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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页关于二元函数的连续性(3)第一页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、二元函数的连续性概念 连续性的定义连续性的定义若若只要只要,就有就有则称则称 f 关于集合关于集合 D 在点在点 连续连续.在不致误解的情形在不致误解的情形 下下,也称也称 f 在点在点 连续连续.若若 f 在在 D 上任何点都关于集合上任何点都关于集合 D 连续连续,则称则称 f 为为 D 上的上的连续函数连续函数.定定义义1 设设 f 为为定定义义在点集在点集上的二元函数上的二元函数,第二页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前
2、页前页前页前页由上述定义知道由上述定义知道:若若 是是 D 的孤立点的孤立点,则则 必定是必定是 f 的连续点的连续点.若若 是是 D 的聚点的聚点,则则 f 关于集合关于集合 D 在点在点 连续等价于连续等价于 如果如果 是是 D 的聚点的聚点,而而(2)式不成立式不成立(其含义与一元其含义与一元函数的对应情形相同函数的对应情形相同),则称则称 是是 f 的的不连续点不连续点(或或 称称间间断点断点).特特别别当当(2)式左式左边边极限存在极限存在,但不等于但不等于 如上节例如上节例1、2 给出的函数在原点连续给出的函数在原点连续;例例3、4、5 是是 f 的的可去间断点可去间断点.时时,第
3、三页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页给出的函数在原点不连续给出的函数在原点不连续.又若把上述例又若把上述例3 的函数的函数改为改为上，这时由于上，这时由于其中其中 m 为固定实数为固定实数,亦即函数亦即函数 f 只定义在只定义在 第四页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在坐标原点的连续性在坐标原点的连续性因此因此 此此时时 f 在原点连在原点连因此因此 f 在原点沿着直线在原点沿着直线 是连续的是连续的例例1 讨论函数讨论函数 解解 由于当由于当 第五页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页续续;而当
4、而当 不存在，不存在，此此时时 在原点在原点间间断断 全增量与偏增量全增量与偏增量 设设量形式来描述连续性量形式来描述连续性,即当即当为函数为函数 f 在点在点 的全增量的全增量.和一元函数一样和一元函数一样,可用增可用增 第六页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页时时,f 在点在点 连续连续.如果在全增量中取如果在全增量中取 则则相相应应得到的得到的 增量称为偏增量增量称为偏增量,分别记作分别记作一般说来一般说来,函数的全增量并不等于相应的两个偏增函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和量之和.第七页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页
5、前页若一个偏增量的极限若一个偏增量的极限为为零零,如如 则则表示当固定表示当固定 时时,作作为为 x 的函数的函数,它它 在在 x0 连续连续.同理同理,则则表示表示当当 容易证明容易证明:当当 f 在其定义域的内点在其定义域的内点 连续时连续时,在在 x0 与与 在在 y0 都都连续连续.但是反但是反过过来来,由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该函数的连续性函数的连续性(除非另外增加条件除非另外增加条件).例如二元函数例如二元函数固定固定 时时，在在 y0 连续连续.第八页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在
6、原点处显然不连续在原点处显然不连续,但由于但由于 f(0,y)=f(x,0)=0,因此它在原点处对因此它在原点处对 x 和对和对 y 分别都连续分别都连续.例例2 设在区域设在区域 连连续续试证试证在下列条件之一在下列条件之一满满足足时时，处处连续处处连续：(i)对对其中一个其中一个变变量量(例如例如 y)满满足李普希茨条件足李普希茨条件,即即 使得使得对对任何任何 第九页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(ii)对其中一个变量对其中一个变量(x)的连续关于另一个变量的连续关于另一个变量(y)是一致的是一致的,即即 (iii)参见本节习题第参见本节习题第 9 题
7、题(这里不作证明这里不作证明).证证(i)第十页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页又当又当 第十一页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(ii)又由又由 f 对对 x 的连续关于的连续关于 y 是一致的是一致的,故故 第十二页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这就证得这就证得 连续函数的局部性质连续函数的局部性质 以及相应的有理运算的各个法则以及相应的有理运算的各个法则.下面只证明二元下面只证明二元若二元函数在某一点连续若二元函数在某一点连续,则与一元函数一样则与一元函数一样,可以可以证明它在这一点近
8、旁具有局部有界性、局部保号性证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性第十三页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复合函数的连续性定理复合函数的连续性定理,其余留给读者自己去练习其余留给读者自己去练习.定理定理16.7(复合函数的复合函数的连续连续性性)设设函数函数和和 义义,并在点并在点 Q0 连续连续,其中其中 则复合函数则复合函数 在点在点 P0 也也 连续连续.证证 由由 f 在点在点 Q0 连续连续可知：可知：使得当使得当 在点在点 的某的某邻邻域内有域内有定义定义,并在并在 点点 连续连续;f(u,v)在点在点 的某邻域内有定的某邻域内有定第十四页，
9、讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页时时,有有又由又由 、在点在点 P0 连续连续可知可知:对对上述上述 使使得当得当时时,有有综合起来综合起来,当当 时时,便有便有所以所以 在点在点 连续连续.第十五页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、有界闭域上连续函数的性质本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质.这这 可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广.定理定理16.8(有界性定理与最大、小值定理有界性定理与最大、小值定理)若二元若二元 函数函数 f 在在有界
10、有界闭闭域域上上连续连续,则则 f 在在 D上有界上有界,且能取得最大值与最小值且能取得最大值与最小值.证证 先先证证明明 f 在在 D 上有界上有界.倘若不然倘若不然,则则 存存 使得使得 在在 第十六页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是得到一个有界点列于是得到一个有界点列,且能使且能使中有无中有无 穷穷多个不同的点多个不同的点.由聚点定理的推由聚点定理的推论论,存在收存在收敛敛 子列子列,设设.因因 D 是是闭闭域域,从而从而 又因又因 f 在在 D上连续上连续,当然在点当然在点 也连续也连续,于是有于是有这与不等式这与不等式(3)矛盾，所以矛盾，所以
11、f 是是 D上的有界函数上的有界函数.下面证明下面证明 f 在在 D 上能取到最大、小值上能取到最大、小值.为此设为此设 可可证证必有一点必有一点,使使(同理可同理可证证存在存在 第十七页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页,使使).如若不然如若不然,对对任意任意,都都 有有.考察考察 D 上的正值连续函数上的正值连续函数 由前面的证明知道由前面的证明知道,F 在在 D上有界上有界.又因又因 f 不能在不能在 D 上达到上确界上达到上确界 M,所以存在收所以存在收敛敛点列点列,使使.于是有于是有,这导这导致与致与 F 在在 D 上有界的结论相矛盾上有界的结论相矛盾
12、,从而证得从而证得 f 在在 D 上能取上能取 到最大值到最大值.第十八页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理16.9(一致连续性定理一致连续性定理)若函数若函数 f 在有界闭域在有界闭域 上上连续连续,则则 f 在在 D 上一致上一致连续连续.即即存存在只依在只依赖赖于于 的的 使得使得对对一切一切满满足足证证 本定理可参照第七章中证明一致连续性定理的本定理可参照第七章中证明一致连续性定理的 理来证明理来证明.这里我们采用后一种证法这里我们采用后一种证法.方法方法,运用有限覆盖定理来证明运用有限覆盖定理来证明,也可以运用聚点定也可以运用聚点定 倘若倘若
13、f 在在 D 上上连续连续而不一致而不一致连续连续,则则存在某存在某对对于任意小的于任意小的例如例如,总总有有 必有必有 的的点点第十九页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页相应相应的的,虽虽然然,但是但是 由于由于 D 为为有界有界闭闭域域,因此存在收因此存在收敛敛子列子列并并设设 .再在再在中取出与中取出与下下 标相同的子列标相同的子列 则因则因有有.最后最后,由由f在在 P0 连续连续,得得 第二十页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这这与与相矛盾相矛盾,所以所以 f 在在 D 上一致连续上一致连续.定理定理16.10(介介值
14、值性定理性定理)设设函数函数f在区域在区域上上连续连续,若若P1,P2 为为 D 中任意两点中任意两点,且且则对任何满足不等式则对任何满足不等式证证 作辅助函数作辅助函数的实数的实数 ,必存在点必存在点,使得使得第二十一页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页易见易见 F 仍在仍在 D 上连续上连续,且由且由(4)式知道式知道下面证明必存在下面证明必存在,使使图图 16-18 第二十二页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由于由于 D 为区域为区域,我们可以用有限段都在我们可以用有限段都在 D 中的折线中的折线 连结连结 P1 和和 P
15、2 (如图如图 16-18).若有某一个连接点所对应的函数值为若有某一个连接点所对应的函数值为 0,则定理得则定理得 证证.否则从一端开始逐段检查否则从一端开始逐段检查,必定存在某直线段必定存在某直线段,使得使得 F 在它两端的函数值异号在它两端的函数值异号.不失一般性不失一般性,设连结设连结P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线段含于的直线段含于 D,其方程为其方程为 第二十三页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在此直线段上在此直线段上,F 变为关于变为关于 t 的复合函数：的复合函数：由于由于 G 为为 0,1 上的一元连续函数上的一元连续函数,且且
16、因此由一元函数根的存在定理因此由一元函数根的存在定理,在在(0,1)内存在一点内存在一点 使得使得.记记则有则有,使得使得第二十四页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页有连通性的有连通性的.界闭集界闭集(证明过程无原则性变化证明过程无原则性变化).但是介值性定理但是介值性定理 中所考察的点集中所考察的点集 D 只能假设是一区域只能假设是一区域,这是为了保这是为了保 证它具有连通性证它具有连通性,而一般的开集或闭集是不一定具而一般的开集或闭集是不一定具 续函数续函数,则则 f(D)必定是一个区间必定是一个区间(有限或无限有限或无限).注注2 由定理由定理16.10 又可知道又可知道,若若 f 为区域为区域 D 上的连上的连例例3 注注1 定理定理16.8 与与 16.9 中的有界闭域中的有界闭域 D 可以改为有可以改为有 第二十五页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 由定理由定理16.9 知道知道第二十六页，讲稿共二十七页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页感感谢谢大大家家观观看看第二十七页，讲稿共二十七页哦