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1、关于向量法求距离第一页，讲稿共十四页哦daaaabba 有关距离的几个概念 平行平行线线间的距离间的距离dab 异面异面直线直线间的距离间的距离ada、b是异面直线是异面直线,d是是a与与b的距离。的距离。直线直线和和平面平面的距离的距离d aa,d是是a与与a的距离。的距离。平行平行平平面间的距离面间的距离a,d是是a与与的距离。的距离。第二页，讲稿共十四页哦1.空间两点间距离空间两点间距离AB已知已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)|AB|=其中其中dA,B表示表示A与与B两点间的距离，这就是两点间的距离，这就是空间空间两点间两点间的的距离距离公式公式。第三页，讲稿共十四页哦
2、2.点到平面的距离点到平面的距离已知已知AB为平面为平面a a的一条斜线段的一条斜线段,n平面平面a a的法向量的法向量.求证求证:A到平面到平面a a的距离的距离|AB n|nd=BCAn证明：证明：cos ,ABnAB n|n|AB=设设C点为点为A在平面在平面内的射影。内的射影。BAC=,ABn或或 BAC ,ABn=cosBAC=cos ,ABn|A到平面到平面a a的距离的距离AC=AB cosBAC=|ABcos ,ABn|=|AB|AB n|n|AB|AB n|n=第四页，讲稿共十四页哦a3.直线和它平行平面的距离直线和它平行平面的距离n已知直线已知直线a平面平面,求求a到平面到
3、平面的距离的距离解：因解：因a上的任意一点到平面上的任意一点到平面的距离都相等。的距离都相等。所以所以直线直线和它和它平行平面平行平面的的距离距离转化转化点点到到面面的的距离距离AB在在a和平面和平面上分别任取一点上分别任取一点A和和Bn 是平面是平面的一个的一个法向量法向量直线直线a和它平行平面和它平行平面的距离为的距离为|AB n|nd=第五页，讲稿共十四页哦例例1 如图如图,在棱长为在棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中中,E、F分别是分别是A1B1、CD的中点的中点,求点求点B到截面到截面AEC1F的距离。的距离。C1FECDBAA1B1D1解：以解：以D为原点为原点,如
4、图所示建立直角坐标系。如图所示建立直角坐标系。zyx则则 A(1,0,0),AEAF设面设面AEC1F的法向量为的法向量为n=(1,)AE n=0 0AF n=0 0第六页，讲稿共十四页哦C1FECDBAA1B1D1zyxn=(1,2,1)AB又又=(0,1,0)所以所以B点到截面点到截面AEC1F的距离为：的距离为：|AB n|nd=第七页，讲稿共十四页哦3.异面直线间的距离异面直线间的距离aPAB已知异面直线已知异面直线a、b,求求a、b之间的距离。之间的距离。ab解：过解：过b上任一点上任一点P,作作 a a不妨令不妨令 a、b确定的平面为确定的平面为a 异面直线异面直线a、b之间的距离
5、之间的距离,转化转化直线直线a和它平行的平面和它平行的平面之间的距离之间的距离可在可在a上任一点上任一点A,b 上任一点上任一点B,n 是平面是平面的一个的一个法向量法向量n a、b之间的距离之间的距离|AB n|nd=第八页，讲稿共十四页哦a an a aPABabnn aaban a=0n b n bbabn b=0AB所以在求两条异面直线的距离时所以在求两条异面直线的距离时,只需在两条异面直线只需在两条异面直线a、b上上分别任取一点分别任取一点A、B。设与设与a、b的方向向量都垂直的的方向向量都垂直的向量为向量为n 则则nn a=0n b=0异面直线间的距离异面直线间的距离 a、b之间的
6、距离之间的距离|AB n|nd=第九页，讲稿共十四页哦例例1 在棱长为在棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线中，求异面直线A1C1与与B1C的距离。的距离。yxzC1DB1CDB1A1A解：如图所示建立直角坐标系，则解：如图所示建立直角坐标系，则A1(1,0,1),C1(0,1,1),B1(1,1,1),C(0,1,0).A1C1=(1,1,0)B1C=(1,0,1)设设A1C1与与B1C 的公垂线的的公垂线的方向方向向量向量n=(x,y,z)第十页，讲稿共十四页哦yxz1CDB1A1取取x=1得得n=(1,1,1)又又A1B1=(0,1,0)A1C1与与B1C的距离
7、的距离C1D第十一页，讲稿共十四页哦a a4.两个平行平面间的距离两个平行平面间的距离ABn|AB n|nd=A、B分别是分别是a a、上的任意点，上的任意点，n 是平面是平面a a、的一个的一个法向量法向量第十二页，讲稿共十四页哦例例2 如图，在棱长为如图，在棱长为a的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中中,(1)求证：平面求证：平面A1BD平面平面CB1D1；(2)求平面求平面A1BD和平面和平面CB1D1的距离。的距离。C1D1CDB1A1BA(1)证明：证明：矩形矩形A1BCD1A1BD1C矩形矩形DBB1D1D1B1BDA1B,BD 平面平面A1BDA1B BD=BD1C,D1B1 平面平面CB1D1平面平面A1BD平面平面CB1D1第十三页，讲稿共十四页哦感感谢谢大大家家观观看看第十四页，讲稿共十四页哦