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1、关于静态电磁场边值问题的解法第一页，讲稿共三十一页哦一一.静态电磁场静态电磁场第一节第一节 三类边值问题三类边值问题 静态电磁场问题中最重要的是静态电磁场的位静态电磁场问题中最重要的是静态电磁场的位函数方程函数方程以及求解位函数必需的以及求解位函数必需的边界条件边界条件。1.静电场静电场静电场、恒流电场、恒流磁场统称静电场、恒流电场、恒流磁场统称静态电磁场。静态电磁场。第二页，讲稿共三十一页哦2.恒流电场恒流电场3.恒流磁场恒流磁场 标量磁位标量磁位第三页，讲稿共三十一页哦 矢量磁位矢量磁位二二.三类边值问题三类边值问题第一类边值问题：第一类边值问题：给定所有边界位函数之值。给定所有边界位函数
2、之值。第二类边值问题：第二类边值问题：给定所有边界上位函数沿外法线方给定所有边界上位函数沿外法线方向的偏导数值。向的偏导数值。第三类边值问题：第三类边值问题：给定部分场域边界上位函数之值，及给定部分场域边界上位函数之值，及其余边界上位函数沿边界外法向的偏导数的值。其余边界上位函数沿边界外法向的偏导数的值。第四页，讲稿共三十一页哦第二节第二节 镜像法镜像法v 唯一性定理唯一性定理 在静态电磁场问题的求解中，往往使用在静态电磁场问题的求解中，往往使用不同的方法，只要所得的解能不同的方法，只要所得的解能满足位函数方程满足位函数方程（泊松方程或（泊松方程或拉普拉斯方程）又能拉普拉斯方程）又能满足给定的
3、边界条件满足给定的边界条件，那么这个解就是，那么这个解就是唯一正确的解。唯一正确的解。v 镜像法镜像法1）保持求解区域中电荷分布不变，介质分布不变，把原保持求解区域中电荷分布不变，介质分布不变，把原分区域均匀介质空间看成全部均匀的介质空间；分区域均匀介质空间看成全部均匀的介质空间；2）用求解区域外虚设的简单电荷来代替实际边界上复杂的用求解区域外虚设的简单电荷来代替实际边界上复杂的分布电荷；分布电荷；只要虚设电荷和求解区域内实际电荷的共同作用产生只要虚设电荷和求解区域内实际电荷的共同作用产生的电场能满足给定的边界条件，则根据唯一性定理，这种的电场能满足给定的边界条件，则根据唯一性定理，这种代替是
4、正确有效的。一般虚设电荷处于镜像位置，故称代替是正确有效的。一般虚设电荷处于镜像位置，故称镜镜像法像法。第五页，讲稿共三十一页哦（导板及无穷远处）（导板及无穷远处）一一.无限大导体平面的镜像法无限大导体平面的镜像法 若导电平面上方有若导电平面上方有N N 个电荷，个电荷，则只需在其镜像位置放则只需在其镜像位置放N N 个镜像电个镜像电荷即可。荷即可。（导板及无穷远处）（导板及无穷远处）空间任一点空间任一点Q点电位为：点电位为：第六页，讲稿共三十一页哦二二.无限大介质分界平面的镜像法无限大介质分界平面的镜像法上上半半空空间间下下半半空空间间第七页，讲稿共三十一页哦上半空间电势为上半空间电势为下半
5、空间电势为下半空间电势为第八页，讲稿共三十一页哦即即 中的电场是由中的电场是由 与与 共同产共同产生，其有效区在上半空间，生，其有效区在上半空间，是等效是等效替代极化电荷的影响。替代极化电荷的影响。中的电场是由中的电场是由 与与 决定，决定，其有效区在下半空间，其有效区在下半空间，是等效替是等效替代极化电荷的作用。代极化电荷的作用。第九页，讲稿共三十一页哦三三.电轴法电轴法以以 y y 轴为参考点轴为参考点,C=C=0,0,则则第十页，讲稿共三十一页哦等位线方程为：等位线方程为：圆心坐标圆心坐标圆半径圆半径 当当K K 取不同数值时取不同数值时,就得到一族偏心圆。且每个圆的就得到一族偏心圆。且
6、每个圆的半径半径 ，圆心位置，圆心位置 和电轴位置和电轴位置b b 之间满足之间满足第十一页，讲稿共三十一页哦 将两根线电荷看成两根电轴，并用来求解平行双导线将两根线电荷看成两根电轴，并用来求解平行双导线系统的方法，称为系统的方法，称为电轴法电轴法。两个电轴点对任意等位线圆互为镜像，故两个电轴点对任意等位线圆互为镜像，故电轴法电轴法也是也是镜像法镜像法之一。之一。1.线电荷与圆柱导体线电荷与圆柱导体 将圆柱导体表面的分布将圆柱导体表面的分布电荷集中到电轴上，成为一电荷集中到电轴上，成为一条线电荷，导体圆柱面成为条线电荷，导体圆柱面成为等位面。等位面。第十二页，讲稿共三十一页哦2.两个相同半径的
7、平行导体圆柱两个相同半径的平行导体圆柱 将两圆柱表面看成等位面，该将两圆柱表面看成等位面，该问题变为双线电荷问题。问题变为双线电荷问题。电轴位置为：电轴位置为：圆心位置为：圆心位置为：第十三页，讲稿共三十一页哦镜像法（电轴法）小结镜像法（电轴法）小结 镜像法（电轴法）的镜像法（电轴法）的理论基础理论基础是静电场唯一性定理；是静电场唯一性定理；镜像法（电轴法）的镜像法（电轴法）的实质实质是用虚设的镜像电荷（电轴）替是用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；镜像法（电轴法）的镜像法（电轴法）的关键关键是确定镜像电荷（电轴
8、）的个数是确定镜像电荷（电轴）的个数（根数），大小及位置。（根数），大小及位置。应用镜像法（电轴法）解题时，应用镜像法（电轴法）解题时，注意：注意：镜像电荷（电轴）镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。只能放在待求场域以外的区域。叠加时叠加时，要注意场的适用区，要注意场的适用区域。域。第十四页，讲稿共三十一页哦第二节第二节 分离变量法分离变量法 分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求解一类具有理想边界条件的典型边值问题解一类具有理想边界条件的典型边值问题 。一般情况下。一般情况下,采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动采用
9、正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行方程的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。解题的一般步骤：解题的一般步骤：根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值问题（微分方程和边界条件）；应的边值问题（微分方程和边界条件）；分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程；程；解常微分方程，并叠加各特解得到通解；解常微分方程，并叠加各特解得到通解
10、；利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。的解。第十五页，讲稿共三十一页哦一一.直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的拉普拉斯方程：直角坐标系中的拉普拉斯方程：设其解为：设其解为：将其代入拉普拉斯方程：将其代入拉普拉斯方程：即：即：X、Y、Z分别只是分别只是x、y、z的函数，为使其对所有的的函数，为使其对所有的x、y、z点均能得到满足，它们的分式必须分别为常数。点均能得到满足，它们的分式必须分别为常数。第十六页，讲稿共三十一页哦即：即：1）两个实数和一个虚数；两个实数和一个虚数；3）若其中一个为零，则另两个可
11、以为一实一若其中一个为零，则另两个可以为一实一虚，也可以都为虚，也可以都为0。2）两个虚数和一个实数；两个虚数和一个实数；并且：并且：为为分离常数分离常数分离常数分离常数的取值的取值第十七页，讲稿共三十一页哦v 以以 为例：为例：1）若若 取实数，则取实数，则 X(x)的解为的解为：（令：（令 ）或或2）若若 取虚数，则取虚数，则 X(x)的解为的解为：（令：（令 ）或或3）若若 为为0，则，则 X(x)的解为的解为：第十八页，讲稿共三十一页哦v 分离常数的取值到底为实数、虚数、或分离常数的取值到底为实数、虚数、或0，由边界条件决，由边界条件决定。即：定。即：若在某个坐标方向上，边界条件是周期
12、性的，则该坐若在某个坐标方向上，边界条件是周期性的，则该坐标的分离常数必为实数。标的分离常数必为实数。若在某个坐标方向上，边界条件是非周期性的，则若在某个坐标方向上，边界条件是非周期性的，则该坐标的分离常数必为虚数。该坐标的分离常数必为虚数。若位函数与某一坐标变量无关则其分离常数为若位函数与某一坐标变量无关则其分离常数为0。解得解得X(x)、Y(y)、Z(z)后，其乘积：后，其乘积：即为待求拉普拉斯方程之解，利用边界条件确定分离常即为待求拉普拉斯方程之解，利用边界条件确定分离常数和其它待定常数，再把求得的所有特解线性叠加，即数和其它待定常数，再把求得的所有特解线性叠加，即为所求方程之通解。为所
13、求方程之通解。第十九页，讲稿共三十一页哦例例1 设有无限长矩形管，其一边宽为设有无限长矩形管，其一边宽为a，另一边宽为另一边宽为b，图中矩形管除上臂电位为图中矩形管除上臂电位为 外，其余各臂的电位为外，其余各臂的电位为0，求矩形管内的电位分布。，求矩形管内的电位分布。解解 矩形管无限长，管臂上电位沿矩形管无限长，管臂上电位沿z方向无变化，故管内的电位函数方向无变化，故管内的电位函数与与z无关，即：无关，即：此为二维平行平面场，拉普拉斯方程为：此为二维平行平面场，拉普拉斯方程为：第二十页，讲稿共三十一页哦 场域边界场域边界x=0、x=a处管壁上处管壁上 场域边界场域边界y=0、y=b处管壁上处管
14、壁上即沿即沿x方向，场重复出现零值，方向，场重复出现零值，作周期变化，因此分离常数作周期变化，因此分离常数 为实数。为实数。即沿即沿x方向，边界条件是非周期的方向，边界条件是非周期的，因此分离常数因此分离常数 为虚为虚数。且：数。且：设：设：，则，则 ，因，因 此：此：第二十一页，讲稿共三十一页哦边界条件：边界条件：（1）（2）（3）（4）由（由（1）可得：）可得：由（由（2）可得：）可得：第二十二页，讲稿共三十一页哦由边界条件（由边界条件（3）则方程的解为所有特解的线型叠加，即：则方程的解为所有特解的线型叠加，即：由边界条件（由边界条件（4）第二十三页，讲稿共三十一页哦（n为奇数）为奇数）（
15、n为偶数）为偶数）由三角函数的正交性由三角函数的正交性（m为奇数）为奇数）（m为偶数）为偶数）第二十四页，讲稿共三十一页哦（m为奇数）为奇数）（m为偶数）为偶数）（m为奇数）为奇数）（m为偶数）为偶数）满足拉普拉斯方程的通解有无数个，但满足给定边界条件的满足拉普拉斯方程的通解有无数个，但满足给定边界条件的解是唯一的。解是唯一的。第二十五页，讲稿共三十一页哦二二.圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的拉普拉斯方程：圆柱坐标系中的拉普拉斯方程：选择圆柱坐标系的情况多数为电位选择圆柱坐标系的情况多数为电位 仅与仅与r 和和 有关，有关，与与 z 无关。故今分析电位与坐标变量无
16、关。故今分析电位与坐标变量 z 无关的情况，此时，无关的情况，此时，第三项为第三项为0，电位，电位 满足二维拉普拉斯方程：满足二维拉普拉斯方程：设其解为：设其解为：将其代入拉普拉斯方程：将其代入拉普拉斯方程：第二十六页，讲稿共三十一页哦 R、分别只是分别只是r、的函数，为使其对任一点成立的函数，为使其对任一点成立，它它们的分式必须分别为常数。令第一项等于们的分式必须分别为常数。令第一项等于 ，可得：，可得：当当 时，上面两方程的解为时，上面两方程的解为:通常：通常：为整数为整数第二十七页，讲稿共三十一页哦（n为整数）为整数）将将 和和 的基本解叠加，构成一般解为：的基本解叠加，构成一般解为：当
17、当 时：时：基本解：基本解：一般通解为：一般通解为：第二十八页，讲稿共三十一页哦二二.球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法球坐标系中的拉普拉斯方程：球坐标系中的拉普拉斯方程：只讨论轴对称场，即只讨论轴对称场，即电位电位 与坐标与坐标 无关此时无关此时拉普拉斯方程为：拉普拉斯方程为：设其解为：设其解为：将其代入拉普拉斯方程：将其代入拉普拉斯方程：第二十九页，讲稿共三十一页哦 R、H分别只是分别只是r、的函数，为使其对任一点成立的函数，为使其对任一点成立，它它们的分式必须分别为常数。令第一项等于们的分式必须分别为常数。令第一项等于k，可得：可得：令令 ，则：，则：勒让德方程勒让德方程 勒让德方程的解具有幂级数形式，且在勒让德方程的解具有幂级数形式，且在 收敛，如选择收敛，如选择 ，其中，其中n为正整数，则解的收为正整数，则解的收敛域扩展为敛域扩展为 （和（和 的收敛域一致）的收敛域一致）第三十页，讲稿共三十一页哦感感谢谢大大家家观观看看第三十一页，讲稿共三十一页哦