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1、7.2一元二次不等式及其解法1“三个二次”的关系判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1x|xRax2bxc0)的解集x|x1 x0或(xa)(xb)0型不等式的解法不等式解集ab(xa)(xb)0x|xbx|xax|xa(xa)(xb)0x|axbx|bx0，则x.()(2)不等式x25x60的解集为x|x1()(3)不等式0的解集是1,2()(4)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(5)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式a
2、x2bxc0的解集为R.()(6)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()1函数f(x)的定义域为_答案0,3解析由3xx20得x(x3)0，0x3，函数f(x)的定义域为0,32已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是_答案(2,3)解析由题意知，是方程ax2bx10的根，所以由根与系数的关系得，.解得a6，b5，不等式x2bxa0即为x25x60，解集为(2,3)3不等式0的解集为_答案x|1x3解析原不等式可化为1x3.故原不等式的解集为x|10对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为_答案(，)(，)解析由题意，知441(k21)2，k或k
3、0；(2)ax2(a1)x10，所以方程x28x30有两个不相等的实根x14，x24.又二次函数yx28x3的图象开口向下，所以原不等式的解集为x|4x4(2)若a0，原不等式等价于x11.若a0，解得x1.若a0，原不等式等价于(x)(x1)0.当a1时，1，(x)(x1)1时，1，解(x)(x1)0得x1；当0a1，解(x)(x1)0得1x.综上所述：当a0时，解集为x|x1；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为x|1x1时，解集为x|x0的解为x，则不等式2x2bxa0的解集是_(2)不等式0的解集是_答案(1)(2,3)(2)(，1解析(1)由题意，知和是一元二次方程ax2bx
4、20的两根且a0，所以解得则不等式2x2bxa0即2x22x120，其解集为x|2x3(2)原不等式等价于(*)由(*)解得x1.题型二一元二次不等式的恒成立问题例2设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10；若m0，则4m0.所以4m0.(2)要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x
5、)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.综上所述：m的取值范围是m|m0，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m0恒成立，则x的取值范围为_答案(1)1,4(2)(，1)(3，)解析(1)x22x5(x1)24的最小值为4，所以x22x5a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，解得1a4.(2)把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)(x2)a(x24x4)，则由f(a)0对于任意的a1,1恒成立，易知只需f(1)x25x60，且f(1)x23x20即可，联立方程解得x3.题型三一元二次不等式的应用例3某商品每件成本价为80元，售价为100元
6、，每天售出100件若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加x成要求售价不能低于成本价(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围解(1)由题意得，y100100.因为售价不能低于成本价，所以100800.所以yf(x)40(10x)(254x)，定义域为x0,2(2)由题意得40(10x)(254x)10 260，化简得8x230x130.解得x.所以x的取值范围是.思维升华求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)引进数学符号，将文
7、字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_答案20解析由题意得，3 860500500(1x%)500(1x%)227 000，化简得(x%)23x%0.640，解得x%0.2，或x%3.2(舍去)x20，即x的最小值为20
8、.转化与化归思想在不等式中的应用典例：(1)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是_思维点拨(1)考虑“三个二次”间的关系；(2)将恒成立问题转化为最值问题求解解析(1)由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x)2.又f(x)c.2c，即x0恒成立，即x22xa0恒成立即当x1时，a(x22x)g(x)恒成立而g(x)(x22x)(x1)21在1，)上单调递减，g(x)maxg(1)3，故a3.实数a的取值范围是a|a3答案(1)9(2)a|a3温馨提醒(1)本题的解法充分体现了转化与化归思
9、想：函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题(2)注意函数f(x)的值域为0，)与f(x)0的区别.方法与技巧1“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a0时的情形2f(x)0的解集即为函数yf(x)的图象在x轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想3简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解失误与防范1对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形2当0 (a0)的解集为R还是，要注意区别3含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.A组专项基础训练(时间：40分钟)1函数f(x) 的定
10、义域为_答案(2,1解析002f(1)的解集是_答案(3,1)(3，)解析由题意得或解得3x3.3设a0，不等式caxbc的解集是x|2x1，则abc_.答案213解析caxb0，x.不等式的解集为x|2x1，abca213.4若不等式mx22mx42x24x对任意x都成立，则实数m的取值范围是_答案(2,2解析原不等式等价于(m2)x22(m2)x40，当m2时，对任意x不等式都成立；当m20时，4(m2)216(m2)0，2m2，综合，得m(2,25若集合Ax|ax2ax10，则实数a的值的集合是_答案a|0a4解析由题意知a0时，满足条件a0时，由得0a4，所以0a4.6已知一元二次不等
11、式f(x)0的解集为_答案x|xlg 2解析由已知条件010x，解得xlglg 2.7若0a0的解集是_答案x|ax解析原不等式即(xa)(x)0，由0a1得a，ax0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_答案(5,0)(5，)解析由已知得f(0)0，当xx等价于或解得：x5，或5x0；(2)若不等式f(x)b的解集为(1,3)，求实数a、b的值解(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a30，解得32a32.不等式的解集为a|32ab的解集为(1,3)，方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,3，解得10某农贸公司按每担200元收
12、购某农产品，并每100元纳税10元(又称征锐率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围解(1)降低税率后的税率为(10x)%，农产品的收购量为a(12x%)万担，收购总金额为200a(12x%)万元依题意得y200a(12x%)(10x)%a(1002x)(10x)(0x10)(2)原计划税收为200a10%20a(万元)依题意得a(1002x)(10x)20a83.2%，
13、化简得x240x840，解得42x2.又0x10，00的解集是(1,3)，则不等式f(2x)0的解集是_答案(，)(，)解析f(x)0的两个解是x11，x23且a0，由f(2x)3或2x1，x.2(2013重庆改编)关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a_.答案解析由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，所以不等式的解集为(2a,4a)，即x24a，x12a，由x2x115，得4a(2a)15，解得a.3设0，不等式8x2(8sin )xcos 20对xR恒成立，则的取值范围为_答案0，解析由题意，要使8x2(8sin )xcos 20对xR恒成
14、立，需64sin232cos 20，化简得cos 2.又0，02或22，解得0或.4设函数f(x)x21，对任意x，)，f()4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是_答案m|m或m解析依据题意得14m2(x21)(x1)214(m21)在x，)上恒成立，即4m21在x，)上恒成立当x时，函数y1取得最小值，所以4m2，即(3m21)(4m23)0，解得m或m.5若不等式ax25x20的解集是x|x0的解集解(1)由题意知a0，即2x25x30，解得3x0的解集为(3，)6求使不等式x2(a6)x93a0，|a|1恒成立的x的取值范围解将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x3)ax26x90.令f(a)(x3)ax26x9.因为f(a)0在|a|1时恒成立，所以(1)若x3，则f(a)0，不符合题意，应舍去(2)若x3，则由一次函数的单调性，可得即解得x4.所以x的取值范围是x|x412