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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.构造函数法证明不等式的八种方法1.利用导数讨论函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式为函数.导数.不等式综合中的一个难点，也为近几年高考的热点；2.解题技巧为构造帮助函数，把不等式的证明转化为利用导数讨论函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何依据不等式的构造特点构造一个可导函数为用导数证明不等式的关键；以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：一.移项法构造函数【例 1】函数f ( x)ln( x1)x ，求证：当x1 时，恒有11ln( x1)xx1分析：此题为双边不等式，其右边直接从函数证明，左边构造
2、函数g (x)【解】ln( xf( x)1)1x1111，从其导数入手即可证明； xx1x1当1x0 时，f(x)0 ，即f ( x) 在 x(1、0) 上为增函数当 x0 时，f(x)0 ，即f ( x) 在 x(0、) 上为减函数故函数f (x) 的单调递增区间为(1、0) ，单调递减区间(0、)于 为 函 数f ( x) 在 (1、) 上 的 最 大 值 为f (x) maxf (0)0 ， 因 此 ， 当 x1 时 ，f (x)f (0)0 ，即ln( x1)x0 ln( x1)x右面得证，现证左面，令g (x)ln( x1)11 ，x1就g (x)1x1(x11) 2x( x1) 2
3、当 x(1、0)时、 g( x)0;当x(0、)时、 g( x)0 ，即 g ( x) 在 x(1、0) 上为减函数，在x(0、) 上为增函数，故函数g( x) 在 (1、) 上的最小值为g (x) ming( 0)0 ，当 x1 时，1g ( x)g (0)0 ，即ln( x1)110x11 ln( x1)1，综上可知，当xx11时、有1x1ln( x1)x【警示启发】 假如f (a ) 为函数f ( x) 在区间上的最大 小值，那么有f ( x)f (a )或f ( x)f ( a ) ，那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0 就可得证2.作差法构造函数证明【例 2】函数f ( x)1
4、 x 22ln x. 求证：在区间(1、) 上，函数f ( x)的图象在函数g (x)2 x3 的图象3的下方；.word.zl.第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -分析：函数f (x) 的图象在函数.g( x) 的图象的下方不等式 f (x).g( x) 问题，122312232323即xln xx， 只 需 证 明 在 区 间(1、)上 ， 恒 有xln xx成 立 ， 设F ( x)g ( x)f ( x) ， x(1、) ，考虑到F (1)106要证不等式转化变为：当x1时，F (x)
5、F (1) ，这只要证明：g ( x) 在区间(1、) 为增函数即可；【解】设F ( x)g ( x)f ( x) ，即F ( x)2 x331 x 22ln x ，那么 F( x)2 x2x1 = (x x1)(2 x2xx1)当 x1 时，F (x) = (x1)(2 x2xx1)1从而 F (x) 在(1、) 上为增函数，F (x)F (1)06当 x1时 g ( x)f ( x)0 ，即f ( x)g ( x) ，故在区间(1、) 上，函数f ( x) 的图象在函数g ( x)2 x33的图象的下方；【警示启发】此题第一依据题意构造出一个函数可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数
6、，并利用导数判定所设函数的单调性，再依据函数单调性的定义，证明要证的不等式；读者也可以设 F ( x)f ( x)g ( x) 做一做，深刻体会其中的思想方法；3.换元法构造函数证明【例 3】2007 年，卷证明：对任意的正整数n，不等式ln( 11)1nn 21都成立 .n 3分析：此题为卷的第II 问，从所证构造动身，只需令1x ，那么问题转化为：当nx0 时，恒有 ln( x1)x 2x3 成立，现构造函数h( x)x3x2ln( x1) ，求导即可到达证明；【解】令h( x)x 3x2ln( x1) ，那么 h( x)3x 22x1x13 x3( x1) 2在 xx1(0、) 上恒正，
7、所以函数h( x) 在 (0、) 上单调递增，x(0、) 时，恒有h( x)h (0)0，即 x3x 2ln( x1)0 ，1ln( x1)x2x3111对任意正整数n，取 xn(0、)，就有ln(1)23nnn【警示启发】 我们知道， 当F ( x) 在 a 、b 上单调递增， 那么 xa 时，有F ( x)F ( a ) 假如f (a )(a ) ，要证明当xa 时，f ( x)( x) ，那么，只要令F (x) f (x) (x) ，就可以利用F ( x) 的.word.zl.第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - -
8、- - - - - - -单调增性来推导也就为说，在.F (x) 可导的前提下，只要证明F ( x).即可4.从条件特点入手构造函数证明【例 4】假设函数y=f ( x) 在 R 上可导且满意不等式x f( x) f ( x) 恒成立，且常数a， b 满意 a b，求证： a f(a) bf (b)【解】由x f(x) +f (x) 0构造函数F (x)xf (x) ，那么 F ( x)x f (x) +f ( x) 0 ， 从而F ( x) 在 R 上为增函数；ab F (a )F (b)即 a f(a) bf (b)【警示启发】 由条件移项后xf(x)f ( x) ，简单想到为一个积的导数
9、，从而可以构造函数F (x)xf ( x) ，求导即可完成证明；假设题目中的条件改为xf( x)f ( x) ，那么移项后xf(x)f ( x) ，要想到为一个商的导数的分子，平常解题多留意总结；5.主元法构造函数例全国函数f ( x )ln(1x )x、 g (x)x ln x(1) 求函数f ( x) 的最大值；(2) 设 0ab 、 证明： 0g ( a)g (b)2g ( ab ) 2(ba) ln 2 .分析：对于II 绝大局部的同学都会望而生畏.同学的盲点也主要就在对所给函数用不上.假如能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性亲密相关，由此就可过渡到依
10、据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数讨论函数的单调性，借助单调性比拟函数值的大小，以期到达证明不等式的目的.证明如下：证明：对g ( x)x lnx 求导 、那么g ( x)ln x1 .在 g (a)g (b)a2 g (b ) 中以 b 为主变元构造函数、2设 F (x )g( a)g ( x)2 g( ax ) 、那么2F (x)g ( x)2 g ( a2x ) ln xln ax .2当 0xa 时，F (x)0 、因此F ( x) 在 ( 0、 a ) 为减函数 .当 xa 时、 F ( x)0 、因此F ( x) 在 (a、) 上为增函数 .从而当 xa 时、F ( x)有微
11、小值F (a) .ab由于 F ( a)0、ba、 所以F (b)0 、即 g ( a)g (b)2 g ()0.2又设 G ( x)F ( x)( xa) ln 2 .那么G ( x)ln xln ax 2ln 2ln xln( ax ) .word.zl.第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -当 x0 时、 G (x)0 .因此G ( x) 在 (0、.) 上为减函数 .由于 G ( a)0、ba、 所以G (b)0 、即g ( a)g( b)ab2g ()2( ba) ln 2 .6.构造
12、二阶导数函数证明导数的单调性x12例函数f ( x)aex2(1)假设 f(x) 在 R 上为增函数 、求 a 的取值围 ;(2)假设 a=1、求证 :x0 时、f(x)1+x 解： (1)f (x) aex，在上为增函数，f (x)对恒成立，即 - 对恒成立记- ，那么 () - - =(1-x)e-x ，当时，当时， 知在(-、1)上为增函数 、在 (1、+ )上为减函数 、 g(x)在 x=1 时、取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e、 a 1/e、即 a 的取值围为 1/e、 + )(2)记 F(X)=f(x) (1+x) = e x那么 F (x)=ex -1-x、1 x
13、212x ( x0)令 h(x)= F (x)=ex-1-x、那么 h (x)=ex -1当 x0 时、 h (x)0、 h(x)在(0、+)上为增函数 、又 h(x)在 x=0 处连续 、 h(x)h(0)=0即 F (x)0 、 F(x) 在 (0、+ )上为增函数 、又 F(x) 在 x=0 处连续 、 F(x)F(0)=0、 即 f(x)1+x 小结：当函数取最大或最小值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数围，往往把变量别离后可以转化为 mf ( x) (或 mf (x) )恒成立，于为m 大于f (
14、x) 的最大值或m 小于f (x) 的最小值 ，从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题因此，利用导数求函数最值为解决不等式恒成立问题的一种重要方法7.对数法构造函数选用于幂指数函数不等式1 11 x例：证明当x0时、 (1x)xe2.word.zl.第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.8.构造形似函数例：证明当bae、 证明a bba例： m.n 都为正整数，且1mn、 证明： (1m) n(1n) m【思维挑战】1.2007 年，卷设 a0、 f(x)x1ln 2 x2a ln x求
15、证：当 x1 时，恒有 xln 2 x2a ln x1 ，22. 2007 年，卷定义在正实数集上的函数f ( x)1 x2 ax、 g( x)223aln xb、 其中 a0，且 b5 a 223a 2 ln a ，求证：f (x)g ( x)3.函数f ( x)ln(1x)x1x，求证：对任意的正数a . b ，.word.zl.第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -恒有 ln a.ln b1b . a4.2007 年，卷f (x) 为定义在 0， + 上的非负可导函数，且满意xf(x)f
16、( x) 0，对任意正数 a.b，假设 a b，那么必有 Aaf (b) bf (a)B bf (a)af (b) Caf (a)f (b)D bf (b)f (a)【答案询问】1.提示：f(x)12 ln x x2a ，当 x x1， a0 时，不难证明2 ln x1xf ( x)0 ，即f (x) 在 (0、) 单调递增，故当x1 时，f ( x)f (1)0 ，当 x1 时，恒有x1ln 2 x2a ln x13a 22.提示：设F ( x)g ( x)f ( x)x 22ax23a 2 ln xb 那么 F( x)x2ax(xa )( x=x3a) (x0 )a0 ，当 xa 时，F
17、( x)0 ，故 F ( x) 在(0、a ) 上为减函数，在(a 、) 上为增函数，于为函数F ( x)在 (0、) 上的最小值为 F ( a)f (a)g (a)0 ，故当 x0时，有1f (x)1g ( x)0 ，即xf (x)g (x)3.提示：函数f ( x) 的定义域为(1、) ， f( x)1x(1x)2(1x) 2当1x0 时，f(x)0 ，即f ( x) 在 x(1、0) 上为减函数当 x0 时，f(x)0 ，即f ( x) 在 x(0、) 上为增函数因此在 x0时、f ( x)取得微小值f (0)0 ，而且为最小值于为 f( x)af (0)0、从而1ln(1x) bx，即 ln(11xax)111xb令1xb0、就11x1ab于为 ln1ba因此4.提示：ln aF (x)ln bf1a(x)， Fx( x)xf ( x)x2f ( x)0 ，故F (x)f (x) x在 0， + 上为减函数，由 abf (a)有af (b) baf (b) bf (a)应选 A.word.zl.第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -