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1、第一章第一章 第一节第一节 函数函数关于函数矩阵与矩阵微分方程北京理工大学高数教研室*现在学习的是第1页，共46页称为函数矩阵，其中所有的元素称为函数矩阵，其中所有的元素都是定义在闭区间都是定义在闭区间 上的实函数。上的实函数。函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，乘函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，乘法，转置等几种运算，并且运算法则完全相同。法，转置等几种运算，并且运算法则完全相同。例：例：已知已知北京理工大学高数教研室*现在学习的是第2页，共46页计算计算定义：定义：设设 为一个为一个 阶函数矩阵，如果存阶函数矩阵，如果存在在 阶函数矩阵阶函数矩阵 使得对于任何使得对于任何 都有都有那
2、么我们称那么我们称 在区间在区间 是是可逆的可逆的。北京理工大学高数教研室*现在学习的是第3页，共46页称称 是是 的逆矩阵，一般记为的逆矩阵，一般记为例例：已知已知那么那么 在区间在区间 上是可逆的，其逆为上是可逆的，其逆为北京理工大学高数教研室*现在学习的是第4页，共46页函数矩阵可逆的充分必要条件函数矩阵可逆的充分必要条件定理定理:阶矩阵阶矩阵 在区间在区间 上可逆的充分上可逆的充分必要条件是必要条件是 在在 上处处不为零，并且上处处不为零，并且其中其中 为矩阵为矩阵 的伴随矩阵。的伴随矩阵。定义：定义：区间区间 上的上的 型矩阵函数不恒等型矩阵函数不恒等于零的子式的最高阶数称为于零的子
3、式的最高阶数称为 的的秩秩。北京理工大学高数教研室*现在学习的是第5页，共46页特别地，设特别地，设 为区间为区间 上的上的 阶矩阵函数，阶矩阵函数，如果如果 的秩为的秩为 ，则称，则称 一个一个满秩矩阵满秩矩阵。注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不是等注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是满秩的却价的。即：可逆的一定是满秩的，但是满秩的却不一定是可逆的。不一定是可逆的。例例 ：已知已知北京理工大学高数教研室*现在学习的是第6页，共46页那么那么 。于是。于是 在任何区间在任何区间 上的秩都是上的秩都是2。即。即 是满秩的。但是是满秩的。但是 在在 上是
4、否可逆，完全依赖于上是否可逆，完全依赖于 的取值。当区间的取值。当区间 包含有原点时，包含有原点时，在在 上有零点，从而上有零点，从而 是不可逆的是不可逆的。函数矩阵对纯量的导数和积分函数矩阵对纯量的导数和积分 定义：定义：如果如果 的所有各元素的所有各元素 在在 处有极限，即处有极限，即 北京理工大学高数教研室*现在学习的是第7页，共46页其中其中 为固定常数。则称为固定常数。则称 在在 处有处有极限极限，且记为且记为其中其中北京理工大学高数教研室*现在学习的是第8页，共46页如果如果 的各元素的各元素 在在 处连续，即处连续，即则称则称 在在 处处连续连续，且记为，且记为其中其中北京理工大
5、学高数教研室*现在学习的是第9页，共46页容易验证下面的等式是成立的：容易验证下面的等式是成立的：设设则则北京理工大学高数教研室*现在学习的是第10页，共46页定义定义：如果如果 的所有各元素的所有各元素 在点在点 处处(或在区间或在区间 上上)可导，便称此函数矩阵可导，便称此函数矩阵 在点在点 处处(或在区间或在区间 上上)可导可导，并且，并且记为记为北京理工大学高数教研室*现在学习的是第11页，共46页北京理工大学高数教研室*现在学习的是第12页，共46页函数矩阵的导数运算有下列性质：函数矩阵的导数运算有下列性质：(1)是常数矩阵的充分必要条件是是常数矩阵的充分必要条件是(2)设设(3)均
6、可导，则均可导，则 北京理工大学高数教研室*现在学习的是第13页，共46页(3)设设 是是 的纯量函数，的纯量函数，是函数矩是函数矩(4)阵，阵，与与 均可导，则均可导，则(5)特别地，当特别地，当 是常数是常数 时有时有北京理工大学高数教研室*现在学习的是第14页，共46页(4)设设 均可导，且均可导，且 与与 是可是可乘的，则乘的，则因为矩阵没有交换律，所以因为矩阵没有交换律，所以北京理工大学高数教研室*现在学习的是第15页，共46页(5)如果如果 与与 均可导，则均可导，则(6)设设 为矩阵函数，为矩阵函数，是是 的纯量函的纯量函数，数，与与 均可导，则均可导，则北京理工大学高数教研室*
7、现在学习的是第16页，共46页定义：定义：如果函数矩阵如果函数矩阵 的所有的所有各元素各元素 在在 上可积，则称上可积，则称 在在 上上可积可积，且且北京理工大学高数教研室*现在学习的是第17页，共46页函数矩阵的定积分具有如下性质：函数矩阵的定积分具有如下性质：例例1：已知函数矩阵已知函数矩阵试计算试计算北京理工大学高数教研室*现在学习的是第18页，共46页证明：证明：北京理工大学高数教研室*现在学习的是第19页，共46页由于由于 ，所以，所以下面求下面求 。由伴随矩阵公式可得。由伴随矩阵公式可得 北京理工大学高数教研室*现在学习的是第20页，共46页再求再求北京理工大学高数教研室*现在学习
8、的是第21页，共46页例例2：已知函数矩阵已知函数矩阵北京理工大学高数教研室*现在学习的是第22页，共46页试求试求例例3：已知函数矩阵已知函数矩阵试求试求证明：证明：北京理工大学高数教研室*现在学习的是第23页，共46页同样可以求得同样可以求得北京理工大学高数教研室*现在学习的是第24页，共46页例例4：已知函数矩阵已知函数矩阵试计算试计算北京理工大学高数教研室*现在学习的是第25页，共46页函数向量的线性相关性函数向量的线性相关性定义定义：设有定义在区间设有定义在区间 上的上的 个连续的函数向个连续的函数向量量如果存在一组不全为零的常实数如果存在一组不全为零的常实数使得对于所有的使得对于所
9、有的 等式等式成立，我们称，在成立，我们称，在 上上 线性相关线性相关。北京理工大学高数教研室*现在学习的是第26页，共46页否则就说否则就说 线性无关。即线性无关。即如果只有在如果只有在 等式才成立，等式才成立，那么就说那么就说 线性无关。线性无关。定义定义：设设 是是 个定义在区个定义在区间间 上的连续函数向量上的连续函数向量记记北京理工大学高数教研室*现在学习的是第27页，共46页以以 为元素的常数矩阵为元素的常数矩阵称为称为 的的Gram矩阵，矩阵，称为称为Gram行列式行列式。定理定理：定义在区间定义在区间 上的连续函数向量上的连续函数向量 线性无关的充要条件是它线性无关的充要条件是
10、它的的Gram矩阵为满秩矩阵。矩阵为满秩矩阵。北京理工大学高数教研室*现在学习的是第28页，共46页例例：设设则则于是于是 的的Gram矩阵为矩阵为北京理工大学高数教研室*现在学习的是第29页，共46页所以所以故当故当 时，时，在在 上是线性无关的。上是线性无关的。北京理工大学高数教研室*现在学习的是第30页，共46页定义：定义：设设 是是 个定义在区间个定义在区间 上的上的 有有 阶导数的函数向量，记阶导数的函数向量，记那么称矩阵那么称矩阵北京理工大学高数教研室*现在学习的是第31页，共46页北京理工大学高数教研室*现在学习的是第32页，共46页是是 的的Wronski矩阵。矩阵。其中其中
11、分别是分别是 的一阶，二阶，的一阶，二阶，阶导数矩阵。阶导数矩阵。定理：定理：设设 是是 的的Wronski矩阵。如果在区间矩阵。如果在区间 上的某个点上的某个点 ，常数矩阵，常数矩阵 的秩等于的秩等于 ，则向，则向量量 在在 上线性无关。上线性无关。北京理工大学高数教研室*现在学习的是第33页，共46页例例：设设则则因为因为 的秩为的秩为2，所以，所以 与与 线性无线性无关。关。北京理工大学高数教研室*现在学习的是第34页，共46页 函数矩阵在微分方程中的应用函数矩阵在微分方程中的应用形如形如北京理工大学高数教研室*现在学习的是第35页，共46页的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后可
12、的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后可的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后可的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后可以表示成如下形式以表示成如下形式以表示成如下形式以表示成如下形式其中其中其中其中北京理工大学高数教研室*现在学习的是第36页，共46页北京理工大学高数教研室*现在学习的是第37页，共46页上述方程组的初始条件为上述方程组的初始条件为可以表示成可以表示成定理：定理：设设 是一个是一个 阶常数矩阵，则微分方阶常数矩阵，则微分方程组程组满足初始条件满足初始条件 的解为的解为北京理工大学高数教研室*现在学习的是第38页，共46页定理：定理：设设 是一个是一个 阶常数
13、矩阵，则微分方程阶常数矩阵，则微分方程组组满足初始条件满足初始条件 的解为的解为例例1：设设北京理工大学高数教研室*现在学习的是第39页，共46页求微分方程组求微分方程组 满足初始条满足初始条件件 的解。的解。解：解：首先计算出矩阵函数首先计算出矩阵函数北京理工大学高数教研室*现在学习的是第40页，共46页由前面的定理可知微分方程组由前面的定理可知微分方程组满足初始条件满足初始条件 的解为的解为北京理工大学高数教研室*现在学习的是第41页，共46页例例2：设设求微分方程组求微分方程组 满足初始满足初始条件条件 的解。的解。解：解：由上述定理可知满足所给初始条件的微分方由上述定理可知满足所给初始条件的微分方程组解为程组解为北京理工大学高数教研室*现在学习的是第42页，共46页由上面的例题可知由上面的例题可知而而北京理工大学高数教研室*现在学习的是第43页，共46页所以有所以有北京理工大学高数教研室*现在学习的是第44页，共46页故有故有北京理工大学高数教研室*现在学习的是第45页，共46页第一章第一章 第一节第一节 函数函数感谢大家观看26.09.2022现在学习的是第46页，共46页