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1、第三章第四节随机变量函数的分布本讲稿第一页，共二十四页 在第二章中，我们讨论了一在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论们进一步讨论:我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形然后将其推广到多个随机变量的情形.当随机变量当随机变量X1,X2,Xn的联合分布已的联合分布已知时，如何求出它们的函数知时，如何求出它们的函数 Yi=gi(X1,X2,Xn),i=1,2,m的联合分布的联合分布?本讲稿第二页，共二十四页一、离散型分布的情形一、离散型分布的情形例例1 若若X、Y独立，独
2、立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求求Z=X+Y的概率函数的概率函数.解解:=a0br+a1br-1+arb0 由独立由独立性性此即离散型此即离散型卷积公式卷积公式r=0,1,2,本讲稿第三页，共二十四页解：解：依题意依题意 例例2 若若X和和Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布,证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布.由卷积公式由卷积公式i=0,1,2,j=0,1,2,本讲稿第四页，共二十四页由卷积公式由卷积公式即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.r=0,1，本讲稿第五页，共
3、二十四页 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f(x,y),求求Z=X+Y的密的密度度.解解:Z=X+Y的分布函数是的分布函数是:FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)这里积分区域这里积分区域D=(x,y):x+y z是直线是直线x+y=z 左下方的半平面左下方的半平面.二、连续型分布的情形二、连续型分布的情形本讲稿第六页，共二十四页 化成累次积分化成累次积分,得得 固定固定z和和y,对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换,令令x=u-y,得得变量代换变量代换交换积分次序交换积分次序本讲稿第七页，共二十四页由概率由概率密度与分布函数的关系密度与分布函数的关系,即得即得Z=X+
4、Y的的概率密度为概率密度为:由由X和和Y的对称性的对称性,fZ(z)又可写成又可写成 以上两式即是两个随机变量和的以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式概率密度的一般公式.本讲稿第八页，共二十四页 特别，当特别，当X和和Y独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y的边缘密的边缘密度分别为度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为则上述两式化为:这两个公式称为卷积公式这两个公式称为卷积公式.下面我们用下面我们用卷积公式来求卷积公式来求Z=X+Y的概率密度的概率密度本讲稿第九页，共二十四页为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例3 若若X和和
5、Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度.解解:由卷积公式由卷积公式也即也即本讲稿第十页，共二十四页为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 如图示如图示:也即也即于是于是本讲稿第十一页，共二十四页用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明:若若X和和Y 独立独立,结论又如何呢结论又如何呢?若若X和和Y 独立独立,具有相同的分布具有相同的分布N(0,1),则则Z=X+Y服从正态分布服从正态分布N(0,2).本讲稿第十二页，共二十四页解解:例例4 设某种商品在一周内的需要量是一个随机变量，设某种商品在一周内的需要量
6、是一个随机变量，其概率密度函数为其概率密度函数为:如果各周的需要量相互独立，求两周需要如果各周的需要量相互独立，求两周需要量的概率密度函数量的概率密度函数.分别用X,Y表示该种商品在第一，二周内的需要，则其概率密度函数分别为:本讲稿第十三页，共二十四页两周需要量两周需要量Z=X+Y,ZZ=X+Y,Z的概率密度函数为的概率密度函数为:时，被积函数不为零，所时，被积函数不为零，所以以 （1）当当z 0时时,有有本讲稿第十四页，共二十四页(2)(2)当当z0,z0,本讲稿第十五页，共二十四页三、三、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 设设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的是
7、两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为分布函数分别为FX(x)和和FY(y),我们来求我们来求M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布函数的分布函数.本讲稿第十六页，共二十四页又由于又由于X和和Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到M=max(X,Y)的分的分布函数为布函数为:即有即有 FM(z)=FX(z)FY(z)FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz)由于由于M=max(X,Y)不大于不大于z等价于等价于X和和Y都不大都不大于于z，故有，故有 分析：分析：P(Mz)=P(Xz,Yz)本讲稿第十七页，共二十四页 类似地，可得类似地，可得N=min(X,
8、Y)的分布函数是的分布函数是下面进行推广下面进行推广 即有即有 FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)=1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1-P(Nz)=1-P(Xz)P(Yz)本讲稿第十八页，共二十四页 设设X1,Xn是是n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它它们的分布函数分别为们的分布函数分别为 我们来求我们来求 M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布函数的分布函数.(i=0,1，,n)本讲稿第十九页，共二十四页 用与二维时完全类似的方法，可得用与二维时完全类似的方法，可得 特别，当特别，当X1,Xn相互独立且具有相同相互独立且具有相同分布函数分
9、布函数F(x)时，有时，有 N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为:FM(z)=F(z)nFN(z)=1-1-F(z)n本讲稿第二十页，共二十四页 若若X1,Xn是连续型随机变量，在求得是连续型随机变量，在求得M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布的分布函数后，不难求得函数后，不难求得M和和N的密度函数的密度函数.留作课下练习留作课下练习.当当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有时，有 FM(z)=F(z)nFN(z)=1-1-F(z)n本讲稿第二十一页，共二十四页 需要指出
10、的是，当需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具相互独立且具有相同分布函数有相同分布函数F(x)时时,常常称称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值的意义和实用价值.本讲稿第二十二页，共二十四页 这一讲，我们介绍了求随机向量函数这一讲，我们介绍了求随机向量函数的分布的原理和方法，需重点掌握的是：的分布的原理和方法，需重点掌握的是：1、已知两个随机变量的联合概率分布，会求、已知两个随机变量的联合概率分布，会求其函数的概率分布其函数的概率分布；2、会根据多个独立随机变量的概率分布求其函、会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布数的概率分布关于关于n维随机向量请同学们自学维随机向量请同学们自学本讲稿第二十三页，共二十四页第三章作业P973.3，3.6，3.7，3.10，3.113.13，3.24，3.28，3.30，3.33提交时间：下周第二次课之前本讲稿第二十四页，共二十四页