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1、关于多自由度自由振动现在学习的是第1页，共28页多自由度体系的自由振动 主要内容主要内容：振动方程、振型方程、频率方程及振型图：振动方程、振型方程、频率方程及振型图 一、柔度法建立振动方程 1.两个质点的振动 m1m2 由质点1与质点2的惯性力共同产生 式中，i j 为j质点的惯性力为1时在 i质点处产生的位移。i，j=1，2 现在学习的是第2页，共28页v设方程的特解形式为 y1(t)=A1sin（t+）y2(t)=A2sin（t+）记此式称为振型方程振型方程 考虑此式有非零解（否则，体系不振动），则需使 此式称为频率方程频率方程 现在学习的是第3页，共28页行列式有两个不同实数根1与2 。
2、记 则1称为第一频率或基本频率；则2称为第二频率 相应的T1称为第一周期或基本周期；T2称为第二周期 现在学习的是第4页，共28页将=1 代入振型方程中的任意一个方程，记为 y1(t)=A11sin（1t+）y2(t)=A21sin（1t+）显然这表示y1与y2是相关的体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动形状体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动形状称作体系的主振型。称作体系的主振型。得 A2与A1的比值现在学习的是第5页，共28页同理，把=2 代入振型方程中的任意一个方程，得到A2与A1的比值，记为 同样，称 为为第二振型第二振型 y1(t)=A12sin（2t+）y2(t)=A2
3、2sin（2t+）对应于对应于1的振型称为的振型称为第一振型第一振型，或基本振型，或基本振型现在学习的是第6页，共28页v说明从数学上讲，两个不同实数根（特征根）1与2对应的两个振型（特征向量）是线性无关的，故，体系自由振动在任意时刻 t 的位移反应可写作两个振型的线性组合，亦即振动方程的一般解：y1(t)=A11sin（1t+）+A12sin（2t+）y2(t)=A21sin（1t+）+A22sin（2t+）现在学习的是第7页，共28页vn个自由度体系的振动及其矩阵表示 振动方程可表示为 即，第 i 质点的位移是由所有质点的惯性力在第i质点产生位移的叠加。写成矩阵的形式为：现在学习的是第8页
4、，共28页v简写为：称为柔度矩阵 称为质量矩阵 称为位移列向量 称为加速度列向量-（1）方程（1）的解设为：式中，现在学习的是第9页，共28页v把代入（1）记-（2）（2）式称为振型方程振型方程。同样，（2）式有非零解（否则将不产生振动）的条件是：-（3）（3）式称为频率方程频率方程 现在学习的是第10页，共28页频率方程有n个互不相同的实数根1，2，.，n，对应着n个互不相同的频率；分别代入（2）式可得到n个线性无关的振型。记，称为第j振型。现在学习的是第11页，共28页v计算举例计算举例 图示体系，图示体系，EI=常数，质点的质量为常数，质点的质量为m，各杆的长度都是，各杆的长度都是L，列
5、，列振动方程并求各频率和振型，画振型图。振动方程并求各频率和振型，画振型图。解：1）2个动力自由度，质点的水平位移和竖向位移 2）质点在振动过程中有2 个方向的位移，各由2 个方向的惯性力共同产生，振动方程为：现在学习的是第12页，共28页v方程中各个系数意义如下：12=21=0 3）求频率记，=A1sin（t+）=A2sin（t+）P=1 LL/2L/2L/4L/4M1P=1L/4L/4L/4M2现在学习的是第13页，共28页从而，解得：4）求振型 把1（或1）及把2（或2）分别代入振型方程 现在学习的是第14页，共28页v5）画振型图 画振型图时，完全按照2个振型中的量值，与假定的2个位移
6、方向相协同。1.01.0现在学习的是第15页，共28页v二、刚度法建立振动方程 1.两个质点的振动 图示简支梁，质量集中在跨中两个质点，如图，具有两个动力自由度。用刚度法建立振动方程时，考虑每个质点的受力平衡。质点在振动过程中，在惯性力作用下有2个位移，各质点分别受到各自的恢复力而与各自的惯性力平衡 m1m212m1m2现在学习的是第16页，共28页v惯性力弹性恢复力：恢复力的求法如下 K11K211K12K221依叠加法可得 现在学习的是第17页，共28页v振动方程-受力平衡方程2.n个质点的振动及其矩阵表示 一般方程可写为 m1m2现在学习的是第18页，共28页v写成矩阵的形式为 设方程的
7、解的形式为 式中现在学习的是第19页，共28页v代入振动方程可得-振型方程-频率方程3.柔度矩阵与刚度矩阵的关系现在学习的是第20页，共28页v计算举例 图示结构弹簧的刚度图示结构弹簧的刚度 KN=，杆长都是，杆长都是L，列振动方程，列振动方程并求振动频率和振型，作出振型图并求振动频率和振型，作出振型图 KNEI1=EIEIm解：1）2个动力自由度，质点的水平位移和竖向位移，如图 现在学习的是第21页，共28页v振动方程质点在任何时刻要受力平衡水平方向：竖向问题转化为求质点在任意时刻 t 在2 个方向上受到的恢复力现在学习的是第22页，共28页v恢复力的求法VBAVDCFEK2水平问题转变为：
8、质点位移后的弯矩图VDB弹簧反力竖向FEK1ABCD现在学习的是第23页，共28页v为此，先求出2个方向分别单位位移的弯矩图，然后叠加也就是求解右图所示在支杆1、2 分别移动时的弯矩图12K11K2116EI/L26EI/L2R 支杆1单位位移时的弯矩图：现在学习的是第24页，共28页求系数K11K213 i/L9 i/2L3 i/2LM图K11VDBKNVBAVDCK21r114i2i2iM图现在学习的是第25页，共28页v求系数类似的方法求支杆2有水平侧移=1时的K12及K22 K22K12弹性恢复力v2)求频率和振型=A1sin（t+）=A2sin（t+）现在学习的是第26页，共28页现在学习的是第27页，共28页感谢大家观看现在学习的是第28页，共28页