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1、西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 1关于最小生成树算法讲解现在学习的是第1页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 2生成树的概念q生成树生成树一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的只有足以构成一棵树的n-1n-1条边。条边。生成树不唯一生成树不唯一V3V2V4V1V6V5V3V2V4V1V6V5
2、V3V2V4V1V6V5V3V2V4V1V6V5生成树现在学习的是第2页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 3最小代价生成树q生成树的代价等于其边上的权值之和。生成树的代价等于其边上的权值之和。V4V1V3V2V6V56512665534V4V1V3V2V6V561654V4V1V3V2V6V512534现在学习的是第3页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 4最小代价生成树F两种常用的
3、构造最小生成树的方法：两种常用的构造最小生成树的方法：普里姆算法普里姆算法克鲁斯卡尔算法克鲁斯卡尔算法现在学习的是第4页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 5q假设假设N=(VN=(V，E)E)是连通网，是连通网，TETE是是N N上最小生成树中边的集合。上最小生成树中边的集合。q算法从算法从U=uU=u0 0(u(u0 0V)V)，TE=TE=开始，重复执行下述操作：开始，重复执行下述操作：F在所有在所有uUuU，vV-UvV-U的边的边(u(u，v)v)中找一条代价最小的边中找一条代价
4、最小的边(u(u0 0,v,v0 0),),将其并入集将其并入集合合TETE，同时将，同时将v v0 0并入并入U U集合。集合。F当当U=VU=V则结束，此时则结束，此时TETE中必有中必有n-1n-1条边，则条边，则T=(VT=(V，TE)TE)为为N的最小生成树。的最小生成树。q普里姆算法构造最小生成树的过程是从一个顶点普里姆算法构造最小生成树的过程是从一个顶点U=uU=u0 0 作初态，不作初态，不断寻找与断寻找与U U中顶点相邻且代价最小的边的另一个顶点，扩充到中顶点相邻且代价最小的边的另一个顶点，扩充到U U集合直至集合直至U=VU=V为止。为止。普里姆(Prim)算法现在学习的是
5、第5页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 6V4V1V3V2V6V56512665534V4V1V3V2V6V512534UV-UV1 V2,V3,V4,V5,V6 步骤步骤(0)V1,V3 V2 ,V4,V5,V6(1)V1,V3,V6 V2 ,V4,V5(2)V1,V3,V6,V4 V2,V5(3)V1,V3,V6,V4,V2 V5(4)V1,V3,V6,V4,V2,V5 (5)最小代价生成树q普里姆算法求最小生成树：从生成树中只有一个顶点开始，到顶点全部进入生成树为止现在学习的是第6
6、页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 7V4V1V3V2V6V5165V1V31V1 V2,V3,V4,V5,V6 步骤步骤(0)V1,V3 V2 ,V4,V5,V6(1)UV-Uq普里姆算法求最小生成树：从生成树中只有一个顶点开始，到顶点全部进入生成树为止最小代价生成树现在学习的是第7页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 8V4V1V3V2V6V565V1V31V1 V2,V3,V4
7、,V5,V6 步骤步骤(0)V1,V3 V2 ,V4,V5,V6(1)V6V1,V3,V6 V2 ,V4,V5(2)46554UV-Uq普里姆算法求最小生成树：从生成树中只有一个顶点开始，到顶点全部进入生成树为止最小代价生成树现在学习的是第8页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 9V4V1V3V2V6V565V4V1V31V1 V2,V3,V4,V5,V6 步骤步骤(0)V1,V3 V2 ,V4,V5,V6(1)V6V1,V3,V6 V2 ,V4,V5(2)4655V1,V3,V6,V4
8、V2,V5(3)262UV-Uq普里姆算法求最小生成树：从生成树中只有一个顶点开始，到顶点全部进入生成树为止最小代价生成树现在学习的是第9页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 10V4V1V3V2V6V56V4V1V31V1 V2,V3,V4,V5,V6 步骤步骤(0)V1,V3 V2 ,V4,V5,V6(1)V2V6V1,V3,V6 V2 ,V4,V5(2)465V1,V3,V6,V4 V2,V5(3)62V1,V3,V6,V4,V2 V5(4)5UV-Uq普里姆算法求最小生成树：从生成
9、树中只有一个顶点开始，到顶点全部进入生成树为止最小代价生成树现在学习的是第10页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 11V4V1V3V2V6V5V4V1V31V1 V2,V3,V4,V5,V6 步骤步骤(0)V1,V3 V2 ,V4,V5,V6(1)V2V6V5V1,V3,V6 V2 ,V4,V5(2)46V1,V3,V6,V4 V2,V5(3)62V1,V3,V6,V4,V2 V5(4)5V1,V3,V6,V4,V2,V5 (5)33UV-Uq普里姆算法求最小生成树：从生成树中只有一个顶
10、点开始，到顶点全部进入生成树为止最小代价生成树现在学习的是第11页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 12q普里姆算法求最小生成树：从生成树中只有一个顶点开始，到顶点全部进入生成树为止V4V1V3V2V6V5V4V1V31V1 V2,V3,V4,V5,V6 步骤步骤(0)V1,V3 V2 ,V4,V5,V6(1)V2V6V5V1,V3,V6 V2 ,V4,V5(2)4V1,V3,V6,V4 V2,V5(3)2V1,V3,V6,V4,V2 V5(4)5V1,V3,V6,V4,V2,V5 (5
11、)3UV-U最小代价生成树现在学习的是第12页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 13普里姆(Prim)算法生成树中只放置一个顶点生成树中只放置一个顶点在关联生成树顶点的边中（即边的在关联生成树顶点的边中（即边的一个顶点在生成树中，另一个顶点不在）一个顶点在生成树中，另一个顶点不在）取权值最小者取权值最小者将选中的边加入生成树，将选中的边加入生成树，同时将该边的关联顶点加入生成树中同时将该边的关联顶点加入生成树中生成树中顶点数小于生成树中顶点数小于n?是否结束结束开始开始现在学习的是第13
12、页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 14基本要求基本要求l从键盘（或数据文件）输入图的信息，用普里姆算法求解给定无向连从键盘（或数据文件）输入图的信息，用普里姆算法求解给定无向连通图的最小生成树，最后输出最小生成树中的权值和所有的边，图的通图的最小生成树，最后输出最小生成树中的权值和所有的边，图的存储结构自行设定。存储结构自行设定。F例如例如 下图的输出为下图的输出为weight：15(v1,v3)(v3,v6)(v6,v4)(v3,v2)(v2,v5)或者或者(1,3)(3,6)(6,
13、4)(3,2)(2,5)现在学习的是第14页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 15q顶点集合如何表示？顶点集合如何表示？q最小边如何选择？最小边如何选择？q一个顶点加入一个顶点加入U U集合（生成树中）集合（生成树中）如何表示？如何表示？struct int adjvex;double lowcost;closedgeMAX_VERTEX_NUM;closedgei.adjvex=kclosedgei.lowcost顶点i与顶点k邻接顶点k已经在U集合中顶点i加入U集合时普里姆算法的实现
14、=0现在学习的是第15页，共32页adjvexlowcostv16v11v15v1v2,v3,v4,v5,v63v2v3v4v5v6UV-Uk 顶点顶点iclosedgeclosedge2.adjvex=1 .lowcost=6closedge3.adjvex=1 .lowcost=1closedge4.adjvex=1 .lowcost=5V4V1V3V2V6V5165F当当U集合中加入一个新顶点时，集合中加入一个新顶点时，V-U集合中的顶点到集合中的顶点到U的最小代的最小代价边可能会更新价边可能会更新V4V1V3V2V6V56512665534U集合的成员：集合的成员：V-U集合的成员：集
15、合的成员：closedge5.adjvex=1 .lowcost=closedge6.adjvex=1 .lowcost=现在学习的是第16页，共32页adjvexlowcostv16v11v15v1v2,v3,v4,v5,v63adjvexlowcostv350v15v36v34v1,v3v2,v4,v5,v66v2v3v4v5v6UV-Uk 顶点顶点iclosedgeV4V1V3V2V6V55564U集合的成员：集合的成员：V-U集合的成员：集合的成员：F当当U集合中加入一个新顶点时，集合中加入一个新顶点时，V-U集合中的顶点到集合中的顶点到U的最小的最小代价边可能会更新代价边可能会更新V
16、4V1V3V2V6V56512665534closedge2.adjvex=3 .lowcost=5closedge4.adjvex=1 .lowcost=5closedge5.adjvex=3 .lowcost=6closedge6.adjvex=3 .lowcost=4现在学习的是第17页，共32页adjvexlowcostv16v11v15v1v2,v3,v4,v5,v63adjvexlowcostv350v15v36v34v1,v3v2,v4,v5,v66adjvexlowcostv350v62v360v1,v3,v6v2,v4,v5 4v2v3v4v5v6UV-Uk 顶点顶点iclo
17、sedgeV4V1V3V2V6V5562V4V1V3V2V6V56512665534F当当U集合中加入一个新顶点时，集合中加入一个新顶点时，V-U集合中的顶点到集合中的顶点到U的最小代的最小代价边可能会更新价边可能会更新U集合的成员：集合的成员：V-U集合的成员：集合的成员：closedge2.adjvex=3 .lowcost=5closedge4.adjvex=6 .lowcost=2closedge5.adjvex=3 .lowcost=6现在学习的是第18页，共32页adjvexlowcostv16v11v15v1v2,v3,v4,v5,v63adjvexlowcostv350v15v
18、36v34v1,v3v2,v4,v5,v66adjvexlowcostv350v62v360v1,v3,v6v2,v4,v5 4adjvexlowcostv3500v360v1,v3,v6,v4v2,v5 v2v3v4v5v6UV-Uk 顶点顶点iclosedge2V4V1V3V2V6V556F当当U集合中加入一个新顶点时，集合中加入一个新顶点时，V-U集合中的顶点到集合中的顶点到U的最小代的最小代价边可能会更新价边可能会更新U集合的成员：集合的成员：V-U集合的成员：集合的成员：V4V1V3V2V6V56512665534closedge2.adjvex=3 .lowcost=5closed
19、ge5.adjvex=3 .lowcost=6现在学习的是第19页，共32页adjvexlowcostv16v11v15v1v2,v3,v4,v5,v63adjvexlowcostv350v15v36v34v1,v3v2,v4,v5,v66adjvexlowcostv350v62v360v1,v3,v6v2,v4,v5 4adjvexlowcostv3500v360v1,v3,v6,v4v2,v5 2adjvexlowcost000v230v1,v3,v6,v4,v2v5 v2v3v4v5v6UV-Uk 顶点顶点iclosedge5V4V1V3V2V6V53F当当U集合中加入一个新顶点时，集合
20、中加入一个新顶点时，V-U集合中的顶点到集合中的顶点到U的最小代的最小代价边可能会更新价边可能会更新V4V1V3V2V6V56512665534U集合的成员：集合的成员：V-U集合的成员：集合的成员：现在学习的是第20页，共32页adjvexlowcostv16v11v15v1v2,v3,v4,v5,v63adjvexlowcostv350v15v36v34v1,v3v2,v4,v5,v66adjvexlowcostv350v62v360v1,v3,v6v2,v4,v5 4adjvexlowcostv3500v360v1,v3,v6,v4v2,v5 2v2v3v4v5v6UV-Uk 顶点顶点i
21、closedgeV4V1V3V2V6V5adjvexlowcost00000v1,v3,v6,v4,v2,v5adjvexlowcost000v230v1,v3,v6,v4,v2v5 514253U集合的成员：集合的成员：V-U集合的成员：集合的成员：V4V1V3V2V6V56512665534现在学习的是第21页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 22普里姆算法求最小生成树普里姆算法求最小生成树61565315564552366426123456123456图采用邻接矩阵表示G.arcs
22、=#define MaxVnum 50typedef int AdjMatrixMaxVnumMaxVnum;/doubletypedef struct int vexnum,arcnum;/顶点数、边数顶点数、边数 AdjMatrix arcs;/邻接矩阵邻接矩阵Graph;Graph G;现在学习的是第22页，共32页void MiniSpanTree_PRIM(Graph G,int u)/用普里姆算法从顶点用普里姆算法从顶点u出发构造出发构造G的最小生成树的最小生成树 for(j=0;j G.vexnum;+j)/辅助数组初始化辅助数组初始化 if(j!=u)closedgej=u,G
23、.arcsuj;struct int adjvex;double lowcost;closedgeMAX_VERTEX_NUM;closedgeu.lowcost=0;/初始初始,U=u,U=u for(i=1;i G.vexnum;+i)k=minimum(closedge);/求生成树的下一个顶点求生成树的下一个顶点k k cout closedgek.adjvex G.vexsk;closedgek.lowcost=0;for(j=0;j G.vexnum;+j)if(G.arcskj.adj 0,vi v-u cout (k,closedgek.adjvex );/输出生成树的边输出生
24、成树的边 closedgek.lowcost=0;/顶点顶点k k并入并入U U集合集合 for(j=0;j G.vexnum;+j)if(G.arcskj closedgej.lowcost)closedgej.adjvex=k,closedgej.Lowcost=G.arcskj;算法的时间复杂度为：O(n2)closedgej.adjvex=u;closedgej.lowcost=G.arcsuj;现在学习的是第23页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 24选做内容选做内容l从键盘输
25、入（或从文件读入）图的信息，用克鲁斯卡尔从键盘输入（或从文件读入）图的信息，用克鲁斯卡尔算法求解给定无向连通图的最小生成树，最后输出最小算法求解给定无向连通图的最小生成树，最后输出最小生成树中的权值和所有的边。生成树中的权值和所有的边。现在学习的是第24页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 25克鲁斯卡尔(Kruskal)算法q假设连通网假设连通网N=(VN=(V，E)E)，则令最小生成树的初始状态为只，则令最小生成树的初始状态为只有有n n个顶点而无边的非连通图个顶点而无边的非连通图T=
26、(VT=(V，)，图中每个顶点，图中每个顶点自成一个连通分量。自成一个连通分量。q在在E E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T T中不中不同的连通分量上，则将此边加入到同的连通分量上，则将此边加入到T T中，否则舍去此边而中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至选择下一条代价最小的边。依次类推，直至T T中所有顶中所有顶点都在同一连通分量上为止。点都在同一连通分量上为止。现在学习的是第25页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China
27、26q克鲁斯卡尔算法求最小生成树克鲁斯卡尔算法求最小生成树V4V1V3V2V6V56512665534V4V1V3V2V6V51234最小代价生成树现在学习的是第26页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 27q克鲁斯卡尔算法求最小生成树克鲁斯卡尔算法求最小生成树V4V1V3V2V6V56512665534V4V1V3V2V6V512345V3、V4依附在同一个连通分量最小代价生成树现在学习的是第27页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Softwar
28、e,Xidian University,China 28q克鲁斯卡尔算法求最小生成树克鲁斯卡尔算法求最小生成树V4V1V3V2V6V56512665534V4V1V3V2V6V51234V1、V4依附在同一个连通分量5最小代价生成树现在学习的是第28页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 29q克鲁斯卡尔算法求最小生成树克鲁斯卡尔算法求最小生成树V4V1V3V2V6V56512665534V4V1V3V2V6V512534最小代价生成树现在学习的是第29页，共32页西安电子科技大学软件学院
29、-School of Computer Software,Xidian University,China 30克鲁斯卡尔(Kruskal)算法否将堆顶的边加入生成树后将堆顶的边加入生成树后是否形成回路是否形成回路?在生成树中放置在生成树中放置n个孤立顶点个孤立顶点根据边上的权值建小顶堆根据边上的权值建小顶堆是将该边加入生成树中将该边加入生成树中去掉堆顶元素，去掉堆顶元素，剩余元素重新建堆剩余元素重新建堆生成树中边数小于生成树中边数小于n-1?是否结束结束开始开始现在学习的是第30页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian Uni
30、versity,China 31克鲁斯卡尔(Kruskal)算法q从上述过程可知，实现从上述过程可知，实现克鲁斯卡尔克鲁斯卡尔(Kruskal)算法时，算法时，要解决以下两个问题：要解决以下两个问题：如何选择代价最小的边如何选择代价最小的边(堆排序，或简单选择排序堆排序，或简单选择排序)；如何判定边所关联的两个顶点是否在同一个连通分量如何判定边所关联的两个顶点是否在同一个连通分量中（集合）中（集合）现在学习的是第31页，共32页西安电子科技大学软件学院 -School of Computer Software,Xidian University,China 32感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第32页，共32页