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1、广东省深圳市2013年高三数学第一次调研考试试题 文(2013深圳一模)新人教A版试卷类型:A绝密启用前2013.2本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分考试用时 120 分钟注意事项:1答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码 是否正确;之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学 校、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴 条形码区,请保持条形码整洁、不污损2选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上不按要求填涂
2、 的,答案无效3非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的 答案无效4作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答漏涂、 错涂、多涂的答案无效5考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回参考结论:1三棱锥的体积公式: V =Sh ,其中 V , S , h 分别是三棱锥的体积、底面积和高;3回归直线的方程是: y = bx + a ,n ( xi - x)( yi - y) 其中: b =
3、 i =1, a = y - bx n (xi - x)2i =1一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知 i 为虚数单位,则(1 - i)2 =A 2i B -2i C 2D -22013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)试卷第 1 页 共 6 页52已知集合 A = x R | x 0 时, f (x) = log 3 (1 + x) ,则 f (- 2) =A -15下列命题为真命题的是 -31 3A若 p q 为真命题,则 p q 为真命题B“ x = 5 ”是“ x2 - 4x - 5 = 0
4、”的充分不必要条件C命题“若 x 0 ”的否命题为:“若 x -1 ,则 x2 - 2x - 3 0 ” D已知命题 p : $x R ,使得 x2 + x - 1 0 6沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的左视图为A(第 6 题图)7某容量为 180 的样本的频率分布直方图共有 n(n 1)个小矩形,若第一个小矩形的面积1等于其余 n - 1 个小矩形的面积之和的 5 ,则第一个小矩形对应的频数是A 20B 25C 30D 358等差数列 an 中,已知 a5 0 , a4 + a7 0)与双曲线 x- y= 1(a 0, b 0)的一条渐近线交于一点22abM(1,
5、 m),点 M 到抛物线焦点的距离为 3 ,则双曲线的离心率等于1C1DA 3B 44310已知 x 0 , y 0 ,且 4xy - x - 2 y = 4 ,则 xy 的最小值为2B 2 2C 2D 2A22013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)试卷第 2 页 共 6 页二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分本大题分为必做题和选做题两部分(一)必做题:第11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须做答11运行如图所示的程序框图,输出的结果是 开始否输出 S结束(第 11 题图) x - y + 2 0, y 12已知变量 x,y 满足约束条件 x 1
6、,则的取值范围是 x2x + y - 8 0.13在平面直角坐标系 xOy 中,定点 A(4, 3)且动点 B(m, 0)在 x 轴的正半轴上移动,则m的最大值为 AB(二)选做题:第14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算第一题的得分14在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 x = 1 + t, (参数 t R),若以 O y = 4 - 2t.为极点, x 轴的正半轴为极轴,曲线 C 的极坐标方程为 r = 4sin q ,则直线 l 被曲线 C所截得的弦长为 A15如图, PA 是 O 的切线, A 为切点,直线 PB 交 O于 D、B 两点,交弦
7、 AC 于 E 点,且 AE = 4 ,EC = 3 ,BE = 6 , PE = 6 ,则 AP = OEPBDC(第 15 题图)第 3 页 共 6 页2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)试卷A5是A=A+1S= 2S+1A=1,S=1三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16(本小题满分 12 分)3在平面直角坐标系 xOy 中,M(sin 2 q , 1),N(1, - 2 cos2 q)( q R ),且 O M O N = - .2(1)求点 M , N 的坐标;(2)若角 a , b 的顶点都为坐标原点且始边都与 x 轴
8、的非负半轴重合,终边分别经过点M , N ,求 tan(a + b )的值.17(本小题满分 12 分)一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如下表所示:(1)要从 5 名学生中选 2 人参加一项活动,求选中的学生中至少有一人的物理成 绩高于 90分的概率;(2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图,并求这些数据的线性回归方程 y = bx + a y(物理成绩)949290888991939597x(数学成绩)(第 17 题图)2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)试卷第 4 页 共 6 页O学生A1A2A3A4A5数学( x 分)8991939597物理( y 分)87898
9、9929318(本小题满分 14 分)p如图甲, O 的直径 AB = 2 ,圆上两点 C、D 在直径 AB 的两侧,使 CAB = 4 ,DAB = p 沿直径 AB 折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙), F 为 BC 的中3点, E 为 AO 的中点根据图乙解答下列各题:(1)求三 棱锥 C - BOD 的体积;(2)求证: CB DE ;(3)在 BD 上是否存在一点 G ,使得 FG / 平面 ACD ?若存在,试确定点 G 的位置;若不 存在,请说明理由CCABOEOABD(第 18 题图甲)D(第 18 题图乙)19(本题满分 14 分)设 an 是公比大于 1 的等比数
10、列, Sn 为数列 an 的前 n 项和已知 S3 = 7 ,且 3a2 是a1 + 3 和 a3 + 4 的等差中项(1)求数列 an 的通项公式;a1,数列 b 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn 1), e 是自然对数的底数(1)试判断函数 (f x)在区间(0, + )上的单调性;(2)当 a = e , b = 4 时,求整数 k 的值,使得函数 (f x)在区间(k , k + 1)上存在零点;(3)若存在 x1 , x2 -1, 1,使得 | (f x1)- (f x2)| e - 1 ,试求 a 的取值范围2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)试卷第 6 页
11、共 6 页2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)答案及评分标准说明:一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数一、选择题:本大题每小题5分,满分50分12345678910BDDABBCCAD二、填空题:本大题每小
12、题5分;第14、15两小题中选做一题,如果两题都做,以第14题的得分为最后得分),满分20分11. 12. 13 14 15.三、解答题:本大题6小题,满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,(),且.(1)求点的坐标;(2)若角的顶点都为坐标原点且始边都与轴的非负半轴重合,终边分别经过点,求的值.解:(1) .2分解得,所以, .6分(2)由(1)可知, .10分 .12分【说明】 本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式,以及向量的有关知识.考查了运算能力17(本小题满分12分)一次考试中,五名学生的数学、物理成
13、绩如下表所示:学生数学(分)物理(分)(1)要从名学生中选人参加一项活动,求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于分的概率;(2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图,并求这些数据的线性回归方程解:(1)从名学生中任取名学生的所有情况为:、共种情况.3分其中至少有一人物理成绩高于分的情况有:、共种情况, 故上述抽取的人中选人,选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于分的概率. 5分(2)散点图如右所示. 6分可求得:=,=, 8分=40,=0.75, , 11分故关于的线性回归方程是:. 12分【说明】 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识,考查了学生的数据处理能力和应用意识18(本小题
14、满分14分)如图甲,的直径,圆上两点在直径的两侧,使,沿直径折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙),为的中点,为的中点根据图乙解答下列各题:(1)求三棱锥的体积;(2)求证:;ABCOD(第18题图甲)(3)在上是否存在一点,使得平面?若存在,试确定点的位置;若不存在,请说明理由ABFOD(第18题图乙)EG解:(1)为圆周上一点,且为直径,为中点,.两个半圆所在平面与平面互相垂直且其交线为,平面,平面.就是点到平面的距离,在中,. 4分(2)在中,为正三角形,又为的中点,两个半圆所在平面与平面互相垂直且其交线为,平面. . 9分(3)存在,为的中点.证明如下:连接,为的直径,平面,平面
15、,平面.在中,分别为的中点,平面,平面,平面平面,又平面,平面.14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力19(本题满分14分)设是公比大于1的等比数列,为数列的前项和已知,且是和的等差中项(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和为,求证:解:(1)由已知,得3分解得设数列的公比为,则,由,可知,解得由题意,得 5分故数列的通项为 7分(2), 11分 .14分【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质,考查了数列求和的“裂项相消法”;考查了学生的运算能力和思维能力20(本题满分14分)已知椭圆的中心为原点,焦点在轴上,离心率为,且点在
16、该椭圆上(1)求椭圆的方程; B(第20题图)(2)如图,椭圆的长轴为,设是椭圆上异于、的任意一点,轴,为垂足,点满足,直线与过点且垂直于轴的直线交于点,求证:为锐角20解:(1)设椭圆C的方程为,由题意可得 , 又,. 2分椭圆C经过,代入椭圆方程有 ,解得. 5分,故椭圆C的方程为 . 6分(2)设, 7分,直线的方程为 9分令,得, 12分,又、不在同一条直线,为锐角. 14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力21(本小题满分14分)已知函数,是自然对数的底数(1)试判断函数在区间上的单调性;(2)当,时,求整数的
17、值,使得函数在区间上存在零点;(3)若存在,使得,试求的取值范围解:(1) 1分由于,故当时,所以,2分故函数在上单调递增 . 3分(2), 4分当时,故是上的增函数;同理,是上的减函数. 5分,当,故当时,函数的零点在内,满足条件;,当,故当时,函数的零点在内,满足条件.综上所述 或. 7分(3), 因为存在,使得,所以当时, 8分,当时,由,可知,;当时,由,可知 ,;当时,.在上递减,在上递增,11分 当时,而,设,因为(当时取等号),在上单调递增,而,当时, 当时,即,设,则.函数在上为增函数,.即的取值范围是14分【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力,同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.