2y 2例 4 椭圆1上不同三点A x1， y19， B 4， C x2，y2与焦点
9、 F4，0的距离25951求证x1x28；成等差数列2假设线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为 T ，求直线BT 的斜率 k 证明：1由椭圆方程知a5 ， bAF3 ， c4 c由圆锥曲线的统肯定义知：2，xaa1c4 AFaex145x1 5同理 CF5x2 59 AFCF2 BF，且 BF，545x154185x2，55即 x1x28 . word.zl-第 4 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-2由于线段AC 的中点为yy124，所以它的垂直平分线方程为2yy1y22x1x2x4 y1
10、y2又点 T 在 x 轴上，设其坐标为x0，0，代入上式，得yy2212x042 x1x2又点A x1， y1， B x2，y2都在椭圆上，yx112925225yx222925225229 y1y2x1x2x125x2将此式代入，并利用x1x28 的结论得36x042590 k BT55 4x04典型例题五x2y 2例 5 椭圆1 ， F1 . F2 为两焦点， 问能否在椭圆上找一点M ，使 M 到左准线 l 的43距 离 MN 为MF1 与MF2的等比中项？假设存在，那么求出点M 的坐标；假设不存在，请说明理由解： 假设 M 存在，设 Mx1， y1，由条件得a2 ， b3 ， c1 ，
11、e1 2左准线 l 的方程为x4 ， MN4x1 又由焦半径公式知：. word.zl-第 5 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-MF1aex112x1 ，2MF2aex112x1 22 MNMF1MF 2 ，2 x1412x1212x12整理得解之得5x 21x132x1480 124 或 x15另一方面2x12 那么与冲突，所以满意条件的点M 不存在说明：1利用焦半径公式解常可简化解题过程2本例为存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，依据条件进展推理和运算进而依据推理得到的
12、结果，再作判定3本例也可设M 2 cos， 3 sin存在，推出冲突结论读者自己完成典型例题六x2例 6 椭 圆2y21 ，求过点 P11，22且被 P 平分的弦所在的直线方程分析一： 一点求直线，关键为求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k 解法一： 设所求直线的斜率为k ，那么直线方程为y12kx12代入椭圆方程，并整理得12k 2 x22k 22k x 2k 21 k 2k30 222k由韦达定理得x1x212k 21 P 为弦中点，x1x21故得 k2所以所求直线方程为2 x4 y30 分析二： 设弦两端坐标为x1，y1.x2，y2，列关于x1 . x2 . y1 .y2 的方程组，从.
13、 word.zl-第 6 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-y1y2而求斜率：x1x2，解法二： 设过 P1122x2的直线与椭圆交于A x1，y1. B x2， y2，那么由题意得y1121，2x2y2221，2x1x21，yy1y21.得22y12x1x22220 将.代入得y1y2x1x211，即直线的斜率为22所求直线方程为2 x4 y30 说明：1有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹2解法二为“点差法，解决有关弦中点问题的题较
14、便利，要点为巧代斜率3有关弦及弦中点问题常用的方法为：“韦达定理应用及“点差法有关二次曲线问题也适用典型例题七例 7 求适合条件的椭圆的标准方程1长轴长为短轴长的2 倍，且过点2， 6 ；2在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机相互垂直，且焦距为6x2y2分析： 当方程有两种形式时，应分别求解，如1题中由1 求出 a 2148 ，a 2b2x2y2y2x2b 237，在得方程1后，不能依此写出另一方程1 1483714837解：1设椭圆的标准方程为x2y2y21 或a 2b 2a 22x1 b 2由 a2b 又过点2， 6，因此有. word.zl-第 7 页，共 28 页 - - - -
15、- - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-22261 或22621a 2b 2a 2b 2由.，得a 2148 ， b237 或 a 252 ， b 213故所求的方程为x2y 2y 2x21 或1 148375213x2y2 2设方程为1 由， c3 ， bc3 ，所以 a 218 故所求方程为a2b 2x2y21 189说明： 依据条件求椭圆的标准方程的思路为“选标准，定参数关键在于焦点的位置2为否确定，假设不能确定，应设方程x2y2a 2b2y21 或 a 2x1 b2典型例题八2例 8 椭 圆 x2y1 的右焦点为F ，过点A
16、 1，3，点 M 在椭圆上， 当AM2 MF1612为最小值时，求点M 的坐标 分析： 此题的关键为求出离心率1e1 ，把22 MF转化为 M 到右准线的距离，从而得最小值一般地，求AMMF均可用此法e1解：由： a4 ， c2 所以e，右准线2l： x8 过 A 作 AQl ， 垂 足 为 Q ， 交 椭 圆 于 M， 故MQ2 MF明显AM2 MF的最小值为AQ ， 即 M为所求点，因此 yM3 ，且 M 在椭圆上 故 xM23 所以 M 23， 3 1说明： 此题关键在于未知式AM2 MF中的“ 2的处理事实上，如图，e，2即 MF 为 M 到右准线的距离的一半，即图中的 MQ ，问题转
17、化为求椭圆上一点M ， 使 M到 A 的距离与到右准线距离之和取最小值典型例题九. word.zl-第 8 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-x2例 9 求椭圆3y21 上的点到直线xy60 的距离的最小值分析： 先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值x解： 椭圆的参数方程为3 cos，设椭圆上的点的坐标为3 cos，sin，那么点ysin.到直线的距离为3 cossin62 sin36d22当 sin31时，d最小值22 说明： 当直接设点的坐标不易解决问
18、题时，可建立曲线的参数方程典型例题十例 10 设椭圆的中心为坐标原点，长轴在x 轴上，离心率330e，点 P，22到这个椭圆上的点的最远距离为7 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7 的点的坐标分析： 此题考察椭圆的性质.距离公式. 最大值以及分析问题的才能，在求 d 的最大值时，要留意争论b 的取值围此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式.平面几何.三角等学问解决一些综合性问题，从而加强等价转换.形数结合的思想，提高规律推理才能解法一： 设所求椭圆的直角坐标方程为x2y 2a 2b 21 ，其中 ab0 待定c2a 2b2b 2由 e21可得a2a2a
19、 2b1e2 a131 ，即42a 2b 设椭圆上的点x，y到点 P 的距离为 d ，那么d 2x222y3a 2 1y2b 2y23 y94. word.zl-第 9 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-4b23y23 y9423y124b23其中byb 1假如 b，那么当y 2b 时，d 2 从而 d 有最大值223311由题设得7b，由此得 b2117，与 b冲突2222因此必有b 成立，于为当2y时，22d从而 d 有最大值由题设得74b 23 ，可得 b1 ， a2 x2y2所求椭圆方
20、程为1 41由 y1 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点213，点213，到点2P 0 3的距离为7 ，2解法二： 依据题设条件，可取椭圆的参数方程为x acosy bsin，其中 ab0 ，待定，02，为参数c2a2b2b2由 e21可得a2b1e2 aa2a131 ，即42a 2b 设椭圆上的点x，y到 点 P 0 3的距离为 d ，那么，2222dxy3 222a cos2b sin324b 23b 2 sin 23bsin943b2sin214b232b. word.zl-第 10 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - -
21、- - - - - - -.-1假如1，即2b1b ，那么当2sin1 时，d 2 从而 d 有最大值2233111由题设得7b，由此得 b7，与 b冲突，因此必有12成立122222b于为当sin时 d从而 d 有最大值22b由题设知74b 23 ， b1 ， a2 所求椭圆的参数方程为x 2 cosy sin由 sin1， cos23，可得椭圆上的为23， 1，23， 12典型例题十一例 11 设 x ， yR ， 2x23y26x ，求 x2y22 x 的最大值和最小值分析：此题的关键为利用形数结合，观看方程2x23y 26x 与椭圆方程的构造一样设x2y22xm ，明显它表示一个圆，由
22、此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值解： 由 2x23y 26x ，得232xy219342可见它表示一个椭圆，其中心在3 ，02点，焦点在x 轴上，且过0， 0点和 3，0点设 x 22x1y 22xy2mm ，那么1它表示一个圆，其圆心为1， 0半径为m1 m1 在同一坐标系中作出椭圆及圆，如下图观看图形可知，当圆过0，0点时，半径最小，即m11 ，此时 m0 ；当圆过3，0点时， 半径最大， 即m14 ， m15 . word.zl-第 11 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-
23、 x 2y22x的最小值为0，最大值为15典型例题十二x2例 12 椭圆 C： 2ay1 a2b 2b0 ， A . B 为其长轴的两个端点1过一个焦点F 作垂直于长轴的弦PP ，求证：不管 a .b 如何变化，APB120 2假如椭圆上存在一个点Q ，使AQB120，求 C 的离心率 e 的取值围分析： 此题从条件动身，两问都应从APB 和AQB 的正切值动身做出估量，因此要 从点的坐标.斜率入手此题的第2问中，其关键为依据什么去列出离心率e 满意的不等 式 ， 只 能 为 椭 圆 的 固 有 性 质 ：xa ，yb ， 根 据AQB120得 到2ay3 ， 将 x2a 22ay2 代入，消
24、去 x ，用 a .b .c 表示 y ，以便利用ybx2y2a 2b 2列出不等式这里要求思路清晰，运算精确，一气呵成解：1设 Fc，0 ， Aa，0， B a，0 xc b2 x2a2 y2a2b2b2P c， a于为 k APb2a ca， kBPb2a caAPB 为 AP 到 BP 的角b2b2 tanAPBa ca1a2a ca b4c2a22a 2c2. word.zl-第 12 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.- a 2c2 tanAPB2故 tanAPB3 APB120 yy
25、2设 Q x，y，那么 kQA， k QBxaxa由于对称性，不妨设yy0 ，于为AQB 为 QA 到 QB 的角y tanAQBxaxa y21x2a22ayx2y2a22ayAQB120 ，2xy 2a 23整理得3 x 2y2a22ay0 x 2a 222ab 2 ya23 1y2b22ay0 y0 ， y2ab23c2 yb ，2ab2b3c22ab3c2 ， 4a 2 a2c23c2 4c44 a2 c24a 40 ， 3e44e2402326 e或 e 22 舍，3e1典型例题十三x2y2例 13 椭圆1 的离心率1e，求 k 的值k892分析： 分两种情形进展争论. word.z
26、l-第 13 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-解：当椭圆的焦点在x 轴上时， a 2k8 ，b 29 ，得 c21k1 由 e，得 k4 2当椭圆的焦点在y 轴上时， a29 ， b 2k8 ，得 c21k 11k由 e，得291 ，即 k5 44满意条件的k4 或 k5 4说明： 此题易显现漏解排除错误的方法为：由于k8 与 9 的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上故必需进展争论典型例题十四2例 14 椭圆x2y1上一点 P 到右焦点F 的距离为 b (b1) ，
27、求 P 到左准线的距4b 2b22离分析： 利用椭圆的两个定义，或利用其次定义和椭圆两准线的距离求解2解法一： 由x 24b 2y1 ，得 b 2a2b ， c3b ， e3 2由椭圆定义，PF1PF22a4b ，得PF14bPF24bb3b PF1由椭圆其次定义，e， d1 为 P 到左准线的距离，d1 d1PF1e23b ，即 P 到左准线的距离为23bPF2c3解法二： e， d2 为 P 到右准线的距离，e，d2a2 d 2PF2e23 b 3a2又椭圆两准线的距离为2c83 b 3 P 到左准线的距离为83 b323 b323b . word.zl-第 14 页，共 28 页 - -
28、 - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-说明： 运用椭圆的其次定义时，要留意焦点和准线的同侧性否那么就会产生误会椭圆有两个定义， 为从不同的角度反映椭圆的特点，解题时要敏捷挑选，运用自如 一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第肯定义；假如遇到动点到定直线的距离问题，那么用椭圆的其次定义典型例题十五x例 15 设椭圆4 cos、(为参数 )上一点 P 与 x 轴正向所成角POx，求P 点坐标y23 sin.3分析： 利用参数与POx 之间的关系求解解： 设 P( 4cos、 23 sin) ，由 P 与 x 轴正向所成
29、角为，3 tan323 sin 4 cos，即 tan2 而 sin0 ， cos0 ，由此得到cos5 ， sin25 ，55 P 点坐标为( 455、 415 ) 5典型例题十六例16设P(x0、 y0 )为 离 心 率 为e 的 椭 圆x2y2a2b 21 (ab0) 上的一点， P 到左焦点F1 和右焦点 F2的 距 离 分 别 为r1 和r2 ， 求 证 ： r1aex0 ，r2aex0 分析：此题考察椭圆的两个定义，利用椭圆其次定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离a 2a2解： P 点到椭圆的左准线l： x的距离，PQcx0，cPF1由椭圆其次定义，e， PQ r1
30、e PQaex0 ，由椭圆第肯定义，r 22ar1aex0 说明： 此题求证的为椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径或焦点弦的有关问. word.zl-第 15 页，共 28 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-题时，有着广泛的应用请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式典型例题十七x2y2例 17椭圆1 有一点A(1 、1) ， F1 .F2 分别为95椭圆的左.右焦点，点P 为椭圆上一点(1) 求 PAPF1的最大值.最小值及对应的点P 坐标；(2) 求 PA3PF22的最小值及对应的点P 的坐标分析：此题
31、考察椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一为目标函数当，即代数方法二为数形结合，即几何方法此题假设按先建立目标函数，再求最值，那么不易解决；假设抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解解 ： (1) 如 上 图 ， 2a6 ， F2 (2 、 0) ，AF22 ， 设 P 为 椭 圆 上 任 一 点 ， 由PF1PF22a6，PAPF2AF2，PAPF1PF1PF2AF22aAF262 ，等号仅当PAPF2AF2 时成立，此时 P . A . F2 共线由 PAPF2AF2， PAPF1PF1PF2AF22aAF262 ，等号仅当PAPF2AF2时成立，此时P . A .F2 共线建立 A .F2 的直线方程xy20 ，解方程组xy2225x9 y0、得两交点451P ( 97