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1、第4课时利用导数解决不等式恒成立或有解问题1(2019年全国卷)已知函数f(x)2sin xxcos xx，f(x)为f(x)的导数(1)证明：f(x)在区间(0，)存在唯一零点；(2)若当x0，时，f(x)ax，求a的取值范围解：(1)证明：设g(x)f(x)，则g(x)cos xxsin x1，g(x)xcos x.当x时，g(x)0；当x时，g(x)0，所以g(x)在上单调递增，在上单调递减又g(0)0，g0，g()2，故g(x)在(0，)存在唯一零点所以f(x)在(0，)存在唯一零点(2)由题设知，f()a，f()0，可得a0.由(1)知，f(x)在(0，)只有一个零点，设为x0，且当
2、x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减又f(0)0，f()0，所以，当x0，时，f(x)0.又当a0，x0，时，ax0，故f(x)ax.因此，a的取值范围是(，02(2019届陕西质量检测一)已知函数f(x)ln x，g(x)x1.(1)求函数yf(x)的图象在x1处的切线方程；(2)证明：f(x)g(x)；(3)若不等式f(x)ag(x)对任意的x(1，)均成立，求实数a的取值范围解：(1)因为f(x)，所以f(1)1.又f(1)0，所以切线的方程为y01(x1)，即所求切线的方程为yx1.(2)证明：设h(x
3、)f(x)g(x)ln xx1，则h(x)1，令h(x)0，得x1，当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，)h(x)0h(x)极大值所以h(x)h(x)maxh(1)0，即f(x)g(x)(3)易知对任意的x(1，)，f(x)0，g(x)0.当a1时，f(x)g(x)ag(x)；当a0时，f(x)0，ag(x)0，所以不满足不等式f(x)ag(x)；当0a1时，设(x)f(x)ag(x)ln xa(x1)，则(x)a.令(x)0，得x，当x变化时，(x)，(x)的变化情况下表：x(x)0(x)极大值所以(x)max(1)0，不满足不等式综上，实数a的取值范围为1，
4、)3(2019届贵州适应性考试)已知函数f(x)axex(aR)，g(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)x0(0，)，使不等式f(x)g(x)ex成立，求a的取值范围解：(1)因为f(x)aex，xR.当a0时，f(x)0，f(x)在R上单调递减；当a0时，令f(x)0，得xln a.由f(x)0，得f(x)的单调递增区间为(，ln a)；由f(x)0，得f(x)的单调递减区间为(ln a，)综上，当a0时，f(x)的单调减区间为(，)；当a0时，f(x)的单调增区间为(，ln a)，单调减区间为(ln a，)(2)因为x0(0，)，使不等式f(x)g(x)ex成立，则ax，即a在x
5、0(0，)上有解设h(x)，则问题转化为a，由h(x)，令h(x)0，则x.当x在区间(0，)内变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)h(x)0h(x)极大值由上表可知，当x时，函数h(x)有极大值，即最大值为.所以a.故a的取值范围为.4已知函数f(x)3ln xx2x，g(x)3xa.(1)若f(x)与g(x)的图象相切，求a的值；(2)若x00，使f(x0)g(x0)成立，求参数a的取值范围解：(1)由题意得，定义域为(0，)，且f(x)x1，设切点为(x0，f(x0)，则kf(x0)x013，解得x01或x03(舍)，所以切点，代入g(x)3xa，得a.(2)设h
6、(x)3ln xx22x.x00，使f(x0)g(x0)成立，等价于x00，使h(x0)3ln x0x2x0a成立，等价于ah(x)max(x0)因为h(x)x2，令h(x)0，得0x1；令h(x)0，得x1.所以函数h(x)3ln xx22x在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以h(x)maxh(1)，即a，因此参数a的取值范围为.5(2020届陕西省百校联盟高三模拟)已知函数f(x)ln x，aR.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)2，当a0时，证明：f(x)g(x)0恒成立解：(1)由题意知f(x)的定义域为(0，)，f(x)(x0)，当a0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增当a0时，当0x2a时，f(x)2a时，f(x)0，所以f(x)在(2a，)上单调递增(2)证明：f(x)g(x)0ln x20.设h(x)ln x2，则h(x).当x(0，a)时，h(x)0.所以h(x)在xa处取得极小值，即最小值，所以h(x)minh(a)ln a1.令函数m(a)ln a1，则m(a).当a(0，1)时，m(a)0.所以m(a)在a1处取得极小值，即最小值，所以m(a)minm(1)0.所以当a0时，h(x)0恒成立，即f(x)g(x)0恒成立- 4 -