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1、专题升级训练6导数及其应用(时间：60分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1函数yf(x)的图象在点x5处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)等于()A1 B2 C0 D2函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能为()3当x(0,5)时，函数yxln x()A是单调增函数B是单调减函数C在上单调递增，在上单调递减D在上单调递减，在上单调递增4函数yxsin xcos x在下面哪个区间内是增函数()A B(，2)C D(2，3)5f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若
2、ab，则必有()Aaf(b)bf(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)f(b) Dbf(b)f(a)6已知函数f(x)x3ax2bxc，x2,2表示的曲线过原点，且在x1处的切线斜率均为1，给出以下结论：f(x)的解析式为f(x)x34x，x2,2；f(x)的极值点有且仅有一个；f(x)的最大值与最小值之和等于0.其中正确的结论有()A0个 B1个 C2个 D3个二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)7在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为_(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)8函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数，
3、极小值是负数，则a的取值范围是_9若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为_三、解答题(本大题共3小题，共46分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10(本小题满分15分)设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由11(本小题满分15分)已知函数f(x)4x33tx26t2xt1，xR，其中tR.(1)当t1时，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)当t0时，求f(x)的单调区间12(本小题满分16分)已知f(x)xln x，g(
4、x)x2ax3.(1)求函数f(x)在t，t2(t0)上的最小值；(2)对一切x(0，),2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x(0，)，都有ln x成立参考答案一、选择题1B解析：由题意知f(5)583，f(5)1，故f(5)f(5)2.故选B.2D解析：x0时，f(x)为增函数，所以导函数在x0时大于零；x0时，原函数先增后减再增，所以导函数先大于零再小于零之后又大于零故选D.3D解析：yln x1，令y0，得x.在上y0，在上y0，yxln x在上单调递减，在上单调递增故选D.4C解析：yxsin xcos x，y(xsin x)(cos x)sin xxco
5、s xsin xxcos x，当x时，xcos x0，即y0.故函数yxsin xcos x在区间内是增函数故选C.5A解析：设F(x)，则F(x)0，故F(x)为减函数由0ab，有af(b)bf(a)，故选A.6C解析：f(0)0，c0.f(x)3x22axb，即解得a0，b4，f(x)x34x，f(x)3x24.令f(x)0得x2,2，极值点有两个f(x)为奇函数，f(x)maxf(x)min0.正确，故选C.二、填空题7d解析：如图为圆木的横截面，由b2h2d2，bh2b(d2b2)设f(b)b(d2b2)，f(b)3b2d2.令f(b)0，又b0，bd，且在上f(b)0，在上f(b)0
6、.函数f(b)在bd处取极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长hd.8解析：f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0得xa，当axa时，f(x)0，函数递减；当xa或xa时，f(x)0，函数递增f(a)a33a3a0，且f(a)a33a3a0，解得a.9解析：过点P作yx2的平行直线，且与曲线yx2ln x相切设P(x0，x02ln x0)，则有ky|xx02x0.2x01，x01或x0(舍去)，P(1,1)，d.三、解答题10解：(1)f(x)2bx1.由已知解得(2)x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：x(0,1)1(1,2)2(2，)f(x)00f(x)极小值极大
7、值在x1处，函数f(x)取得极小值.在x2处，函数f(x)取得极大值ln 2.11解：(1)当t1时，f(x)4x33x26x，f(0)0，f(x)12x26x6，f(0)6，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y6x.(2)f(x)12x26tx6t2.令f(x)0，解得xt或x.因为t0，以下分两种情况讨论：若t0，则t.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(t，)f(x)f(x)所以，f(x)的单调递增区间是，(t，)；f(x)的单调递减区间是.若t0，则t.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，t)f(x)f(x)所以，f(x)的单调递增区间
8、是(，t)，；f(x)的单调递减区间是.12(1)解：f(x)ln x1，则当x时，f(x)0，f(x)单调递减，当x时，f(x)0，f(x)单调递增0tt2，没有最小值；0tt2，即0t时，f(x)minf；tt2，即t时，f(x)在t，t2上单调递增，f(x)minf(t)tln t所以f(x)min(2)解：2xln xx2ax3，则a2ln xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x).x(0,1)，h(x)0，h(x)单调递减；x(1，)，h(x)0，h(x)单调递增所以h(x)minh(1)4，对一切x(0，),2f(x)g(x)恒成立所以ah(x)min4，即a的取值范围是(，4(3)证明：问题等价于证明xln x(x(0，)，由(1)可知f(x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取到设m(x)(x(0，)，则m(x)，易知m(x)maxm(1)，当且仅当x1时取到，从而对一切x(0，)，都有ln x成立- 5 -