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1、第三章线性系统的时域分析法第五讲本讲稿第一页，共四十六页系统输出拉氏变换：系统输出拉氏变换：系统传递函数的一般表达式：系统传递函数的一般表达式：(s)=a0sn+a1sn-1+an-1s+an=C(s)R(s)b0sm+b1sm-1+bm-1s+bmnm(s)R(s)a0sn+a1sn-1+an-1s+an=C(s)=1b0sm+b1sm-1+bm-1s+bmsA0=ss-s1+A1Ans-sn系统单位阶跃响应：系统单位阶跃响应：c(t)=A0+A1es1t+Anesnt 稳定的系统其瞬态分量应均为零。稳定的系统其瞬态分量应均为零。即：即：lim esit0t 系统系统稳定稳定的充要条件：的充
2、要条件：系统所有特征根的实部小于零。系统所有特征根的实部小于零。本讲稿第二页，共四十六页二、劳斯稳定判据二、劳斯稳定判据 根根据据稳稳定定的的充充分分与与必必要要条条件件,求求得得特特征征方方程程的的根根,就就可可判判定定系系统统的的稳稳定定性性.但但对对于于高高阶阶系系统统求求解解方方程程的的根根比比较较困困难难.劳劳斯斯稳稳定定判判据据是是根根据据闭闭环环传传递递函函数数特特征征方方程程式式的的各各项项系系数数,经过代数运算来判别系统的稳定性。经过代数运算来判别系统的稳定性。本讲稿第三页，共四十六页本讲稿第四页，共四十六页本讲稿第五页，共四十六页本讲稿第六页，共四十六页本讲稿第七页，共四十
3、六页三、劳斯判据的两种特殊情况三、劳斯判据的两种特殊情况本讲稿第八页，共四十六页例例1 已知系统的特征方程，试判断系统的已知系统的特征方程，试判断系统的 稳定性。稳定性。s3+2s2+s+2=0例例2 已知系统的特征方程已知系统的特征方程,试用劳斯判据确试用劳斯判据确 定方程的根在定方程的根在s平面上的分布。平面上的分布。s3-3s+2=0例例3 已知系统的特征方程已知系统的特征方程,试求所有的根。试求所有的根。s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0roots(1 2 8 12 20 16 16)本讲稿第九页，共四十六页4本讲稿第十页，共四十六页本讲稿第十一页，共四十六页已
4、知特征方程已知特征方程有一对纯虚根，试求出所有根。有一对纯虚根，试求出所有根。1 4 a2 8 2a0 0辅助方程：辅助方程：本讲稿第十二页，共四十六页四、劳斯判据的应用四、劳斯判据的应用（1）确定可调参数对系统稳定性的影响）确定可调参数对系统稳定性的影响（2）判断系统稳定的程度）判断系统稳定的程度本讲稿第十三页，共四十六页例例1、系统如图所示，试确定系统稳定放、系统如图所示，试确定系统稳定放 大倍数大倍数K的取值范围。的取值范围。Ks(0.1s+1)(0.25s+1)_R(s)C(s)解：解：特征方程特征方程:s3+14s2+40s+40K=0劳斯表劳斯表:1 40 s3 s2 s1 560
5、-40K s0 40K 14 40K 系统稳定的条件系统稳定的条件:0K0K0即即K0 1+T T 本讲稿第十八页，共四十六页_R(s)C(s)s+1s+1Ks2(Ts+1)2加入比例微分环节加入比例微分环节 系统中加入比例微分环节结构图系统中加入比例微分环节结构图加加入入比比例例微微分分特征方程变为：特征方程变为：劳斯表劳斯表:s3 T K 1 K s2 s1 K(-T)K s0 系统稳定的条件系统稳定的条件:TK0本讲稿第十九页，共四十六页第三章 系统的时域性能指标3.1 系统的时域性能指标系统的时域性能指标3.2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时
6、域分析3.4 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析3.5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析3.6 线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算本讲稿第二十页，共四十六页本讲稿第二十一页，共四十六页响应曲线响应曲线本讲稿第二十二页，共四十六页提醒：提醒：本讲稿第二十三页，共四十六页本讲稿第二十四页，共四十六页应用条件：应用条件：sE(s)的极点均位于s左半平面(包括坐标原点)本讲稿第二十五页，共四十六页本讲稿第二十六页，共四十六页等效单位反馈：本讲稿第二十七页，共四十六页本讲稿第二十八页，共四十六页本讲稿第二十九页，共四十六页G0H0注意：注意：s 0时，时，G0H0一定一定1此时的此时
7、的k为开环增益为开环增益s表示表示开环开环有有个个极点在坐标原点极点在坐标原点=0称为称为0型系统型系统 称为称为型系统型系统称为称为型系统型系统称为称为型系统型系统=1=2=3提个醒！提个醒！1 k2 系统型别与开环增益系统型别与开环增益设开环传递函数设开环传递函数G(s)H(s)=本讲稿第三十页，共四十六页本讲稿第三十一页，共四十六页本讲稿第三十二页，共四十六页静态误差系数静态误差系数G(s)R(s)E(s)C(s)E(s)=R(s)1+G(s)H(s)1若若系统稳定系统稳定,则则可用终值定理求可用终值定理求essess=lim s1+ksG0H0R(s)0sR(s)=R/sr(t)=R1
8、(t)ess=1+ksRlim0sr(t)=VtR(s)=V/s2ess=sVlim0sksr(t)=At2/2R(s)=A/s3ess=s2Alim0skskpkvka典型输入下的典型输入下的稳态误差与稳态误差与H(s)本讲稿第三十三页，共四十六页取不同的取不同的r(t)=R1(t)ess=1+ksRlim0sr(t)=Vtess=sVlim0sksr(t)=At2/2ess=s2Alim0sks型型0型型型型R1(t)R1+kV kVt000A kAt2/2kkk000静态误差系数静态误差系数稳态误差稳态误差1 e与与k的关系的关系2 e与与的关系的关系3 e与与r的关系的关系Kp=?Kv
9、=?Ka=?啥时能用表格？啥时能用表格？表中误差为无穷表中误差为无穷时系统还稳定吗时系统还稳定吗?小结：小结：R1(t)VtAt2/2kpkvka本讲稿第三十四页，共四十六页例题例题3 已知单位反馈系统开环已知单位反馈系统开环传递函数为传递函数为G(s)，输入为，输入为r(t)，试求稳态误差，试求稳态误差ess。r1(t)=1(t)r2(t)=tr3(t)=t2解：解：0型型型型型型k=10k=21/8k=8ess=1/11ess=8/21ess=1/8系统系统2不稳定，不稳定，系统系统3的的A=2，ess ess=1/4本讲稿第三十五页，共四十六页例例 已知系统的结构如图已知系统的结构如图,
10、求系统的稳态误差。求系统的稳态误差。0.5_100s(s+10）R(s)C(s)解：解：G(s)H(s)=1000.5s(s+10)系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为+R(s)=s1s21s(0.1s+1)5 =型型K=5ess1=0R(s)=s1R(s)=s21ess2=1/5essr=ess1+ess2=0.2本讲稿第三十六页，共四十六页全过程全过程Gn(s)的设计的设计1 按扰动的按扰动的全全补偿补偿N(s)R(s)Gn(s)T1s+1k1s(T2s+1)k2C(s)E(s)令令R(s)=0,En(s)=-C(s)=令分子令分子=0，得，得Gn(s)=-(T1s+1)/k1这就是按
11、扰动的这就是按扰动的全全补偿补偿全全各种干扰信号各种干扰信号2 按按扰动扰动的的稳态稳态补偿补偿设系统稳定，设系统稳定，N(s)=1/s,则则essn=limsC(s)=lims0s0 Gn(s)=-1/k1减小和消除误差的方法减小和消除误差的方法-本讲稿第三十七页，共四十六页令令N(s)=0,Er(s)=令分子令分子=0，得，得Gr(s)=s(T2s+1)/k21 按按输入输入的的全全补偿补偿N(s)R(s)Gr(s)T1s+1k1s(T2s+1)k2C(s)E(s)设系统稳定，设系统稳定，R(s)=1/s2 则则essr=limsEr(s)=lims0s01-k2SGr(s)k1k2k2S
12、Gr(s)=2 按按输入输入的的稳态稳态补偿补偿s(T1s+1)(T2s+1)s(T1s+1)(T2s+1)+k1k2-k2(T1s+1)Gr(s)R(s)Gr(s)的设计的设计减小和消除误差的方法减小和消除误差的方法-本讲稿第三十八页，共四十六页例题例题1s(T1s+1)(T2s+1)1s+2s2s(T1s+1)(T2s+1)k2k1R(s)E(s)C(s)求图示系统中的求图示系统中的1、2，使系统由使系统由一阶无差系统变为三阶无差系统。一阶无差系统变为三阶无差系统。解：解：er(s)=s(T1s+1)(T2s+1)k1k21+1s(T1s+1)(T2s+1)+k1k2因为因为一阶无差一阶无
13、差所以所以系统稳定系统稳定系统稳定系统稳定，则当分子，则当分子只有只有s3项时，由终值定理可得项时，由终值定理可得:ess=limser(s)R(s)s0=lim ss0k1k2T1T2s3s3R=0 1k2=12k2=T1+T2即即:1=1/k22=(T1+T2)/k2本讲稿第三十九页，共四十六页例题2R(s)C(s)求二阶无差度的求二阶无差度的ko和和 0k00，T20，k0本讲稿第四十页，共四十六页例题例题3求图示系统的求图示系统的essn。5sr=0(0.1s+1)(0.5s+1)2c(t)(1)n(t)=1(t)5sr=0(0.1s+1)(0.5s+1)2c(t)(2)n(t)=1(
14、t)解：解：(1)C(s)=s(0.1s+1)(0.5s+1)+105(0.1s+1)(0.5s+1)s1系统稳定系统稳定(2)C(s)=s(0.1s+1)(0.5s+1)+102ss1essn=-limsC(s)=-1/2s0essn=-limsC(s)=0s0几点说明几点说明增益增益型别型别差异差异本讲稿第四十一页，共四十六页设计设计Gr(s)s(s+4)320.5R(s)C(s)(1)求图示系统求图示系统r(t)=1(t)+2t 时时输出端定义的误差输出端定义的误差ess。(2)为了消除稳态误差为了消除稳态误差,试设计试设计Gr(s),使使ess=0,并绘制出校正后的结构图。并绘制出校正
15、后的结构图。ess=1左左:右右:Gr(s)=s/4Gr(s)=2若是输入端定义：若是输入端定义：ess=0.5 左：左：Gr=s/8 右：右：Gr=2注意，不可变为单位反馈后再加注意，不可变为单位反馈后再加Gr(s)!本讲稿第四十二页，共四十六页例题例题4已知图示系统的调节时间已知图示系统的调节时间ts=0.3秒，秒，试求试求r(t)=3t 时时输出端定义输出端定义的误差终值的误差终值ess。0.01s1khR(s)C(s)ts=3T=0.03/kh=0.3kh=0.1ess=3本讲稿第四十三页，共四十六页本讲稿第四十四页，共四十六页清华考研试题清华考研试题(15分分)设无零点的单位反馈二阶
16、系统设无零点的单位反馈二阶系统h(t)曲线如图所示，曲线如图所示，1、试求出该系统的开环传递函数及参数；、试求出该系统的开环传递函数及参数；2、确定串联校正装置的传递函数，使系统、确定串联校正装置的传递函数，使系统对阶跃输入的稳态误差为零。对阶跃输入的稳态误差为零。011.250.95sk)s(G.2cc12.0k0c =本讲稿第四十五页，共四十六页上海交通大学上海交通大学硕士研究生入学考试试题硕士研究生入学考试试题考虑一个单位负反馈三阶系统，其开环传递函数的分考虑一个单位负反馈三阶系统，其开环传递函数的分子为常数，要求：子为常数，要求：在单位斜坡作用下的稳态误差为在单位斜坡作用下的稳态误差为1.2三阶系统的一对闭环主导极点为试求同时满足上述三阶系统的一对闭环主导极点为试求同时满足上述条件的系统开环传递函数条件的系统开环传递函数本讲稿第四十六页，共四十六页