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1、第二部分大专题综合测1函数与导数时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(文)设集合M1，N1cos，log0.2(|m|1)，若MN，则集合N等于()A2B2,2C0D1,0答案D解析因为MN且1cos0，log0.2(|m|1)0，则函数g(x)f(x)的零点个数为()A1B2C0D0或2答案C解析由条件知，f(x)0.令h(x)xf(x)，则当x0时，h(x)0，当x0时，h(x)0，h(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，且h(0)0.，则h(x)0对任意实数恒成立函数g(x)
2、的零点即为yh(x)与y1的图象的交点个数，所以函数g(x)的零点个数为0.(理)(2014浙江理，6)已知函数f(x)x3ax2bxc，且0f(1)f(2)f(3)3，则()Ac3B3c6C69答案C解析f(1)f(2)f(3)解得f(x)x36x211xc，又0f(1)3，0c63，6nBnN*, f(n)N*或f(n)nCn0N*, f(n0)N*且f(n0)n0Dn0N*, f(n0)N*或f(n0)n0答案D解析全称命题的否定为特称命题，“”的否定为“”(理)(2015浙江理，6)设A，B是有限集，定义：d(A，B)card(AB)card(AB)，其中card(A)表示有限集A中元
3、素的个数命题：对任意有限集A，B，“AB”是“ d(A，B)0”的充分必要条件；命题：对任意有限集A，B，C，d(A，C)d(A，B)d(B，C)A命题和命题都成立B命题和命题都不成立C命题成立，命题不成立D命题不成立，命题成立答案A解析考查集合的性质命题显然正确，通过下图亦可知d(A，C)表示的区域不大于d(A，B)d(B，C)的区域，故命题也正确，故选A.5(文)(2014福建理，4)若函数ylogax(a0，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()答案B解析由图可知ylogax图象过(3,1)，loga31，a3，y3x为减函数，排除A；y(x)3当x0时，y0，排除C；ylo
4、g3(x)中，当x3时，y1，排除D，选B(理)函数f(x)的图象大致是()答案B解析f (x)(x2)，令f (x)0，得x0，故排除C、D两项；当x2时，f(x)0，排除A项，故选B项6(2015北京海淀期末)设a0.23，blog20.3，c20.3，则()AbcaBcbaCabcDbac答案D解析因为0a0.231，blog20.31，所以baxf (x)，则一定有()A函数F(x)在(0，)上为增函数B函数G(x)xf(x)在(0，)上为增函数C函数F(x)在(0，)上为减函数D函数G(x)xf(x)在(0，)上为减函数答案C解析对于F(x)，F(x)0，故F(x)在(0，)上为减函
5、数8(文)若函数f(x)lnx在区间1，e上的最小值为，则实数a的值为()A.BC.D非上述答案答案B解析f (x)，令f (x)0，则xa，若a1，不合题意若ae，则f(x)minf(e)1，则ae，不合题意所以1ae，f(x)minf(a)lna1，则a.(理)(2014新课标理，8)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A0B1C2D3答案D解析本题考查导数的基本运算及导数的几何意义令f(x)axln(x1)，f(x)a.f(0)0，且f(0)2.联立解得a3，故选D9(文)(2015北京西城区二模)设命题p：函数f(x)ex1在R上为增函数；命题q：函数f
6、(x)cos(x)为奇函数，则下列命题中真命题是()ApqB(p)qC(p)(q)Dp(q)答案D解析p为真命题；cos(x)cosx，f(x)为偶函数，q为假命题故选D(理)(2015杭州市质检)已知函数f(x)(xR)是以4为周期的奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln(x2xb)若函数f(x)在区间2,2上有5个零点，则实数b的取值范围是()A1b1BbC1b1或bDb1或b答案D解析本题考查函数的性质，考查数形结合与转化思想，难度较大由周期性f(2)f(24)f(2)，又由奇偶性可得f(2)f(2)，f(2)f(2)，f(2)0，f(2)0，又f(0)0，故若函数在区间2,2内存在5个
7、零点，只需x(0,2)时，f(x)ln(x2xb)只有一个零点即可，即方程x2xb1在区间(0,2)内只有一根，可转化为yb，yx2x1在x(0,2)上只有一个交点，结合图形可得10恒成立得b，综上可得b的取值范围是b1或b，故选D易错警示本题易忽视函数f(x)ln(x2xb)在区间(0,2)上有意义而错选C.10(文)(2015东北三省四市联考)定义在0,1上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数：对任意的x0,1，恒有f(x)0；当x10，x20，x1x21时，总有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则下列函数不是M函数的是()Af(x)x2Bf(x)2x1Cf(x)ln(
8、x21)Df(x)x21答案D解析利用排除法求解函数f(x)x20，x0,1，且x1，x20,1，x1x21时，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)2xx2x1x20，所以f(x)x2是M函数，A选项正确；函数f(x)2x10，x0,1，且x1，x20,1，x1x21时，f(x1x2)f(x1)f(x2)2x1x22x12x21(2x11)(2x21)0，所以f(x)2x1是M函数，B选项正确；函数f(x)ln(x21)0，x0,1，且x1，x20,1，x1x21时，x1x2()2，所以(x1x2)21(x1)(x1)x1x2(2x1x2)0，则f(x1x2)f(x1)f(x2)ln
9、(x1x2)21ln(x1)ln(x1)ln0，所以f(x)ln(x21)是M函数，C选项正确；对于函数f(x)x21，x1x2满足条件，此时f(x1x2)f(1)2|x1x2|，故g(x).在同一直角坐标系中分别作出yh(x)，yx，yx的图象如图所示，观察可知x1，x21,1，1，即|h(x1)h(x2)|x1x2|，故h(x).综上所述，故选C.11(文)(2015济南模拟)若至少存在一个x(x0)，使得关于x的不等式x24|2xm|成立，则实数m的取值范围为()A4,5B5,5C4,5D5,4答案A解析本题考查函数的图象与性质、数形结合思想至少存在一个x0，使得不等式|x|2x2成立，
10、即函数f(x)|x|与g(x)2x2的图象存在横坐标是非负数的公共点在同一坐标系下画出函数g(x)2x2与y|x|的图象，结合图象可知将y|x|的图象向左平移到经过点(0,2)这个过程中的相应曲线均满足题意，即4m0；将y|x|的图象向左平移到直线yx与抛物线y2x2相切的过程中的相应曲线均满足题意，设相应的切点横坐标是x0，则有x01，x01，切点坐标是(1，)，于是有1，得m5，所以0m5.因此满足题意的实数m的取值范围是4，5，故选A.(理)(2015东北三省四市联考)若对于x，y0，)，不等式4axexy2exy22恒成立，则实数a的最大值是()A.B1C2D答案D解析利用分离参数法求
11、解由题意可得4axex2(eyey)2，y0，)恒成立，所以(eyey)min2，则2axex21，x0，)恒成立，x0时显然成立，所以2axex21，x(0，)恒成立，即2a()min在x(0，)上恒成立，令f(x)，x(0，)，则f(x)，x(0，)，由f(x)0得x2，当x(0,2)时，f(x)0，f(x)在(2，)上单调递增，所以f(x)minf(2)1，则2a1，a，所以实数a的最大值是，故选D12(文)(2015四川理，9)如果函数f(x)(m2)x2(n8)x1(m0，n0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为()A16B18C25D答案B解析考查函数与不等式的综合应用当m2时，
12、f(x)(n8)x1在，2上单调递减，n8，又n0，mn2n2时，2即2mn12.6，mn18.由2mn且2mn12得m3，n6.当m3，n6时，mn取到最大值18.当m2时，抛物线开口向下，据题意得，即m2n18.n9m，0m2，n0，mn9mm2(m9)2(29)216.综上可知mn的最大值为18.选B(理)(2015新课标理，12)设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，解得a1，故选D .解法2：a1，f(0)1a0，x00是符合题意的唯一的整数x0，从而a，又a1，a0是真命题，故解得a1.14(文)若曲线yx在点(m，m)处的切线与两坐标
13、轴围成三角形的面积为18，则m_.答案64解析yx，yx，切线的斜率为m，切线方程为ymm(xm)，令x0，得ym，令y0，得x3m，m0，3mm18，m8，m64.(理)已知函数f(x)ax3ax2bxb1在x1处的切线与x轴平行，若函数f(x)的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是_答案(，)解析依题意得，f (1)0，又f (x)ax2axb，b2a，f (x)ax2ax2aa(x2)(x1)，令f (x)0，得x2或x1，当a0时，不合题意；当a0时，要使图象过四个象限，只需结合a0，解得a(，)；当a0时，要使图象过四个象限，只需结合a0.可知不存在符合条件的实数a；综上得，a的取
14、值范围是(，)15(文)函数f(x)ax32ax2(a1)xlog2(a21)不存在极值点，则实数a的取值范围是_答案10，a1或a1；f (x)3ax24axa1，函数f(x)不存在极值点，f (x)0不存在两不等实根，16a243a(a1)4a(a3)0，所以0a3，综上可知：10；当x(1,2)时，f (x)0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x2时函数取得极小值，当x1时函数取得极大值只有不正确16(文)(2015长沙市模拟)若关于x的方程x4ax3ax2ax10有实根，则实数a的取值范围是_答案(，2，)解析利用分离参数法求解因为关于x的方程x4ax3ax2ax10有实根，易知实
15、根不为0，则a，令xt(，22，)，则a，t(，22，)因为()0，所以2或，即a2或a，解得a2或a.(理)(2015福州市质检)已知函数f(x)xsinx，有下列四个结论：函数f(x)的图象关于y轴对称；存在常数T0，对任意的实数x，恒有f(xT)f(x)成立；对于任意给定的正数M，都存在实数x0，使得|f(x0)|M；函数f(x)的图象上至少存在三个点，使得该函数在这些点处的切线重合其中正确结论的序号是_(请把所有正确结论的序号都填上)答案解析因为函数的定义域为R，且f(x)(x)sin(x)xsinxf(x)，故函数f(x)xsinx为偶函数，图象关于y轴对称，正确；作出函数yxsin
16、x的图象如图所示，观察可知，该函数没有周期性，错误；因为当x，xk时，|f(x)|，故对于任意给定的正数M，都存在实数x0，使得|f(x0)|M，对于任意正数M，在同一坐标系中作出函数ysinx与y的图象，易知当x0时，总存在x00，使sinx00，x0sinx0M，|x0sinx0|M，可知正确；作出yx的图象如图所示，观察可知，或由直线yx与曲线切于点(2k，2k)，kZ知正确综上所述，正确命题的序号为.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)(文)已知命题p：Aa|关于x的不等式x22ax40在R上恒成立，命题q：Ba|12(
17、1)若k1，求A(RB)；(2)若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数k的取值范围解析依题意，可得Aa|4a2160x|2a2，Ba|2ka4k(1)当k1时，由于Ba|1a3，则RBa|a1或a3，所以A(RB)a|20且a1)是定义在(，)上的奇函数(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)当x(0,1时，tf(x)2x2恒成立，求实数t的取值范围解析解法1：(1)f(x)是定义在(，)上的奇函数，即f(x)f(x)恒成立，f(0)0.即10，解得a2.(2)由(1)知f(x)1，记yf(x)，即y，2x，由2x0知0，1y0，2x11，02，111，即1f(x)0，原式变为
18、t(2x2)(2x1)1.令2x1，则(0,1，原式变为t1.而g()1在(0,1时是增函数，当1时，g()max0，t0.19(本题满分12分)(文)某开发商用9000万元在市区购买一块土地，用于建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数yf(x)的表达式；(总开发费用总建筑费用购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？解析(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为4000200
19、08000000(元)800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多1002000200000(元)20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以函数表达式为yf(x)800x20900010x2790x9000(xN*)(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为g(x)1000050(x79)g(x)50(1)，由g(x)0及xN*得，x30.易知当x30时，g(x)取得最小值答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低(理)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系
20、近似满足f(t)4，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)115|t15|.(1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1t30，tN)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)解析(1)依题意得，w(t)f(t)g(t)(4)(115|t15|)(2)因为w(t)当1t15时，w(t)(4)(t100)4(t)40142401441，当且仅当t，即t5时取等号当15t30时，w(t)(4)(130t)519(4t)，可证w(t)在t15,30上单调递减，所以当t30时，w(t)取最小值为403.由于4030，f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0
21、时f (x).当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下：x(0，)(，)f (x)0f(x)极小值由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，)(3)由g(x)x22alnx，得g(x)2x，由已知函数g(x)为1,2上的单调减函数，则g(x)0在1,2上恒成立，即2x0在1,2上恒成立即ax2在1,2上恒成立令h(x)x2，x1,2，则h(x)2x(2x)0，所以f(x)在1，e上是增函数，当x1时，f(x)取得最小值f(1)1.所以f(x)在1，e上的最小值为1.(2)法一：f (x)2(xa)设g(x)2x22ax1，依题意得，在区间，2上存在子区间使得不等
22、式g(x)0成立注意到抛物线g(x)2x22ax1的图象开口向上，所以只要g(2)0，或g()0即可由g(2)0，即84a10，得a0，即a10，得a.所以a0成立又因为x0，所以2a0，解得x；由g(x)20，解得0x.所以函数g(x)在区间(，2上单调递增，在区间，)上单调递减所以函数g(x)在x，或x2处取得最大值又g(2)，g()3，所以2a，即a0时，f(x)2aaln.解析(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2e2x(x0)当a0时，f(x)0，yf(x)没有零点；当a0时，因为ye2x单调递增，y单调递增，所以f(x)在(0，)单调递增又f(a)0，当b满足0b且b时，f(
23、b)0，故当a0时，f(x)存在唯一零点(2)由(1)，可设f(x)在(0，)的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)由于2e2x00，所以f(x0)2ax0aln 2aaln .故当a0时，f(x)2aaln .(理)(2015新课标文，21)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解析(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a，若a0，则f(x)0，f(
24、x)在(0，)，单调递增；若a0，则当x时，f(x)0，当x时，f(x)0时f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f2a2ln aa10，令g(a)ln aa1.则g(a)在(0，)是增函数，且g(1)0，于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此a的取值范围是(0,1)22(本题满分12分)(文)(2015重庆文，19)已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，讨论g(x)的单调性解析(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x处取得极值，所以f()0，即3a2()0，解得a.(2)由(1)得，
25、g(x)ex.故g(x)exexexx(x1)(x4)ex，令g(x)0，解得x0，x1或x4.当x4时，g(x)0，故g(x)为减函数；当4x0，故g(x)为增函数；当1x0时，g(x)0时，g(x)0，故g(x)为增函数；综上知g(x)在(，4)和(1,0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数(理)已知函数f(x)2x，(a0)(1)若函数f(x)在x0处取得极值，求a的值；(2)如图，设直线x1，y2x，将坐标平面分成、四个区域(不含边界)，若函数yf(x)的图象恰好位于其中一个区域内，试判断其所在的区域，并求其对应的a的取值范围(3)试比较20162015与20152016的大
26、小，并说明理由解析(1)f(x)2xf (x)2，f(x)在x0处取得极值，f (0)1a20，a1.(经检验a1符合题意)(2)因为函数的定义域为(1，)，且当x0时，f(0)a1，可得f(x)2x，即0，a，令(x)，(x)，令(x)0得xe1，x1，x(1，e1)时，(x)0，(x)单调递增，x(e1，)时，(x).(3)法1：由(2)知函数(x)在x(e1，)时单调递减函数p(x)在x(e，)时单调递减，xln(x1)(x1)lnx，ln(x1)xlnx(x1)，即(x1)xx(x1)，令x2015，则2016201520152016.法2：，C2015r，C20152015r2015
27、2015，1，2016201520152016.法3：()2015()2015(1)201511C()2C()3C()rC()2015223，1，2016201520152016.反馈练习一、选择题1(文)(2015新课标文，1)已知集合Ax|x3n2，nN，B6,8,10,12,14，则集合AB中元素的个数为()A5 B4C3 D2答案D解析集合A的元素为首项为2，公差为3的等差数列，所以集合A2,5,8,11,14，所以AB8,14，元素的个数为2.(理)设集合Ax|()x1，则AB等于()Ax|x2 Bx|2x3Dx|x2或2x2，Bx|0x3，所以ABx|2xm，则f(x0)的值()A等于0B大于0C小于0D符号不确定答案C解析f(x)()xlog3x()xlogx在(0，)上为减函数，又f(m)0，x0m时，应有f(x0)f(m)，即f(x0)0，故选C.(理)(2015天津)已知函数f(x)函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点个数为()A2 B3C4 D5答案A解析当x