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1、常用统计技术中级现在学习的是第1页，共92页第一节第一节方差分析方差分析 一、几个概念一、几个概念二、单因子方差分析二、单因子方差分析 现在学习的是第2页，共92页一、几个概念一、几个概念在在试试验验中中改改变变状状态态的的因因素素称称为为因因子子，常常用用大大写写英文字母英文字母A、B、C、等表示。等表示。因因子子在在试试验验中中所所处处的的状状态态称称为为因因子子的的水水平平。用用代代表表因因子的字母加下标表示，记为子的字母加下标表示，记为A1，A2，Ak。试试验验中中所所考考察察的的指指标标（可可以以是是质质量量特特性性也也可可以以是产量特性或其它）用是产量特性或其它）用Y表示。表示。Y
2、是一个随机变量。是一个随机变量。单因子试验：单因子试验：若试验中所考察的因子只有一个。若试验中所考察的因子只有一个。现在学习的是第3页，共92页例例2.1-1现有甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，为现有甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，为了了解不同工厂的零件的强度有无明显的差异，现分别从了了解不同工厂的零件的强度有无明显的差异，现分别从每一个工厂随机抽取四个零件测定其强度，数据如表所示，每一个工厂随机抽取四个零件测定其强度，数据如表所示，试问三个工厂的零件的平均强度是否相同？试问三个工厂的零件的平均强度是否相同？工厂工厂量件强度量件强度甲甲乙乙丙丙10310198110113107108116
3、82928486三个工厂的零件强度三个工厂的零件强度 现在学习的是第4页，共92页在这一例子中，考察一个因子：在这一例子中，考察一个因子：因子因子A：工厂：工厂该因子有三个水平：甲、乙、丙该因子有三个水平：甲、乙、丙试验指标是：零件强度试验指标是：零件强度这这是是一一个个单单因因子子试试验验的的问问题题。每每一一水水平平下下的的试试验验结结果果构构成成一一个个总总体体，现现在在需需要要比比较较三三个个总总体体均均值值是是否否一一致致。如如果果每每一一个个总总体体的的分分布布都都是是正正态态分分布布，并并且且各各个个总总体体的的方方差差相相等等，那那么么比比较较各各个个总总体体均均值值是是否否一
4、一致致的的问问题题可可以以用用方方差分析方法来解决。差分析方法来解决。现在学习的是第5页，共92页二、单因子方差分析二、单因子方差分析 假假定定因因子子A有有r个个水水平平，在在Ai水水平平下下指指标标服服从从正正态态分分布布，其其均均值值为为，方方差差为为，i=1,2,r。每每一一水水平平下下的的指指标标全全体体便便构构成成一一个个总总体体，共共有有r个个总总体体，这这时时比比较较各各个个总总体体的的问问题题就就变变成成比比较较各各个个总总体体的的均均值值是是否否相相同同的的问问题题了了，即即要要检检验验如如下下假设是否为真：假设是否为真：现在学习的是第6页，共92页当当不真时，表示不同水平
5、下的指标的均不真时，表示不同水平下的指标的均值有显著差异，此时称因子值有显著差异，此时称因子A是显著的，否则是显著的，否则称因子称因子A不显著。检验这一假设的分析方法便不显著。检验这一假设的分析方法便是方差分析。是方差分析。现在学习的是第7页，共92页 方差分析的三个基本假定方差分析的三个基本假定1.在水平在水平下，指标服从正态分布下，指标服从正态分布；2.在不同水平下，各方差相等；在不同水平下，各方差相等；3.各数据各数据相互独立。相互独立。现在学习的是第8页，共92页设在一个试验中只考察一个因子设在一个试验中只考察一个因子A，它有，它有r个个水平，在每一水平下进行水平，在每一水平下进行m次
6、重复试验，其结果用次重复试验，其结果用表示，表示，i=1,2,r。常常把数据列成常常把数据列成如下表格形式：如下表格形式：单因子试验数据表单因子试验数据表现在学习的是第9页，共92页记第记第i水平下的数据均值为水平下的数据均值为，总均值为，总均值为。此。此时共有时共有n=rm个数据，这个数据，这n个数据不全相同，它们的个数据不全相同，它们的波动（差异）可以用总离差平方和波动（差异）可以用总离差平方和ST去表示去表示记第记第i水平下的数据和为水平下的数据和为Ti，；现在学习的是第10页，共92页引起数据波动（差异）的原因不外如下两个：引起数据波动（差异）的原因不外如下两个：一是由于因子一是由于因
7、子A的水平不同，当假设的水平不同，当假设H0不真时，各不真时，各个水平下指标的均值不同，这必然会使试验结果不个水平下指标的均值不同，这必然会使试验结果不同，我们可以用组间离差平方和来表示，也称因子同，我们可以用组间离差平方和来表示，也称因子A的离差平方和：的离差平方和：这里乘以这里乘以m是因为每一水平下进行了是因为每一水平下进行了m次试验。次试验。现在学习的是第11页，共92页二是由于存在随机误差，即使在同一水平下获得二是由于存在随机误差，即使在同一水平下获得的数据间也有差异，这是除了因子的数据间也有差异，这是除了因子A的水平外的一切原的水平外的一切原因引起的，我们将它们归结为随机误差，可以用
8、组内因引起的，我们将它们归结为随机误差，可以用组内离差平方和表示：离差平方和表示：Se：也称为误差的离差平方和：也称为误差的离差平方和现在学习的是第12页，共92页可以证明有如下平方和分解式：可以证明有如下平方和分解式：ST、SA、Se的自由度分别用的自由度分别用、表示，它们也有分解式：表示，它们也有分解式：，其中：，其中：因因子子或或误误差差的的离离差差平平方方和和与与相相应应的的自自由由度度之之比比称为因子或误差的均方和，并分别记为：称为因子或误差的均方和，并分别记为：两者的比记为：两者的比记为：现在学习的是第13页，共92页当当时时认认为为在在显显著著性性水水平平上上因因子子A是显著的。
9、其中是显著的。其中是自由度为是自由度为的的F分布的分布的1-分位数。分位数。单因子方差分析表单因子方差分析表现在学习的是第14页，共92页各个离差平方和的计算：各个离差平方和的计算：其中其中是第是第i个水平下的数据和；个水平下的数据和；T表示表示所有所有n=rm个数据的总和。个数据的总和。现在学习的是第15页，共92页进行方差分析的步骤如下：进行方差分析的步骤如下：（1）计算因子）计算因子A的每一水平下数据的和的每一水平下数据的和T1，T2，Tr及总和及总和T；（2）计算各类数据的平方和）计算各类数据的平方和；（3）依次计算）依次计算ST，SA，Se；（4）填写方差分析表；）填写方差分析表；（
10、5）对于给定的显著性水平）对于给定的显著性水平，将求得的，将求得的F值与值与F分布表中的临界值分布表中的临界值比较，当比较，当时认为因子时认为因子A是显著的，否则认为是显著的，否则认为因子因子A是不显著的。是不显著的。现在学习的是第16页，共92页对上例的分析对上例的分析（1）计算各类和：）计算各类和：每一水平下的数据和为：每一水平下的数据和为：数据的总和为数据的总和为T=1200（2）计算各类平方和：）计算各类平方和：原始数据的平方和为：原始数据的平方和为：每一水平下数据和的平方和为每一水平下数据和的平方和为现在学习的是第17页，共92页（3）计算各离差平方和：）计算各离差平方和：ST=12
11、1492-12002/12=1492，fT=34-1=11SA=485216/4-12002/12=1304,fA=3-1=2Se=1492-1304=188,fe=11-2=9现在学习的是第18页，共92页（4）列方差分析表：）列方差分析表：例例2.1-1的方差分析表的方差分析表现在学习的是第19页，共92页（5）如果给定如果给定=0.05，从，从F分布表查得分布表查得由由于于F4.26，所所以以在在=0.05水水平平上上结结论论是是因因子子A是是显显著著的的。这这表表明明不不同同的的工工厂厂生生产产的的零零件件强强度有明显的差异。度有明显的差异。当因子当因子A是显著时，我们还可以给出每一水
12、平下指是显著时，我们还可以给出每一水平下指标均值的估计，以便找出最好的水平。在单因子试验的标均值的估计，以便找出最好的水平。在单因子试验的场合，第场合，第i个水平指标均值的估计为：个水平指标均值的估计为：，现在学习的是第20页，共92页在本例中，三个工厂生产的零件的平均强度的的估计在本例中，三个工厂生产的零件的平均强度的的估计分别为：分别为：由此可见，乙厂生产的零件的强度的均值最由此可见，乙厂生产的零件的强度的均值最大，如果我们需要强度大的零件，那么购买乙厂大，如果我们需要强度大的零件，那么购买乙厂的为好；而从工厂来讲，甲厂与丙厂应该设法提的为好；而从工厂来讲，甲厂与丙厂应该设法提高零件的强度
13、。高零件的强度。误误差差方方差差的的估估计计：这这里里方方差差的的估估计计是是MSe。在本例中：在本例中：的估计是的估计是20.9。的估计是的估计是例例2.1-2略（见教材略（见教材P92）现在学习的是第21页，共92页三、重复数不等的情况三、重复数不等的情况若在每一水平下重复试验次数不同，假定若在每一水平下重复试验次数不同，假定在在Ai水平下进行水平下进行次试验，那么进行方差分析次试验，那么进行方差分析的步骤仍然同上，只是在计算中有两个改动：的步骤仍然同上，只是在计算中有两个改动：现在学习的是第22页，共92页例例2.1-3某型号化油器原中小喉管的结构使油耗某型号化油器原中小喉管的结构使油耗
14、较大，为节约能源，设想了两种改进方案以降低油耗。较大，为节约能源，设想了两种改进方案以降低油耗。油耗的多少用比油耗进行度量，现在对用各种结构的油耗的多少用比油耗进行度量，现在对用各种结构的中小喉管制造的化油器分别测定其比油耗，数据如表中小喉管制造的化油器分别测定其比油耗，数据如表所列，试问中小喉管的结构（记为因子所列，试问中小喉管的结构（记为因子A）对平均比）对平均比油油耗的影响是否显著。（这里假定每一种结构下的油油耗的影响是否显著。（这里假定每一种结构下的油耗服从等方差的正态分布）油耗服从等方差的正态分布）现在学习的是第23页，共92页例例2.1-3的试验结果的试验结果水平水平试验结果（比油
15、耗试验结果（比油耗-220）A1：原结构：原结构11.012.87.68.34.75.59.310.3A2：改进方案：改进方案12.84.5-1.50.2A3：改进方案：改进方案24.36.11.43.6（为简化计算，这里一切数据均减去（为简化计算，这里一切数据均减去220，不影响，不影响F比比的计算及最后分析因子的显著性）的计算及最后分析因子的显著性）现在学习的是第24页，共92页（1）各水平下的重复试验次数及数据和分别为：）各水平下的重复试验次数及数据和分别为：A1：m1=8,T1=69.5A2：m2=4,T2=6.0A3：m3=4,T3=15.4总的试验次数总的试验次数n=16，数据的总
16、和为，数据的总和为T=90.9现在学习的是第25页，共92页（2）计算各类平方和：）计算各类平方和：（3）计算各离差平方和：）计算各离差平方和：ST=757.41-516.43=240.98，fT=16-1=15SA=672.07-516.43=155.64,fA=3-1=2Se=240.98-155.64=85.34,fe=15-2=13现在学习的是第26页，共92页（4）列方差分析表：）列方差分析表：例例2.1-3方差分析表方差分析表 现在学习的是第27页，共92页（5）如果给定如果给定=0.05，从，从F分布表查得分布表查得由于由于F3.81，所以在，所以在=0.05水平上我们的结论水平
17、上我们的结论是因子是因子A是显著的。这表明不同的中小喉管结构是显著的。这表明不同的中小喉管结构生产的化油器的平均比油耗有明显的差异。生产的化油器的平均比油耗有明显的差异。现在学习的是第28页，共92页我们还可以给出不同结构生产的化油器的平均我们还可以给出不同结构生产的化油器的平均比油耗的估计：比油耗的估计：这里加上这里加上220是因为在原数据中减去了是因为在原数据中减去了220的缘的缘故。故。由此可见，从比油耗的角度看，两种改进结构都由此可见，从比油耗的角度看，两种改进结构都比原来的好，特别是改进结构比原来的好，特别是改进结构1。在本例中误差方差的估计为在本例中误差方差的估计为6.56，标准差
18、的估，标准差的估计为计为2.56。现在学习的是第29页，共92页第二节第二节回归分析回归分析例例2.2-1合金的强度合金的强度y与合金中的碳含量与合金中的碳含量x有关。为有关。为了生产出强度满足顾客需要的合金，在冶炼时应该如何了生产出强度满足顾客需要的合金，在冶炼时应该如何控制碳含量？如果在冶炼过程中通过化验得到了碳含量，控制碳含量？如果在冶炼过程中通过化验得到了碳含量，能否预测合金的强度？能否预测合金的强度？这时需要研究两个变量间的关系。首先是收集数这时需要研究两个变量间的关系。首先是收集数据据(xi,yi)，i=1,2,n。现从生产中收集到表。现从生产中收集到表2.2-1所示所示的数据。的
19、数据。现在学习的是第30页，共92页表表2.2-1数据表数据表现在学习的是第31页，共92页一、散布图一、散布图6050400.150.200.10 xy例例2.2-1的散布图的散布图现在学习的是第32页，共92页二、相关系数二、相关系数1相关系数的定义相关系数的定义在散布图上在散布图上n个点在一条直线附近，但又不全个点在一条直线附近，但又不全在一条直线上，称为两个变量有线性相关关系，可在一条直线上，称为两个变量有线性相关关系，可以用相关系数以用相关系数r去描述它们线性关系的密切程度去描述它们线性关系的密切程度现在学习的是第33页，共92页其中其中现在学习的是第34页，共92页性质：性质：表示
20、表示n个点在一条直线上，这时两个个点在一条直线上，这时两个变量间完全线性相关。变量间完全线性相关。r0表示当表示当x增加时增加时y也增大，称为正相关也增大，称为正相关r0.576，说明两个变量间有（正）线性相关关系。，说明两个变量间有（正）线性相关关系。现在学习的是第38页，共92页四、一元线性回归方程四、一元线性回归方程1.一元线性回归方程的求法：一元线性回归方程的求法：一元线性回归方程的表达式为一元线性回归方程的表达式为其中其中a与与b使下列离差平方和达到最小：使下列离差平方和达到最小：通过微分学原理，可知通过微分学原理，可知，称这种估计为最小二乘估计。称这种估计为最小二乘估计。b称为回归
21、系数；称为回归系数；a一般称为常数项。一般称为常数项。现在学习的是第39页，共92页 求一元线性回归方程的步骤如下：求一元线性回归方程的步骤如下：（1）计算变量）计算变量x与与y的数据和的数据和Tx，Ty；（2）计算各变量的平方和与乘积和；）计算各变量的平方和与乘积和；（3）计算）计算Lxx,Lxy；（4）求出）求出b与与a；现在学习的是第40页，共92页利用前面的数据，可得：利用前面的数据，可得：b=2.4392/0.0186=130.6022a=590.5/12-130.60221.90/12=28.5297（5）写出回归方程：）写出回归方程：l画出的回归直线一定通过（画出的回归直线一定通
22、过（0，a）与）与两点两点上例：上例：或或现在学习的是第41页，共92页2.回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验有两种方法：有两种方法：一是用上述的相关系数；一是用上述的相关系数；二是用方差分析方法（为便于推广到多元线性回归二是用方差分析方法（为便于推广到多元线性回归的场合），将总的离差平方和分解成两个部分：回归平的场合），将总的离差平方和分解成两个部分：回归平方和与离差平方和。方和与离差平方和。现在学习的是第42页，共92页总的离差平方和：总的离差平方和：回归平方和：回归平方和：离差平方和：离差平方和：且有且有ST=SR+SE，其中，其中它们的自由度分别为：它们的自由度分别为：fT=n-
23、1，fR=1，fE=n-2=fT-fR现在学习的是第43页，共92页计算计算F比，比，对给定的显著性水平对给定的显著性水平，当，当时认为回归方程是显著的，即回归方程是有意时认为回归方程是显著的，即回归方程是有意义的。一般也列成方差分析表。义的。一般也列成方差分析表。现在学习的是第44页，共92页对上面的例子，作方差分析的步骤如下：对上面的例子，作方差分析的步骤如下：根据前面的计算根据前面的计算（1）计算各类平方和：）计算各类平方和：ST=Lyy=335.2292，fT=12-1=11SR=bLxy=130.60222.4292=317.2589，fR=1SE=335.2292-317.2589
24、=17.9703，fE=11-1=10 现在学习的是第45页，共92页（2）列方差分析表：）列方差分析表：例例2.2-1的方差分析表的方差分析表 现在学习的是第46页，共92页对给定的显著性水平对给定的显著性水平=0.05，有，有 F0.95(1,10)=4.96 由于由于F4.96，所以在，所以在0.05水平上认为回归方程是水平上认为回归方程是显著的（有意义的）。显著的（有意义的）。现在学习的是第47页，共92页3利用回归方程进行预测利用回归方程进行预测 对给定的对给定的，y的预测值为的预测值为 概率为概率为的的y的预测区间是的预测区间是其中其中当当n较大，较大，与与相差不大，那么可给出相差
25、不大，那么可给出近似的预测区间，此时近似的预测区间，此时现在学习的是第48页，共92页进行预测的步骤如下：进行预测的步骤如下：（1）对给出的）对给出的x0求预测值求预测值上例，设上例，设x0=0.16，则，则（2）求）求的估计的估计上例有上例有现在学习的是第49页，共92页（3）求）求上例上例n=12，如果求概率为，如果求概率为95%的预测区间，的预测区间，那么那么t0.975(10)=2.228，所以，所以（4）写出预测区间）写出预测区间上例为上例为(49.43-3.11,49.43+3.11)=(46.32,52.54)现在学习的是第50页，共92页由于由于u0.975=1.96，故概率为
26、，故概率为0.95的近似的预测区间的近似的预测区间为：为：所求区间：所求区间：（49.43-2.63，49.43+2.63）=（46.80，52.06）相差较大的原因总相差较大的原因总n较小。较小。现在学习的是第51页，共92页四、可化为一元线性回归的曲线回归四、可化为一元线性回归的曲线回归在两个重复的散布图上，在两个重复的散布图上，n个点的散布不一定都个点的散布不一定都在一条直线附近波动，有时可能在某条曲线附近波在一条直线附近波动，有时可能在某条曲线附近波动，这时以建立曲线回方程为好。动，这时以建立曲线回方程为好。1.确定曲线回归方程形式确定曲线回归方程形式2.曲线回归方程中参数的估计曲线回
27、归方程中参数的估计通过适当的变换，化为一元线性回归的形式，再通过适当的变换，化为一元线性回归的形式，再利用一元线性回归中的最小二乘估计方法获得。利用一元线性回归中的最小二乘估计方法获得。现在学习的是第52页，共92页回归曲线的形式：回归曲线的形式：（1），（，（a0，b0）（2），（，（b0）（3），（，（b0）（4），（，（b0）现在学习的是第53页，共92页3.曲线回归方程的比较曲线回归方程的比较常用的比较准则：常用的比较准则：（1）要求相关指数）要求相关指数R大，其平方也称为决定系大，其平方也称为决定系数，它被定义为：数，它被定义为：（2）要求剩余标准差）要求剩余标准差s小，它被定义为：
28、小，它被定义为：现在学习的是第54页，共92页第三节第三节试验设计试验设计一、试验设计的基本概念与正交表一、试验设计的基本概念与正交表（一）试验设计（一）试验设计多因素试验遇到的最大困难是试验次数太多，若多因素试验遇到的最大困难是试验次数太多，若十个因素对产品质量有影响，每个因素取两个不同状十个因素对产品质量有影响，每个因素取两个不同状态进行比较，有态进行比较，有210=1024、如果每个因素取三个不、如果每个因素取三个不同状态同状态310=59049个不同的试验条件个不同的试验条件现在学习的是第55页，共92页 选择部分条件进行试验，再通过数据分析来寻选择部分条件进行试验，再通过数据分析来寻
29、找好的条件，这便是试验设计问题。通过少量的试验获找好的条件，这便是试验设计问题。通过少量的试验获得较多的信息，达到试验的目的。得较多的信息，达到试验的目的。利用正交表进行试验设计的方法就是正交试验设计。利用正交表进行试验设计的方法就是正交试验设计。现在学习的是第56页，共92页（二）正交表（二）正交表现在学习的是第57页，共92页“L”表示正交表，表示正交表，“9”是表的行数，在试验中表是表的行数，在试验中表示试验的条件数，示试验的条件数，“4”是列数，在试验中表示可以是列数，在试验中表示可以安排的因子的最多个数，安排的因子的最多个数，“3”是表的主体只有三个是表的主体只有三个不同数字，在试验
30、中表示每一因子可以取的水平数。不同数字，在试验中表示每一因子可以取的水平数。现在学习的是第58页，共92页正交表具有正交性，这是指它有如下两个特点：正交表具有正交性，这是指它有如下两个特点：（1）每列中每个数字重复次数相同。）每列中每个数字重复次数相同。在表在表L9(34)中，每列有中，每列有3个不同数字：个不同数字：1,2,3，每一个出现每一个出现3次。次。（2）将任意两列的同行数字看成一个数对，那）将任意两列的同行数字看成一个数对，那么一切可能数对重复次数相同。么一切可能数对重复次数相同。在表在表L9(34)中，任意两列有中，任意两列有9种可能的数对：种可能的数对：(1,1),(1,2),
31、(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)每一对出现一次。每一对出现一次。现在学习的是第59页，共92页常用的正交表有两大类常用的正交表有两大类（1）一类正交表的行数一类正交表的行数n，列数，列数p，水平数，水平数q间有如下关系：间有如下关系：n=qk,k=2,3,4,p=(n-1)/(q-1)如：如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等，等，可以考察因子间的交互作用。可以考察因子间的交互作用。（2）另一类正交表的行数，列数，水平数之间）另一类正交表的行数，列数，水平数之间不满足上述的两个关系不满足上述的两个关系如：如：L12
32、(211)，L18(37)，L20(219)，L36(313)等等 这类正交表不能用来考察因子间的交互作用这类正交表不能用来考察因子间的交互作用 常用正交表见附录常用正交表见附录现在学习的是第60页，共92页二、无交互作用的正交设计与数据分析二、无交互作用的正交设计与数据分析试验设计一般有四个步骤：试验设计一般有四个步骤：1.试验设计试验设计2.进行试验获得试验结果进行试验获得试验结果3.数据分析数据分析4.验证试验验证试验现在学习的是第61页，共92页例例2.3-1磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组件的关磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组件的关键部件之一，按质量要求其输出力矩应大于键部件之一，按质量要求其输
33、出力矩应大于210g.cm。某生产厂过去这项指标的合格率较低，。某生产厂过去这项指标的合格率较低，从而希望通过试验找出好的条件，以提高磁鼓电从而希望通过试验找出好的条件，以提高磁鼓电机的输出力矩。机的输出力矩。现在学习的是第62页，共92页（一）试验的设计（一）试验的设计在安排试验时，一般应考虑如下几步：在安排试验时，一般应考虑如下几步：（1）明确试验目的）明确试验目的（2）明确试验指标）明确试验指标（3）确定因子与水平）确定因子与水平（4）选用合适的正交表）选用合适的正交表,进行表头设计，列出进行表头设计，列出试验计划试验计划现在学习的是第63页，共92页在本例中：在本例中：试验目的：提高磁
34、鼓电机的输出力矩试验目的：提高磁鼓电机的输出力矩试验指标：输出力矩试验指标：输出力矩确定因子与水平：经分析影响输出力矩的可能因确定因子与水平：经分析影响输出力矩的可能因子及水平见表子及水平见表2.3-2表表2.3-2因子水平表因子水平表现在学习的是第64页，共92页选表：首先根据因子的水平数，找出一类正交表选表：首先根据因子的水平数，找出一类正交表再根据因子的个数确定具体的表再根据因子的个数确定具体的表把把因因子子放放到到表表的的列列上上去去，称称为为表表头头设设计计把把放放因因子子的的列列中中的的数数字字改改为为因因子子的的真真实实水水平平，便便成成为为一一张张试试验验计计划划表表，每每一一
35、行行便便是是一一个个试试验验条条件件。在在正正交交设设计计中中n个个试试验验条条件件是是一一起起给给出出的的的的，称称为为“整整体体设设计计”，并且均匀分布在试验空间中。，并且均匀分布在试验空间中。表头设计表头设计ABC列号列号1234现在学习的是第65页，共92页试验计划与试验结果试验计划与试验结果现在学习的是第66页，共92页9个试验点的分布个试验点的分布3C3C2C1A115798642A2A3B1B2B3现在学习的是第67页，共92页（二）进行试验，并记录试验结果（二）进行试验，并记录试验结果在进行试验时，要注意几点：在进行试验时，要注意几点：1.除了所考察的因子外的其它条件，尽可能除
36、了所考察的因子外的其它条件，尽可能保持相同保持相同2.试验次序最好要随机化试验次序最好要随机化3.必要时可以设置区组因子必要时可以设置区组因子现在学习的是第68页，共92页（三）数据分析（三）数据分析1.数据的直观分析数据的直观分析（1）寻找最好的试验条件）寻找最好的试验条件在在A1水平下进行了三次试验：水平下进行了三次试验：#1，#2，#3，而，而在这三次试验中因子在这三次试验中因子B的三个水平各进行了一次试的三个水平各进行了一次试验，因子验，因子C的三个水平也各进行了一次试验。的三个水平也各进行了一次试验。在在A2水平下进行了三次试验：水平下进行了三次试验：#4，#5，#6，在这三，在这三
37、次试验中因子次试验中因子B与与C的三个水平各进行了一次试验。的三个水平各进行了一次试验。在在A3水平下进行了三次试验：水平下进行了三次试验：#7，#8，#9，在这三，在这三次试验中因子次试验中因子B与与C的三个水平各进行了一次试验。的三个水平各进行了一次试验。现在学习的是第69页，共92页将全部试验分成三个组，那么这三组数据间的将全部试验分成三个组，那么这三组数据间的差异就反映了因子差异就反映了因子A的三个水平的差异，为此计算的三个水平的差异，为此计算各组数据的和与平均：各组数据的和与平均：T1=y1+y2+y3=160+215+180=555=T1/3=185 T2=y4+y5+y6=168
38、+236+190=594=T2/3=198 T3=y7+y8+y9=157+205+140=502=T3/3=167.3同理同理对因子对因子B与与C将数据分成三组分别比较将数据分成三组分别比较现在学习的是第70页，共92页所有计算列在下面的计算表中所有计算列在下面的计算表中例例2.3-1直观分析计算表直观分析计算表现在学习的是第71页，共92页（2）各因子对指标影响程度大小的分析）各因子对指标影响程度大小的分析极差的大小反映了因子水平改变时对试验结果极差的大小反映了因子水平改变时对试验结果的影响大小。这里因子的极差是指各水平平均值的的影响大小。这里因子的极差是指各水平平均值的最大值与最小值之差
39、，譬如对因子最大值与最小值之差，譬如对因子A来讲：来讲：RA=198167.3=30.7其它的结果也列在上表中。从三个因子的极差可其它的结果也列在上表中。从三个因子的极差可知因子知因子B的影响最大，其次是因子的影响最大，其次是因子A，而因子，而因子C的的影响最小。影响最小。现在学习的是第72页，共92页（3）各因子不同水平对指标的影响图）各因子不同水平对指标的影响图从图上可以明显地看出每一因子的最好水平从图上可以明显地看出每一因子的最好水平A2，B2，C3，也可以看出每个因子对指标影响的，也可以看出每个因子对指标影响的大小大小RBRARC。CBA220205190175160900110013
40、00 101112708090RARBRC图图2.3-2因子各水平对输出力矩的影响因子各水平对输出力矩的影响现在学习的是第73页，共92页由于正交表的特点，使试验条件均匀分布在试验由于正交表的特点，使试验条件均匀分布在试验空间中，因此使数据间具有整齐可比性，上述的直观空间中，因此使数据间具有整齐可比性，上述的直观分析可以进行。但是极差大到什么程度可以认为水平分析可以进行。但是极差大到什么程度可以认为水平的差异确实是有影响的呢？的差异确实是有影响的呢？2.数据的方差分析数据的方差分析要把引起数据波动的原因进行分解，数据的波要把引起数据波动的原因进行分解，数据的波动可以用离差平方和来表示。动可以用
41、离差平方和来表示。现在学习的是第74页，共92页正交表中第正交表中第j列的离差平方和的计算公式：列的离差平方和的计算公式：其中其中Tij为第为第j列第列第i水平的数据和，水平的数据和，T为数据总为数据总和，和，n为正交表的行数，为正交表的行数，q为该列的水平数为该列的水平数该列表头是哪个因子，则该该列表头是哪个因子，则该Sj即为该因子的离差即为该因子的离差平方和，譬如平方和，譬如SA=S1正交表总的离差平方和为：正交表总的离差平方和为：在这里有在这里有：现在学习的是第75页，共92页 例例2.3-12.3-1的方差分析计算表的方差分析计算表现在学习的是第76页，共92页 第第4列上没有放因子，
42、称为空白列。列上没有放因子，称为空白列。S4仅反映由仅反映由误差造成的数据波动，称为误差平方和。误差造成的数据波动，称为误差平方和。Se=S4 利用利用可以验证平方和的计算是否正可以验证平方和的计算是否正确。确。现在学习的是第77页，共92页 例例2.3-12.3-1的方差分析表的方差分析表因子因子A与与B在显著性在显著性0.10与与0.05上都是显著的，而因上都是显著的，而因子子C不显著。不显著。现在学习的是第78页，共92页3.最佳条件的选择最佳条件的选择对显著因子应该取最好的水平；对显著因子应该取最好的水平；对不显著因子的水平可以任意选取，在实际中通常对不显著因子的水平可以任意选取，在实
43、际中通常从降低成本、操作方便等角度加以选择。从降低成本、操作方便等角度加以选择。上面的例子中对因子上面的例子中对因子A与与B应该选择应该选择A2B2，因子，因子C可可以任选，譬如为节约材料可选择以任选，譬如为节约材料可选择C1。现在学习的是第79页，共92页4.贡献率分析方法贡献率分析方法当试验指标不服从正态分布时当试验指标不服从正态分布时,进行方差分析的依进行方差分析的依据就不够充足据就不够充足,此时可通过比较各因子的此时可通过比较各因子的“贡献率贡献率”来衡来衡量因子作用的大小。由于量因子作用的大小。由于S因因中除因子的效应外，还包中除因子的效应外，还包含误差，从而称含误差，从而称S因因-
44、f因因Ve为因子的纯离差平方和，将为因子的纯离差平方和，将因子的纯离差平方和与因子的纯离差平方和与ST的比称为因子的贡献率。的比称为因子的贡献率。（四）验证试验（四）验证试验对对A2B2C1进行三次试验，结果为：进行三次试验，结果为：234，240，220，平均值为，平均值为231.3此结果是满意的此结果是满意的现在学习的是第80页，共92页三、有交互作用的正交设计与数据分析三、有交互作用的正交设计与数据分析例例2.3-2为提高某种农药的收率，需要进行试验。为提高某种农药的收率，需要进行试验。（一）试验的设计（一）试验的设计 明确试验目的明确试验目的 明确试验指标明确试验指标 确定试验中所考虑
45、的因子与水平，并确确定试验中所考虑的因子与水平，并确定可能存在并要考察的交互作用定可能存在并要考察的交互作用 选用合适的正交表。选用合适的正交表。现在学习的是第81页，共92页在本例中：在本例中：试验目的：提高农药的收率试验目的：提高农药的收率试验指标：收率试验指标：收率确定因子与水平以及所要考察的交互作用：确定因子与水平以及所要考察的交互作用：因子水平表因子水平表还要考察因子还要考察因子A与与B交互作用交互作用现在学习的是第82页，共92页 选表：首先根据因子的水平数，找出一类选表：首先根据因子的水平数，找出一类正交表再根据因子的个数及交互作用个数确定正交表再根据因子的个数及交互作用个数确定
46、具体的表。具体的表。把因子放到表的列上去，但是要先放有交互把因子放到表的列上去，但是要先放有交互作用的两个因子，并利用交互作用表，标出交互作用的两个因子，并利用交互作用表，标出交互作用所在列，以便于今后的数据分析。作用所在列，以便于今后的数据分析。把放因子的列中的数字改为因子的真实水把放因子的列中的数字改为因子的真实水平，便成为一张试验计划表。平，便成为一张试验计划表。现在学习的是第83页，共92页L8（27）的交互作用表）的交互作用表现在学习的是第84页，共92页试验计划试验计划现在学习的是第85页，共92页（二）数据分析（二）数据分析1.数据的方差分析数据的方差分析 在二水平正交表中一列的
47、离差平方和有在二水平正交表中一列的离差平方和有一个简单的计算公式：一个简单的计算公式：其其中中T1j、T2j分分别别是是第第j列列一一水水平平与与二二水水平平数数据据的和，的和，n是正交表的行数是正交表的行数现在学习的是第86页，共92页例例2.3-2的计算表的计算表现在学习的是第87页，共92页例例2.3-2的方差分析表的方差分析表现在学习的是第88页，共92页其中：其中：SA=S1，SB=S2，SC=S4，SD=S7SAB=S3，Se=S5+S6fA=fB=fC=fD=fAB=1，fe=2现在学习的是第89页，共92页AB的搭配表的搭配表2.最佳条件的选择最佳条件的选择故最佳条件是：故最佳
48、条件是：A2B1C2A2B1的搭配为好，的搭配为好，C取取2水平为好。水平为好。现在学习的是第90页，共92页（三）避免混杂现象（三）避免混杂现象表头设计的一个原则表头设计的一个原则选择正交表时必须满足下面一个条件：选择正交表时必须满足下面一个条件：“所考察所考察的因子与交互作用自由度之和的因子与交互作用自由度之和n1”，其中，其中n是正交是正交表的行数。不过在存在交互作用的场合，这一条件满表的行数。不过在存在交互作用的场合，这一条件满足时还不一定能用来安排试验，所以这是一个必要条足时还不一定能用来安排试验，所以这是一个必要条件。件。现在学习的是第91页，共92页例例2.3-3给出下列试验的表头设计：给出下列试验的表头设计：（1）A、B、C、D为二水平因子，同时考察交互为二水平因子，同时考察交互作用作用AB，AC（2）A、B、C、D为二水平因子，同时考察交为二水平因子，同时考察交互作用互作用AB，CD（3）A、B、C、D、E为三水平因子，同时考为三水平因子，同时考察交互作用察交互作用AB它们分别要用它们分别要用L8（27），），L16（215），），L27（313）现在学习的是第92页，共92页