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1、核心素养测评五十九 曲线与方程（含轨迹问题）(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.动圆M经过双曲线x2-=1的左焦点且与直线x=2相切,则圆心M的轨迹方程是()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4x D.y2=-4x【解析】选B.双曲线x2-=1的左焦点为F(-2,0),动圆M经过点F且与直线x=2相切,则圆心M到点F的距离和到直线x=2的距离相等,由抛物线的定义知轨迹是抛物线,其方程为y2=-8x.2.在平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=1+2(O为原点),其中1,2R,且1+2=1,则点C的轨迹是()A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线
2、【解析】选A.设C(x,y),则=(x,y),=(3,1),=(-1,3),因为=1+2,所以又因为1+2=1,所以化简得x+2y-5=0表示一条直线.3.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是()A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=0【解析】选D.设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得Q点的轨迹方程为2x-y+5=0.4.在ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程.如表
3、给出了一些条件及方程:条件方程ABC周长为10C1:y2=25ABC面积为10C2:x2+y2=4(y0)ABC中,A=90C3:+=1(y0)则满足条件,的轨迹方程依次为()A.C3,C1,C2B.C1,C2,C3C.C3,C2,C1D.C1,C3,C2【解析】选A.ABC的周长为10,即|AB|+|AC|+|BC|=10,又|BC|=4,所以|AB|+|AC|=6|BC|,此时动点A的轨迹为椭圆,与C3对应;ABC的面积为10,所以|BC|y|=10即|y|=5与C1对应;因为A=90,所以=(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2+y2-4=0与C2对应.5.如图所示,在正方体ABCD-
4、A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等,则动点P所在曲线的形状为 ()【解析】选C.由已知P到点B的距离等于到直线A1B1的距离,根据抛物线的定义可知,动点P的轨迹是以B为焦点,以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分.二、填空题(每小题5分,共15分)6.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A、B,APB=60,则动点P 的轨迹方程为_.【解析】设P(x,y),x2+y2=1的圆心为O,因为APB=60,OP平分APB,所以OPB=30,因为|OB|=1,OBP为直角,所以|OP|=2,所以x2+y2=4.答案:x2+y2=47.在平面
5、直角坐标系中,动点P和点M(-2,0),N(2,0)满足|+=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为_.【解析】把已知等式|+=0用坐标表示,得4+4(x-2)=0,化简变形得y2=-8x.答案:y2=-8x8.若直线y=k(x+2)+4与曲线y=有两个交点,则实数k的取值范围是_.【解析】直线y=k(x+2)+4,当x=-2时,y=4,可得此直线恒过A(-2,4),曲线y=为圆心在坐标原点,半径为2的半圆,根据题意作出相应的图形,如图所示:当直线y=k(x+2)+4与半圆相切(切点在第一象限)时,圆心到直线的距离d=r,所以=2,即4k2+16k+16=4+4k2,解得:k=-,当直线y=k(x
6、+2)+4过点C时,将x=2,y=0代入直线方程得:4k+4=0,解得:k=-1,则直线与曲线有2个交点时k的取值范围为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.在平面直角坐标系中,已知A1(-,0),A2(,0),P(x,y),M(x,1),N(x,-2),若实数使得2=(O为坐标原点).求P点的轨迹方程,并讨论P点的轨迹类型.【解析】=(x,1),=(x,-2),=(x+,y),=(x-,y).因为2=,所以(x2-2)2=x2-2+y2,整理得(1-2)x2+y2=2(1-2).当=1时,方程为y=0,轨迹为一条直线;当=0时,方程为x2+y2=2,轨迹为圆;当(-1,0)(0,1
7、)时,方程为+=1,轨迹为中心在原点,焦点在x轴上的椭圆;当(-,-1)(1,+)时,方程为-=1,轨迹为中心在原点,焦点在x轴上的双曲线.10.(2020成都模拟)已知长度为4的线段AB的两个端点A,B分别在x轴和y轴上运动,动点P满足=3,记动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程.(2)设不经过点H(0,1)的直线y=2x+t与曲线C相交于两点M,N.若直线HM与HN的斜率之和为1,求实数t的值.【解析】(1)设P(x,y),A(m,0),B(0,n),因为=3,所以(x,y-n)=3(m-x,-y)=(3m-3x,-3y),即 ,所以 ,因为|AB|=4,所以m2+n2=16,所以x
8、2+16y2=16,所以曲线C的方程为:+y2=1;(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由 ,消去y得,37x2+36tx+9(t2-1)=0,由=(36t)2-4379(t2-1)0,可得-t0得k2,所以0x,所以顶点E的轨迹方程为x2+4y2-6x=0.5.(10分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足= .(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【解析】(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由= ,得x0=x
9、,y0=y.因为M(x0,y0)在椭圆C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1,得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.1.方程(x2-y2-1)=0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分) ()【解析】选B.原方程等价于 或x-y-1=0,前者表示等轴双曲线x2-y2=1位于直线x-y-1=0下方的部分,后者为直线x-y-1=0,这两部分合起来即为所求B.2.方程|y|-1=所表示的曲线的长度是 ()A.6B.2C.2+4D.6+12【解析】选B.方程|y|-1=,可得|y|-10,即有y1或y-1,即有(x-2)2+(|y|-1)2=3,作出方程|y|-1=所表示的曲线,如图可得曲线为两个半圆,半径均为,可得表示曲线的长度为2.- 10 -