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1、专题02极值点偏移问题判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数y = /（%）,在区间g,b）上只有一个极大（小）值点七,方程/（x）=o 的解分别为4，彳2，Rax x2b ,（1）假设/（%）/（2/ 一%2），那么 / （）/，即函数 丁 = /（%）在区间（%,%2）上极（小）大值点与右（左）偏；（2）假设/（%）/（2%0-2），那么 ；%（）/，即函数 y = /（%）在区间（1，%2）上极（小）大值点工0右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数y = /（x）,在区间（a,6）上只有一个极大（小）值点 %,那么函数/（用的单调递增（减）区间为（。,九）,单调递减（增）区间为（
2、九0，刀， 由于有斗/，且 2%一工2%0，又/（%）/（2%2），故王（）2%。9，所以假设强（）%，即函数极（小）大值点%。右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏=号）左慢右快（极值点右偏O机号）可以先根据题意所给条件化简这个不等式，可以转化为了区)/(2。-玉)，利用条件/(%) = /(%)将不等式转化为求证/(不)/(2，-办)，设出新函数，然后利用导 数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.6.函数/(x) =-21nx(e a(1)求函数/(x)的极值；(2)假设函数/(%)有两个零点1，%2(%1 4.【答案】(1)答案详见解析；(2)证明详见解
3、析.【解析】【分析】(1)求出了(%),分两种情况讨论。的范围，分别令广(%)0求得的范围， 可得函数/(%)增区间，:()4,只需证龙2 4-%, 45)=21%2玉+421n(4%),构造函数利用单调性可得结 论.【详解】(1)函数/(X)的定义域为(0,+x), f(x) = -=2x22a.a x ax当a0时，尸(%)0 时，假设 XG(O,&), r(%)0, /(%)在(G,+8)上是增函数，故当了 =右时，)在(0,+。)上的极小值为/(6) = 21n& = l-Ina,无极大值.2(2)当a = 4时，/(x) = -21ax,由（1）知，/（x）在（0,2）上是减函数，在
4、（2,+8）上是增函数， = 2是极值点，又为，4为函数“X）零点，所以。要证为+工24,只需证x24 一 %.: =（421n（4 J =? 2玉+4-21n（4-%J ,又21/（%） = 21nT=0, * /（4%）=21叫一2毛+421n（4玉），令/z（x） = 21nx-2x+4-21n（4-x）（0 vx0,x4-x x（4 - x）从力在（0,2）上是增函数，./1（%）网2）= 0,.4一3）0 = /（%2）,，4一否 2.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得导数尸=2；”+ 1,（0,+00）,令/z（x） = x2_2办+ 1 ,那么
5、 XA = 4（6Z-1）（67 + 1）,分0两种情况分类讨论，结合导数的符号，即可求 解；（2）当 =1时，得至IJ/（%） = % 21nx + l,根据函数/（%）的单调性，不妨设01%2,得到/(2_斗)+ /(%)20,构造函数g(%) = 2-x) + x)-2 ,%G(O,1,结合导数求得函数g(%)的单调性和极值，即可求解.【详解】(1)由题意，函数/(x) = x + 1的定义域为(0,+8),X( 2 1x2 - 2ax +1可得/(x) = l + =弓，X XX令/z(x) = %2-2ax+l,那么 A = 4/ -4 = 4(-1)( + 1).当一iWaWl时，
6、A0,可得了(%)20对Vxw(0,+8)恒成立，那么/ (%)在区间(0, +8)上单调递增.当 a 0 ,令/(%)=。，得% = a - /-1 , x2 = a + y/a2 1.(i)当 Q V -1 时，%1 x2 时，0七 假设IG(0,%),函数/(X)单调递增；假设c(再,为),r(x)0,函数/(%)单调递增.综上所述：当时，/(%)在区间(0,+8)上单调递墙当。1时，在(0,4 J”? - 1)和(。+ 1,+8 上/(X)单调递增；在(-J/ -1, +J4 - 1) /(%)单调递减.(2)当 4 = 1 时，函数 f(x) = x 21nx ，+ 1,x由(1)可
7、知/(%)在区间(。，+8)上单调递增，又易知/(1) = 1，且/(内)+ /(%2)= 2,不妨设要证+%222,只需证2 2 2-玉，只需证/(%2)/(2-,),即证2 /(%)/(2-),即证/(2-西) + /(%)-20,所以函数g(%)在区间(0, 1上单调递增，贝 iJg(%)Wg=。，所以/(2_%)+ /(斗)_200得证，从而玉+之2.【点睛】此题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了 转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要 构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 也可别离变量，构
8、造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.(1A8,函数/(x) = lnx+ ax1 - 2ax.tz e R .2)(1)讨论的单调性；(2)假设/(x)在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数%,当，使得/(5)+ /(%2)二 一3 ,证明：%1 +x2 2.【答案】(1)当时，/(%)在(0,1)上递增，在(1，+8)上递减；Ir 1 a( 、当:时，力在(0,1)上递增，在h-上递减，在-一+8上递 2V 2tz -1J12-17增；当.=1时，/ (%)在(0,+8)上递增；(1 ( S当时，/(x)在o9-上递增，在-a上递减，在(i,+上递增； 、2a -1 y1 2。-1
9、/(2)证明见解析【解析】【分析】(1)对/(%)求导，分J1，。= 1进行讨论，可得/(%)的单调性；(2) /(%)在定义域内是是增函数，由(1)可知。=1, /(x) = lnx + 1x2-2x, 设不 9,可得(%) + /(/) = -3 = 2/,那么设 g(x) = 2小小3户0,1),对g(x)求导，利用其单调性可证明【详解】解：/(X)的定义域为(。,+a)，(1)2因为 x) = lnx+ ax - 2ax ,2)匚二i、i ./ 1/、(2 I)/2ax +1 (x l)x 1所以广(x)=上+(2o l)x 2。= 1=-/当时，令2)0f(xQ ,人,得 0 v x
10、 0当上1,令当上1,令f(x0 ,_，得Ovxvl,或xx02a-l/ x 0 ,1),得lxQ2a 1当 =1 时，fx)09当a 1时; 那么0 V 1 时，/（X）在 0,上递增，在1 、一pl上递减，在（1，+8）上递增;2。一 1 ）（2） /（x）在定义域内是是增函数，由（1）可知，=1,此时 /（x） = nx +x2 -2x ,设 尤2，又因为%） + /（）=一3 = 21）,那么0% 1%，设g(x) = /(2_x) + /(x) + 3,x(0,l),那么g(%) = 广(2 %) + /(%) = +=对于任意 w(O,l)成2-x x x2-x)立, 所以g（x）
11、在（。，1）上是增函数, 所以对于近(0,1),有g(x)g=21) + 3 = 0, gpVxe(OJ),有2x) + /(x) + 30,因为所以/(2xJ + /(xJ + 3/（2-）,又/（%）在（0,+8）递增, 所以 2 -%，即% + % 2 .【点睛】此题主要考查利用导数研究含参函数的单调性及导数在极值点偏移中的应用，考查学生分类讨论与转化的思想，综合性大，属于难题.（TY9.函数/（x） = f（w0）.(1)求函数/(x)的单调区间；(2)当。=1时，如果方程/(%) = /有两个不等实根再，巧，求实数，的取值范围，并证明石+%2 2.【答案】(1)当。0时一，/(%)的
12、单调递增区间是(-8,1),单调递减区间是当Q0时，当幻的单调递增区间是(L+8),单调递减区间是(-8/)；(2) OlI ej证明见解析.【解析】【分析】(1)求出了(%),对。分类讨论，分别求出，(%)0(%)%，令根=%-9，那么根0, Uem 1,即证(/%- 2)e? + m+ 2 。，构造函数 g(x) = (x- 2)ex + x + 2(x 0),只要证明对于任意X o, g(%) 。恒成立即可.【详解】(1) “X)的定义域为凡且/(幻=叫2. e1 X1 x由一0,得1；由=1. ee故当。0时，函数/(%)的单调递增区间是(-I),单调递减区间是(1，+8)；当。0时，
13、函数/(%)的单调递增区间是(L”)，单调递减区间是(F,l).Y1(2)由(1)知当，=1 时，且/(x)皿x=l)=. ee当 x。时，f (x) 0时，/(%) 0.当0，2,只需证+e)2 ,即证(切(e+*)2,不妨设洲 泊令加=%一，那么机0, 41,m(em +1那么要证Z2，即证(加一2)+m+ 20.*1令 g(x) = (x-2)ex +x + 2(x 0),那么 gr(x) = (x-l)ex +1.令 /z(x) = (x - l)e +1,贝U h(x) = xex 0 ,.h(x) = (x-l)ex +1 在(0, +8)上单调递增,h(x) /i(0) = 0.
14、g (x) 0 ,g(x)在(0, +CO)上单调递增，* g(x) g(0) = 0 ,即(x 2)e + x + 2 0 成立,即0 2)-+m+ 20成立.西+ x2 2.【点睛】此题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等 式证明，构造函数函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能 力，属于较难题.10.函数/(x) = lnx-冰(4为常数).(I )求函数%)的单调区间;（2（II）假设Q0,求不等式/（同一/1/一80的解集；2（山）假设存在两个不相等的整数天，巧满足了（%）=/（&），求证：%+/一（1 2、【答案】（I ）答案见解析；（H）；
15、 （III）证明见解析.ya a7【解析】【分析】（I）求出函数的导数，通过讨论。的范围，求出函数的单调区间即可；（2）（II）设尸（1） = /（司-/ -X，根据函数的单调性求出不等式的解集即可；a 712（ （III）求出。0,不妨设0% ，那么-，+8 ，根据函数的单调性 acia（? 得到/（%）0,故/（力在（0,+。）上单调递增;（2）当 0 时，由 r（x）0,得 0x（故“X）在。，一上单调递增，在一,+8上单调递减, 综上（1） （2）可知：当。0时，“X）的单调递增区间为（。一 a）2?（II） X）的定义域为（。,+”），所以X0,且X。，而G0, 0X0,（2 、（1
16、2、故/（x）-/ -% 。的解集为一，一y Cl yy 61 Cl（III）由（I）知。时，/（可在（0,+。）上单调递增，假设/（5） = /（%），那么X = *2不合题思；故4（ 0,而/（X）在。,一 CL（ 上单调递增，在一,+8上单调递减,I。）假设存在两个不相等的正数为，4满足/（5）=/（工2）， ,1 、必有一个在。，一上，另一个在一,+0 ,、12不妨设0西一 工2，那么X（n 又由（n）知工 o9-时,V a）F(x)0,/2即.f (%)-/x 0 ,a 72所以/(%)0)的大小.(2)假设函数/(%) = % 浓-根的两个零点分别为X, X求用的取值范围；证明：%
17、1 + x2 0),对函数求导，结合导数可求函数的单调性, x进而可比拟大小；(2)利用导数可分析函数/(%)的单调性，然后结合零点存在条件即可求解加的范围；,1/1、71/1、由(1)的结论可得西一根=历%一一), x2-m = lnx2-(x2),即2 X2 x232如11,考-2加0),那么/(%)=2i=吟也，0，XX厂故g(%)在(0,+8)上单调递减.因为g (1) =0,所以当 Ovxvl 时，g(x)0；当 X = 1 时，g(x) = O；当 X1 时，g(x)v。.即当 0 X-；x当尤=1 时，2lnx = x-；x当 x1 时，21nx 0,得xl；令小)0,得Ovxv
18、l, 那么/(X)在(0, 1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，故)(x)1) =1 一根.因为了(X)有两个零点，所以1 一根1.因为 /)= em2m0, fCn) = e-m 0,所以当/(x)有两个零点时，加的取值范围为(1,+8).证明：因为七，是,(%)的两个零点，不妨设玉 无2，那么。不1（X,）, x2-m = lnx2 -1 , x； - 2m& 0 ,即（玉一/）（玉 +x2）-2m（x1 -x2）0,即（ x2）（% +x2 - 2m） 0 .因为X%2，所以%20,那么%+一2根0,即为+工22加.【点评】此题主要考查了利用导数比拟函数值的大小，还考查了由零点存在
19、的条件 求解参数范围及利用导数证明不等式，属于中档题.12.函数/(%) =(3%26x + 6)e%3 (e为自然对数的底数).(1)求/(%)的图象在=1处的切线方程；(2)求Ax)的单调区间和极值；(3)假设 产入2，满足/(%) = /(2)，求证：石 十%20.【答案】(1) y= (3e-3) x+2； (2)/(%)的增区间是(0, +oo),减区间是(-oo,0),极小值f(0) =6,无极大值；(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程；(2)根据导数与单调性的关系及极值存在条件即可求解；(3)要证Xl+X20,等价于证明/(X
20、2)=f(XI)0 时，f (x) 0；当 x0 时，f (x) 0,那么-xi0.令 g (x) =f (x) -/ ( - x) = (3x2 - 6x+6) ex - (3x2+6x+6) ex - 2a3,那么 g(%) 3x2ev+3x2eA - 6/ = 3/(ex+ex - 2) 0,所以g (x)在R上是增函数.又 g (xi) =f (xi) -/ ( - xi) g (0) =0,/(X2)=/(XI ) f ( - XI ),又(x)在(0, +oo)上是增函数,X2 - XI,即 Xl+X20.【点睛】此题主要考查了导数的几何意义及单调性，极值关系的综合应用及利用导 数
21、证明不等式，属于中档题.13 .设函数力=1 二.(1)证明:XR, /(X)2. e【解析】【分析】(1)令g(%) = x) x = l e-xX,那么/(%) = -1,利用导数求出函数g)的单调性与最值，由此可证明结论；(2)由题意得力(%)=九= -尤)”,利用导数求出函数的单调性，从而得到函数的极值与最值；由题意不妨设王 工2，又力(%)=人(%2)，可得。%1%2，令H(x) = hx)-h(2-x), xel,+8),利用导数可得函数(%)在1,+/z(2-%),结合条件可得M%J/2(2%)，易得%,2-90得0,，函数g(力在(-8,。)上单调递增，在0,y)上单调递减，函
22、数g(力在1 = 0处取得极大值，也是最大值，g(%)wg =1-6-。=。，即XwR, /(x)x；(2)解：/z(x) = x(l-/(x)= xex, hx) = (-x)ex ,由(%)0得xl, 函数M%)在(-8，1)上单调递增，在1，”)上单调递减，函数(%)在=1处取得极大值，也是最大值，M%)的最大值(%)max = =丁 =；;e由不妨设不0时，力(x) = xex 0,且()=0,令 H(x) = /z(x)-/z(2-x) = xex -(2-x)eA_2, xel,+oo),那么 Hx) = (1 x)二(1 + 2 =(x-l)(-2-l)x,Vxl,A 2x-20
23、, e2x-2-l0,：.Hf(x)0,函数(X)在1, y)上单调递增，又 H(l) = o,当x 1 时，H(x) = /z(x) /z(2x) (1) = 0,即 /z(x) h(2x),那么 /?(%) /i(2x2),又/Z(%)=(%2)，那么(王)九(2-%2)，e 0 1 x2,2 - x2 1,即玉，2 马 2 - x2,/. x, +x2 2.【点睛】此题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用导数研究函数的单调 性、极值与最值，考查利用导数证明不等式，考查计算能力与推理能力，考查转化 与化归思想，属于难题.14 .函数/(%) = %1 + W(1)讨论力的单调性；(2)
24、设是/(%)的两个零点，证明：西+%4.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【详解】分析：(1)求导，对参数。分。之。,&0两种情况进行讨论，令得函数/(X)的单调递增区间，令/(x)4转化为证明g(X2)g(4-%)，即证明(石- 3)/再-4 +玉_10成立，令/z(x) = (x-3k2x-4+x-l,xe(t2),利用导数研究函数“的增减性，可得力。)o,那么)在r上单调递增.(1、当0,得Xln ,那么/(力的单调递增区间为 a)-oo, In .-，那么/(x)的单调递减区间为In - Cl y(2)证明：由/(x) =。得。=二,设 g(x) = L,那么 g，(x) = -
25、Z eee由 g(x)，得x0,得X2.故g(x)min =屋2)= -与l 时，g(x)0,当 X0, 不妨设为4等价于2 4-%,4一%2且g(九)在(2,+00)上单调递增,要证：%十%4,只需证g(9)g(4不)，g(%) = g(%2)= a，只需证g&)g(4%),即上手与；， e e 1即证3)+ %10；设 /(%) = e?i (%3)+ %1, % e (1,2),贝 iJ() = e2A4(2%5)+ l,令= (),那么() = 4e2i(%2), /xe(1,2),/.nix) (2)= 0,M%)在(1,2)上单调递增,./2(尤)/7(2)= 0,./百-4(百_
26、3)+ %_4得证.点睛：此题主要考查导数的应用，第一问属于易得分题，只需对参数。进行分类讨 论，再分别令即可求解函数的增、减区间，进而判断其单调 性；第二问解题时，首先对进行参数别离，再构造新函数g(%),利用函数g(%) 的单调性，将原问题转化为不等式恒成立问题，进而再利用导数证明.15.设函数= 一(a-2)x-alnx.(1)求函数/(%)的单调区间；(2)假设函数有两个零点，求满足条件的最小正整数。的值；(3)假设方程/(%)=。有两个不相等的实数根不，求证：(三宁)0.【答案】(1)答案不唯一，详见解析；(2) 3； (3)证明见解析.【解析】【分析】(1)对。分类讨论，利用导数与
27、函数单调性的关系即可得出；(2)由(1)可得，假设函数Ax)有两个零点，那么。0,且/(%)的最小值/(-)0,即一/+4。一 4aln3 0 .利用单调性 2判断其零点所处的最小区间即可得出；(3)由毛，巧是方程,x) = c得两个不等实数根，由(1)可知：a0.不妨设 0 %| x2. 那么h 一(_2)% -tzlnXj =c , xf -(a-2)x2-axx2 -c .两式相减得 x； (a 2)x alnX x； +( 2)9 + 6?Inx2 0 ,化为大 2 2大2 .由/(9)=。，当了(0,二)时，fx) 0 .故只要证明即可，即证明n0,函数/(%)在(0,+8)上单调递
28、增，即/(X)的单调递增区间为(0, +00).当。0时，由/。)。得x5；由ra)。，解得0。0,且/(%)的最小值/(-)0, gp-a2+4a-4an-0, /. + 41n -4 0 .2令力=1 + 41吗一40,可知在(0,+8)上为增函数，且 (2) 二一2, h321(3) =41n l = ln lln-l = 0, 216所以存在零点(4) = 0 , a0 G (2,3),当 I4 时，h (a) 0 ；当。()时，h (6Z) 0, f (1) =0 ,.& = 3 时，/由两个零点.综上所述，满足条件的最小正整数。的值为3.(3)*,是方程/(x) = c得两个不等实
29、数根，由(1)可知：0.不妨设0 % % .贝U -(-2)Xj -anx -c , x； -(-2)x2-anx2 =c .两式相减得x； 2)%aln% % +( 2)x9 + In=。，八、jx： + 2M x； 2x9化为 a :4一!- i .% + In %)- x2 - In x2V ffy = 0 ,当 xc(O,q)时，f(x) 0.故只要证明铝土即可，22即证明、：2玉一年2，即证明旧五4.屋21【答案】（1）1,+8 ；（2）证明见解析.【分析】（1）令司=。可得4 =二 厂【解析】，将问题等价于直线y 与函数g（x） =在JC区间（0,+8）上的图象有两个交点，利用导数
30、分析函数y = g（x）在区间（0,+8）上的 单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围；（2）由题意可知。为2, 且有 =F 玉可得I *一:In x - In x2=2,于是可1 五X将所证不等式等价于证明不等式ln2x-豆，令”土 (0,1),即证X2 1 + 土&x2ln/-坐?0,令用=3 坐?(0/1),利用导数证明出力(。0即可.【详解】(1) /(同=，/=。，等价于以 厂设g(x) = S，那么=XJC令夕(力=。得x = 2,当0x2时，g(x)2时,g(x)0,函数y = g(x)单调递增.所以，函数y = g(x)在x=2处取得极小值，亦即最小值，即且(尤)疝11=&
31、出=(.而且 Xf 0时 g(x) -y, xf+oc 时 +co,4=a与函数y = g(x)在区间(O,+8)上的图象有两个交点,F(x) F(jc0) = /(x0) - /(.r0) = 0 ,从而得到：(4)不妨设 不 X()时，/(Xo+X)/(X()7)且 七工0 fx0-(x2-x0) = /(2x0-x2),又因为 王玉)，2%-且)(X)在(-8/()上单调递减，从而得到玉24-，从而 X +x2 2x0 得证.(5)假设要证明尸旦。，还需进一步讨论”乜与方的大小，得出空包所 I 2)22在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为玉+%22%0,故然1不，由于在(-8,%0)上单 调递减，故(结a0.【说明】(1)此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比拟复杂，计算时须细心；(2)此类题目假设试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求/(%)的单调性、极 值点，证