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1、辽宁省丹东市东港市新城中学2016届九年级数学上学期第一次月考试题一、选择题（每题只有一个正确答案，请把正确答案填入下表，每题3分共24分）1下列一元二次方程中，没有实根的是( )Ax2+2x3=0Bx2+x+=0Cx2+x+1=0Dx2+3=02下列性质中正方形具有而矩形没有的是( )A对角线互相平分B对角线相等C对角线平分一组对角D四个角都是直角3若一个三角形两边的长分别是3和7，且第三边的长恰好是方程x28x+12=0的一个实根，则这个三角形的周长为( )A12B15C16D12或154在一个四边形ABCD中，依次连接各边的中点得到的四边形是菱形，则对角线AC与BD需要满足条件是( )A
2、垂直B相等C垂直且相等D不再需要条件5如图，在ABC中，DEBC，DE=4cm，则BC的长为( )A8cmB12cmC11cmD10cm6若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为( )A20B16C12D107用配方法解一元二次方程x22x3=0时，方程变形正确的是( )A（x1）2=2B（x1）2=4C（x1）2=1D（x1）2=78如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且BAE=22.5，EFAB，垂足为F，则EF的长为( )A1BC42D34二、填空题（每题3分，共24分）9已知正方形的面积为4，则正方形的边长为_，对角线长为_10某制药厂两年前生产1吨某种药品
3、的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元则这种药品的成本的年平均下降率为_%11矩形ABCD两条对角线相交于点O，AOD=120，AB=2.5，则对角线AC=_12已知a、b、d、c是成比例线段，a=4cm，b=6cm，d=9cm，则c=_13一个袋中有2个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中一次摸出2个球，2个球都是红球的概率是_14如图，一个矩形广场的长为60m，宽为40m，广场内两条纵向小路的宽均为2m，如果设两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似15如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且
4、BE=BC，P为CE上任意一点，PQBC于点Q，PRBE于点R，则PQ+PR的值是_16以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值_三、解答题17（16分）解方程：（1）x2+4x2=0 （此题用配方法） （2）x+3x（x+3）=018甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；（2）从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是
5、否公平？请说明理由19如图，D、E分别是ABC的边AC、AB上的点AE=1.5，AC=2，BC=3，且=，求DE的长20丹东青年旅行社为吸引游客组团去天华山风景区观赏秋天美景，推出如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元如果人数超过25人，每超过1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不低于700元某单位组织员工去天华山风景区旅游，共支付给旅行社的旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去天华山风景区旅游21如图，在ABC中，D、E分别是AB和BC上的点，且DEAC，=，=，求22如图：已知：AD是ABC的角平分线，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F（1）
6、求证：四边形AEDF是菱形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？23两张长为5宽为1的纸条交叉重叠在一起（1）请判别重叠部分四边形ABCD的形状，并说明理由（2）当ABC=60时，求重叠部分图形的最大面积24如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F（1）求证：AB=CF；（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由25（14分）正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PEBC于E，PFDC于F（1）当点P与点O重合时（如图），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；（2
7、）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论2015-2016学年辽宁省丹东市东港市新城中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每题只有一个正确答案，请把正确答案填入下表，每题3分共24分）1下列一元二次方程中，没有实根的是( )Ax2+2x3=0Bx2+x+=0Cx2+x+1=0Dx2+3=0【考点】根的判别式【分析】根据一元二次方程的根的判别式=b24ac0作出选择【解答】解
8、：A、=4+12=160，本方程有两个不相等的实数根；故本选项错误；B、=11=0，原方程有两个相等的实数根；故本选项错误；C、=24=20，本方程无实数根；故本选项正确；D、=10，原方程有两个不相等的实数根；故本选项错误故选C【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式=b24ac当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根2下列性质中正方形具有而矩形没有的是( )A对角线互相平分B对角线相等C对角线平分一组对角D四个角都是直角【考点】多边形【分析】根据矩形是特殊的正方形，因而矩形具有的性质一定是正方形具有的性质，据此即可作出判断【解答】解：A、
9、B、D都是矩形的性质，正方形是特殊的矩形，矩形的性质一定是正方形的性质，因而A、B、C错误；正方形的对角线平分一组对角，但矩形的对角线不一定平分对角，故C正确故选C【点评】本题主要考查了正方形与矩形的性质，正确记忆两个图形的性质，理解两者之间的关系是关键3若一个三角形两边的长分别是3和7，且第三边的长恰好是方程x28x+12=0的一个实根，则这个三角形的周长为( )A12B15C16D12或15【考点】一元二次方程的应用；三角形三边关系【专题】几何图形问题【分析】先通过解方程求出三角形的第三条边，根据三角形三边关系进行值的取舍后再计算周长【解答】解：解方程x28x+12=0，得x1=2，x2=
10、6，2+37，故2不是三角形的第三边，3+67，故6是三角形的第三边所以三角形的周长为3+7+6=16故选C【点评】此类题目要读懂题意，掌握一元二次方程的解法以及三角形的三边关系，解出方程的解后要注意代入实际问题中判断是否符合题意，进行值的取舍4在一个四边形ABCD中，依次连接各边的中点得到的四边形是菱形，则对角线AC与BD需要满足条件是( )A垂直B相等C垂直且相等D不再需要条件【考点】中点四边形【分析】因为菱形的四边相等，再根据三角形的中位线定理可得，对角线AC与BD需要满足条件是相等【解答】解：四边形EFGH是菱形，EH=FG=EF=HG=BD=AC，故AC=BD故选B【点评】本题很简单
11、，考查的是三角形中位线的性质及菱形的性质解题的关键在于牢记有关的判定定理，难度不大5如图，在ABC中，DEBC，DE=4cm，则BC的长为( )A8cmB12cmC11cmD10cm【考点】平行线分线段成比例【分析】由在ABC中，DEBC，可得ADEABC，又由，DE=4cm，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BC的长【解答】解：在ABC中，DEBC，ADEABC，=，即=，DE=4cm，BC=12cm故选B【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质注意相似三角形的对应边成比例6若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为( )A20B16C12D10【考点】菱形的性质【专题】计算题
12、【分析】根据菱形的对角线性质求边长后计算周长【解答】解：如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6ABCD为菱形，ACBD，BO=3，AO=4AB=5周长=45=20故选A【点评】此题考查了菱形的性质：对角线互相垂直且平分；四边相等属基础题7用配方法解一元二次方程x22x3=0时，方程变形正确的是( )A（x1）2=2B（x1）2=4C（x1）2=1D（x1）2=7【考点】解一元二次方程-配方法【专题】计算题【分析】利用配方法解已知方程时，首先将3变号后移项到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方1，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，即可得到所求的式子【解答】解：x22
13、x3=0，移项得：x22x=3，两边都加上1得：x22x+1=3+1，即（x1）2=4，则用配方法解一元二次方程x22x3=0时，方程变形正确的是（x1）2=4故选：B【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移动方程右边，二次项系数化为1，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解8如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且BAE=22.5，EFAB，垂足为F，则EF的长为( )A1BC42D34【考点】正方形的性质【专题】压轴题【分析】根据正方形的对角线平分一组对
14、角可得ABD=ADB=45，再求出DAE的度数，根据三角形的内角和定理求AED，从而得到DAE=AED，再根据等角对等边的性质得到AD=DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解【解答】解：在正方形ABCD中，ABD=ADB=45，BAE=22.5，DAE=90BAE=9022.5=67.5，在ADE中，AED=1804567.5=67.5，DAE=AED，AD=DE=4，正方形的边长为4，BD=4，BE=BDDE=44，EFAB，ABD=45，BEF是等腰直角三角形，EF=BE=（44）=42故选：C【点评】本题考查了正方形的性质，主
15、要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的难点二、填空题（每题3分，共24分）9已知正方形的面积为4，则正方形的边长为2，对角线长为【考点】正方形的性质【专题】计算题【分析】根据正方形的面积公式可得到正方形的边长，根据正方形的对角线的求法可得对角线的长【解答】解：设正方形的边长为x，则对角线长为=x；由正方形的面积为4，即x2=4；解可得x=2，故对角线长为2；故正方形的边长为2，对角线长为2故答案为2，2【点评】本题考查正方形的面积公式以及正方形的性质1
16、0某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元则这种药品的成本的年平均下降率为10%【考点】一元二次方程的应用【专题】增长率问题【分析】本题可设这种药品的成本的年平均下降率为x，则一年前这种药品的成本为100（1x）万元，今年在100（1x）元的基础之又下降x，变为100（1x）（1x）即100（1x）2万元，进而可列出方程，求出答案【解答】解：设这种药品的成本的年平均下降率为x，则今年的这种药品的成本为100（1x）2万元，根据题意得，100（1x）2=81，解得x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%故这种药品的成本的年平均下
17、降率为0.1，即10%【点评】此类题目旨在考查增长率，要注意增长的基础，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍11矩形ABCD两条对角线相交于点O，AOD=120，AB=2.5，则对角线AC=5【考点】矩形的性质【分析】由矩形的性质得出OA=OB=AC，再证明AOB是等边三角形，得出OA=AB=2.5，即可得出AC=2OA=5【解答】解：四边形ABCD是矩形，OA=AC，OB=BD，AC=BD，OA=OB，AOD=120，AOB=60，AOB是等边三角形，OA=AB=2.5，AC=2OA=5故答案为：5【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角
18、形是解决问题的关键12已知a、b、d、c是成比例线段，a=4cm，b=6cm，d=9cm，则c=13.5cm【考点】比例线段【分析】根据四条线段成比例，列出比例式，再把a=4cm，b=6cm，d=9cm代入计算即可【解答】解：a、b、d、c是成比例线段，=，a=4cm，b=6cm，d=9cm，=，c=13.5（cm）故答案为13.5cm【点评】此题考查了考查了比例线段的定义，注意a、b、d、c是成比例线段即=，要理解各个字母的顺序13一个袋中有2个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中一次摸出2个球，2个球都是红球的概率是【考点】列表法与树状图法【分析】列举出所有情况，让2个球都是红球的情
19、况数除以总情况数即为所求的可能性【解答】解：画树形图得：P（2个球都是红球）=故答案为【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是放回实验还是不放回实验是解题关键用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比14如图，一个矩形广场的长为60m，宽为40m，广场内两条纵向小路的宽均为2m，如果设两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似【考点】相似多边形的性质【分析】根据两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形列出比例式解答
20、即可【解答】解：小路内外边缘所围成的两个矩形相似，=，解得，x=，则当x=m时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等是解题的关键15如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQBC于点Q，PRBE于点R，则PQ+PR的值是【考点】正方形的性质【分析】连接BP，设点C到BE的距离为h，然后根据SBCE=SBCP+SBEP求出h=PQ+PR，再根据正方形的性质求出h即可【解答】解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，则SBCE=SBCP+SBEP，即BEh=BC
21、PQ+BEPR，BE=BC，h=PQ+PR，正方形ABCD的边长为2，h=2=故答案为：【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，熟记性质并作辅助线，利用三角形的面积求出PQ+PR等于点C到BE的距离是解题的关键16以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值【考点】正方形的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线【专题】证明题；压轴题【分析】证COADOB，推出等腰直角三角形AOB，求出AB=OA，得出要使AB最小，只要OA取最小值即可，当OACD时，OA最小，求出OA的值即可【解答】解：四边形CDEF
22、是正方形，OCD=ODB=45，COD=90，OC=OD，AOOB，AOB=90，COA+AOD=90，AOD+DOB=90，COA=DOB，在COA和DOB中，COADOB（ASA），OA=OB，AOB=90，AOB是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB=OA，要使AB最小，只要OA取最小值即可，根据垂线段最短，OACD时，OA最小，正方形CDEF，FCCD，OD=OF，CA=DA，OA=CF=1，即AB=，故答案为：【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，正方形的性质，垂线段最短等知识点的应用，关键是求出AB=OA和得出OACD时OA最小，题目具有一定的代表性，有一定的难度三、解
23、答题17（16分）解方程：（1）x2+4x2=0 （此题用配方法） （2）x+3x（x+3）=0【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法【专题】计算题【分析】（1）方程移项变形后，利用完全平方公式化简，开方即可求出解；（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解【解答】解：（1）方程变形得：x2+4x=2，配方得：x2+4x+4=6，即（x+2）2=6，开方得：x+2=，解得：x1=2+，x2=2；（2）分解因式得：（x+3）（1x）=0，可得x+3=0或1x=0，解得：x1=3，x2=1【点评】此题考查了解一元二次方程因式
24、分解法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键18甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；（2）从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法【专题】探究型【分析】（1）由把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有
25、等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即可求得求概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平【解答】解：（1）由于三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：；（2）这个游戏不公平画树状图得：共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，P（甲胜）=，P（乙胜）=P（甲胜）P（乙胜），故这个游戏不公平【点评】本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平19如图，D、E分别是ABC的边AC、AB上的点AE=1.5，AC=2，BC=3
26、，且=，求DE的长【考点】相似三角形的判定与性质【分析】由条件可得=，可证明AEDACB，再利用相似三角形的性质可得到DE【解答】解：AE=1.5，AC=2，=，且EAD=CAB，AEDACB，=，即=，解得DE=【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键20丹东青年旅行社为吸引游客组团去天华山风景区观赏秋天美景，推出如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元如果人数超过25人，每超过1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不低于700元某单位组织员工去天华山风景区旅游，共支付给旅行社的旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员
27、工去天华山风景区旅游【考点】一元二次方程的应用【分析】设共有x名员工去天华山旅游，根据每增加1人，人均旅游费用降低20元，且共支付给旅行社旅游费用27000元，可列出方程求解，根据人均旅游费用不得低于700元，判断解是否合理【解答】解：251000=25000（元）27000（元）此次天华山旅游的人数超过25人设共有x名员工去天华山旅游，根据题意得：x100020（x25）=27000，解这个方程得：x1=30，x2=45，x=45时，100020（4525）=600700，x=45不符合题意，舍去只取x=30答：共有30名员工去天华山旅游【点评】本题考查一元二次方程的应用，理解题意的能力，关
28、键以支付给旅行社的费用作为等量关系列方程求解21如图，在ABC中，D、E分别是AB和BC上的点，且DEAC，=，=，求【考点】平行线分线段成比例【分析】由=可得=，再由平行线分线段成比例可得，所以可求得【解答】解：=，=，DEAC，【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，解题的关键是把所求比例转化成已知比例22如图：已知：AD是ABC的角平分线，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？【考点】正方形的判定；菱形的判定【分析】（1）根据平行四边形的判定定理有两组对边相互平行的四边形是平行四边形，推知四边形
29、AEDF是平行四边形；然后由平行四边形的对角相等、对角线平分对角的性质以及角平分线的性质证得EAD=EDA；最后由等角对等边推知ABCD的邻边AE=DE；（2）由正方形的四个角都是直角的性质知三角形ABC中BAC=90【解答】解：（1）证明：DEAC，DFAB，DEAF，DFAE，四边形AEDF是平行四边形（有两组对边相互平行的四边形是平行四边形），EAF=EDF（平行四边形的对角相等）；又AD是ABC的角平分线，EAD=EDA（平行四边形的对角线平分对角），AE=DE（等角对等边），四边形AEDF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）；（2）由（1）知，四边形AEDF是菱形，当四边形AEDF是
30、正方形时，EAF=90，即BAC=90，ABC的BAC=90时，四边形AEDF是正方形【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的判定注意：菱形是邻边相等的“平行四边形”，而非邻边相等的“四边形”23两张长为5宽为1的纸条交叉重叠在一起（1）请判别重叠部分四边形ABCD的形状，并说明理由（2）当ABC=60时，求重叠部分图形的最大面积【考点】菱形的判定与性质【分析】（1）过点B作BEAD于点E，BFCD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得AB=BC的长，判定四边形ABCD是菱形；（2）由三角函数求出菱形的边长，即可得出结果【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形；理由如下：过点A作A
31、EBC于E，AFCD于F，如图所示：两条纸条宽度相同，AE=AFABCD，ADBC，四边形ABCD是平行四边形SABCD=BCAE=CDAF又AE=AFBC=CD，四边形ABCD是菱形（2）BC=AB=，四边形ABCD的面积=BCAE=1=；即重叠部分图形的最大面积为【点评】此题考查了菱形的判定与性质、三角函数、菱形面积的计算方法此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用24如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F（1）求证：AB=CF；（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由【考点】矩形的判定
32、；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质【专题】几何综合题【分析】（1）根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS判定ABEFCE，从而得到AB=CF；（2）由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC=AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CD，BAE=CFE，ABE=FCE，E为BC的中点，EB=EC，ABEFCE，AB=CF（2）解：当BC=AF时，四边形ABFC是矩形理由如下：ABCF，AB=CF，四边形ABFC是平行四边形，BC=AF，四边形ABFC是矩形【点评】此题主要考查了
33、学生对全等三角形的判定，平行四边形的性质及矩形的判定等知识点的掌握情况25（14分）正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PEBC于E，PFDC于F（1）当点P与点O重合时（如图），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质【专题】综合题；压轴题【分析】
34、（1）连接AC，则AC必过O点，延长FO交AB于M，由于O是BD中点，易证得AOMFOE，则AO=EF，且AOM=FOC=OFE=45，由此可证得APEF（2）方法与类似，延长FP交AB于M，延长AP交BC于N，易证得四边形MBEP是正方形，可证得APMFEP，则AP=EF，APM=FEP；而APM=FPN=PEF，且PEF与PFE互余，故PFE+FPN=90，由此可证得APEF，所以（1）题的结论仍然成立（3）解题思路和方法同（2）【解答】解：（1）AP=EF，APEF，理由如下：连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；OFCD，OEBC，且四边形ABCD是正方形，四边形OECF是正方
35、形，OM=OF=OE=AM，MAO=OFE=45，AMO=EOF=90，AMOFOE（AAS），AO=EF，且AOM=OFE=FOC=45，即OCEF，故AP=EF，且APEF（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；PMAB，PEBC，MBE=90，且MBP=EBP=45，四边形MBEP是正方形，MP=PE，AMP=FPE=90；又ABBM=AM，BCBE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，AM=PF，AMPFPE（SAS），AP=EF，APM=FPN=PEFPEF+PFE=90，FPN=PEF，FPN+PFE=90，即APEF，故AP=EF，且APEF（3）题（1）（2）的结论仍然成立；如右图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同【点评】充分利用正方形的性质，灵活的构造全等三角形，并能够根据全等三角形的性质来得到所求的条件是解决此题的关键21