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星期四(解析几何)2016年_月_日解析几何知识(命题意图：考查利用椭圆的几何性质求椭圆方程、直线与椭圆相交、线段垂直平分线方程的求解、求参数范围时不等式的建立等.)已知椭圆E：1(ab0)的焦距为2，且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若以k(k0)为斜率的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，且线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围.解(1)c1，设M，N为短轴的两个三等分点，F为焦点，因为MNF为正三角形，所以|OF|MN|，即1，解得b，a2b214，因此椭圆的方程为1.(2)设直线l的方程为ykxm(k0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标满足方程组将式代入式，得3x24(kxm)212，整理得(4k23)x28kmx4m2120，此方程有两个不等实根，于是(8km)24(4k23)(4m212)0，整理得4k2m230.由根与系数的关系，可知线段AB的中点坐标(x0，y0)满足x0，y0kx0m，从而线段AB的垂直平分线方程为y，此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为，.由题设可得，整理得m2，k0，将上式代入式得4k230，整理得(4k23)(4k28|k|3)0，k0，解得|k|，所以k的取值范围是.2