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1、高中数学极致真题 第三章 均值不等式 高考新题速递1（2021乙卷）下列函数中最小值为4的是（）Ayx2+2x+4By|sinx|+4|sinx|Cy2x+22xDylnx+4lnx【解答】解：对于A，yx2+2x+4（x+1）2+33，所以函数的最小值为3，故选项A错误；对于B，因为0|sinx|1，所以y|sinx|+4|sinx|2|sinx|4|sinx|=4，当且仅当|sinx|=4|sinx|，即|sinx|2时取等号，因为|sinx|1，所以等号取不到，所以y|sinx|+4|sinx|4，故选项B错误；对于C，因为2x0，所以y2x+22x=2x+42x22x42x=4，当且仅
2、当2x2，即x1时取等号，所以函数的最小值为4，故选项C正确；对于D，因为当x=1e时，y=ln1e+4ln1e=14=54，所以函数的最小值不是4，故选项D错误故选：C2（2021上海）已知函数f（x）3x+a3x+1（a0）的最小值为5，则a9【解答】解：f（x）3x+a3x+1=3x+1+a3x+112a15，所以a9，经检验，3x2时等号成立故答案为：93（2021天津）已知a0，b0，则1a+ab2+b的最小值为 22【解答】解：法一：a0，b0，1a+ab2+b21aab2+b=2b+b22，当且仅当1a=ab2且b=2b，即ab=2时取等号，1a+ab2+b的最小值为 22，法二
3、：a0，b0，1a+ab2+b=1a+ab2+b2+b2441aab2b2b2=22，当且仅当1a=ab2=2b，即ab=2时取等号，1a+ab2+b的最小值为 22，故答案为：22高考题型归纳题型一.不等式的性质1（2013上海）如果ab0，那么下列不等式成立的是（）A1a1bBabb2Caba2D1a1b【解答】解：由于ab0，不妨令a2，b1，可得1a=12 1b=1，1a1b，故A不正确可得ab2，b21，abb2，故B不正确可得ab2，a24，aba2，故C不正确故选：D2（2019新课标）若ab，则（）Aln（ab）0B3a3bCa3b30D|a|b|【解答】解：取a0，b1，则l
4、n（ab）ln10，排除A；3a=30=13b=31=13，排除B；a303（1）31b3，故C对；|a|0|1|1b，排除D故选：C3（2016北京）已知x，yR，且xy0，则（）A1x1y0Bsinxsiny0C（12）x（12）y0Dlnx+lny0【解答】解：x，yR，且xy0，则1x1y，sinx与siny的大小关系不确定，(12)x(12)y，即(12)x(12)y0，lnx+lny与0的大小关系不确定故选：C题型二.不等式的解法1（2009天津）设函数f（x）=x24x+6，x0x+6，x0，则不等式f（x）f（1）的解集是（）A（3，1）（3，+）B（3，1）（2，+）C（1，
5、1）（3，+）D（，3）（1，3）【解答】解：f（1）3，当不等式f（x）f（1）即：f（x）3如果x0 则 x+63可得 x3，可得3x0如果 x0 有x24x+63可得x3或 0x1综上不等式的解集：（3，1）（3，+）故选：A2（2015天津）设xR，则“|x2|1”是“x2+x20”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：由“|x2|1”得1x3，由x2+x20得x1或x2，即“|x2|1”是“x2+x20”的充分不必要条件，故选：A3（2020北京）已知函数f（x）2xx1，则不等式f（x）0的解集是（）A（1，1）B（，1）（1，+）C
6、（0，1）D（，0）（1，+）【解答】解：不等式f（x）0，即 2xx+1由于函数y2x和直线yx+1的图象都经过点（0，1）、（1，2），如图所示：不等式f（x）0的解集是（，0）（1，+），故选：D4（2018新课标）设函数f（x）=2x，x01，x0，则满足f（x+1）f（2x）的x的取值范围是（）A（，1B（0，+）C（1，0）D（，0）【解答】解：函数f（x）=2x，x01，x0，的图象如图：满足f（x+1）f（2x），可得：2x0x+1或2xx+10，解得x（，0）故选：D5（2017新课标）设函数f（x）=x+1，x02x，x0，则满足f（x）+f（x12）1的x的取值范围是（1
7、4，+）【解答】解：若x0，则x1212，则f（x）+f（x12）1等价为x+1+x12+11，即2x12，则x14，此时14x0，当x0时，f（x）2x1，x1212，当x120即x12时，满足f（x）+f（x12）1恒成立，当0x1212，即12x0时，f（x12）x12+1x+1212，此时f（x）+f（x12）1恒成立，综上x14，故答案为：（14，+）题型三.基本不等式1（2020海南）已知a0，b0，且a+b1，则（）Aa2+b212B2ab12Clog2a+log2b2Da+b2【解答】解：已知a0，b0，且a+b1，所以（a+b）22a2+2b2，则a2+b212，故A正确利用
8、分析法：要证2ab12，只需证明ab1即可，即ab1，由于a0，b0，且a+b1，所以：a0，1b10，故B正确log2a+log2b=log2ablog2(a+b2)2=2，故C错误由于a0，b0，且a+b1，利用分析法：要证a+b2成立，只需对关系式进行平方，整理得a+b+2ab2，即2ab1，故ab12=a+b2，当且仅当ab=12时，等号成立故D正确故选：ABD2（2020天津）已知a0，b0，且ab1，则12a+12b+8a+b的最小值为4【解答】解：a0，b0，且ab1，则12a+12b+8a+b=a+b2ab+8a+b=a+b2+8a+b2a+b28a+b=4，当且仅当a+b2=
9、8a+b，即a2+3，b23或a23，b2+3 取等号，故答案为：43（2020江苏）已知5x2y2+y41（x，yR），则x2+y2的最小值是45【解答】解：方法一、由5x2y2+y41，可得x2=1y45y2，由x20，可得y2（0，1，则x2+y2=1y45y2+y2=1+4y45y2=15（4y2+1y2）1524y21y2=45，当且仅当y2=12，x2=310，可得x2+y2的最小值为45；方法二、4（5x2+y2）4y2（5x2+y2+4y22）2=254（x2+y2）2，故x2+y245，当且仅当5x2+y24y22，即y2=12，x2=310时取得等号，可得x2+y2的最小值
10、为45故答案为：454（2018天津）已知a，bR，且a3b+60，则2a+18b的最小值为14【解答】解：a，bR，且a3b+60，可得：3ba+6，则2a+18b=2a+12a+6=2a+1262a22a1262a=14，当且仅当2a=12a+6即a3时取等号函数的最小值为：14故答案为：145（2017山东）若直线xa+yb=1（a0，b0）过点（1，2），则2a+b的最小值为8【解答】解：直线xa+yb=1（a0，b0）过点（1，2），则1a+2b=1，由2a+b（2a+b）（1a+2b）2+4ab+ba+24+4ab+ba4+24abba=4+48，当且仅当4ab=ba，即a2，b4
11、时，取等号，2a+b的最小值为8，故答案为：86（2015上海）已知a0，b0，若a+b4，则（）Aa2+b2有最小值Bab有最小值C1a+1b有最大值D1a+b有最大值【解答】解：a0，b0，且a+b4，a2+b2（a+b）22ab162ab162（a+b2）21688，有最小值，故选：A7（2015湖南）若实数a，b满足1a+2b=ab，则ab的最小值为（）A2B2C22D4【解答】解：1a+2b=ab，a0，b0，1a+2b22ab（当且仅当b2a时取等号），ab22ab，解可得，ab22，即ab的最小值为22，故选：C8（2014重庆）若log4（3a+4b）log2ab，则a+b的最
12、小值是（）A6+23B7+23C6+43D7+43【解答】解：3a+4b0，ab0，a0b0log4（3a+4b）log2ab，log4（3a+4b）log4（ab）3a+4bab，a4，a0b0b=3aa40，a4，则a+ba+3aa4=a+3(a4)+12a4=a+3+12a4=（a4）+12a4+72(a4)12a4+743+7，当且仅当a4+23取等号故选：D9（2014辽宁）对于c0，当非零实数a，b满足4a22ab+4b2c0且使|2a+b|最大时，3a4b+5c的最小值为2【解答】解：4a22ab+4b2c0，c4=a212ab+b2=(ab4)2+1516b2由柯西不等式得，(
13、ab4)2+1516b222+(615)22(ab4)+154b6152=|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有ab42=154b615 a=32b，c=10b23a4b+5c=332b4b+510b2=12(1b)22b=12(1b2)22，当b=12时，取得最小值为2故答案为：210（2014浙江）已知实数a，b，c满足a+b+c0，a2+b2+c21，则a的最大值是63【解答】解：a+b+c0，a2+b2+c21，b+ca，b2+c21a2，bc=12（2bc）=12（b+c）2（b2+c2）a212b、c是方程：x2+ax+a212=0的两个实数根，0a24（a212）0，即a223
14、63a63，即a的最大值为63故答案为：6311（2013天津）设a+b2，b0，则当a2时，12|a|+|a|b取得最小值【解答】解：因为a+b2，b0，要取得最小值，则a0，则12|a|+|a|b=a+b4|a|+|a|b=a4|a|+b4|a|+|a|b，a4|a|+2b4|a|a|b=a4|a|+1=14+1=34，当且仅当b4|a|=|a|b，a0时取等号，此时b2a，因为a+b2，所以a2，b4，故答案为：27（2013山东）设正实数x，y，z满足x23xy+4y2z0则当xyz取得最大值时，2x+1y2z的最大值为（）A0B1C94D3【解答】解：x23xy+4y2z0，zx23
15、xy+4y2，又x，y，z均为正实数，xyz=xyx23xy+4y2=1xy+4yx312xy4yx3=1（当且仅当x2y时取“”），(xyz)max=1，此时，x2yzx23xy+4y2（2y）232yy+4y22y2，2x+1y2z=1y+1y1y2=(1y1)2+11，当且仅当y1时取得“”，满足题意2x+1y2z的最大值为1故选：B题型四.不等式恒成立1（2013上海）设常数a0，若9x+a2xa+1对一切正实数x成立，则a的取值范围为15，+）【解答】解：常数a0，若9x+a2xa+1对一切正实数x成立，故（9x+a2x）mina+1，又9x+a2x6a，当且仅当9x=a2x，即x=
16、a3时，等号成立故必有6aa+1，解得a15故答案为15，+）2（2020浙江）已知a，bR且ab0，对于任意x0均有（xa）（xb）（x2ab）0，则（）Aa0Ba0Cb0Db0【解答】解：设f（x）（xa）（xb）（x2ab），可得f（x）的图象与x轴有三个交点，即f（x）有三个零点a，b，2a+b且f（0）ab（2a+b），由题意知，f（x）0在x0上恒成立，则ab（2a+b）0，a0，b0，可得2a+b0，ab（2a+b）0恒成立，排除B，D；我们考虑零点重合的情况，即中间和右边的零点重合，左边的零点在负半轴上则有ab或a2a+b或bb+2a三种情况，此时ab0显然成立；若bb+2a，
17、则a0不成立；若a2a+b，即a+b0，可得b0，a0且a和2a+b都在正半轴上，符合题意，综上b0恒成立故选：C3（2018天津）已知aR，函数f（x）=x2+2x+a2，x0x2+2x2a，x0若对任意x3，+），f（x）|x|恒成立，则a的取值范围是18，2【解答】解：当x0时，函数f（x）x2+2x+a2的对称轴为x1，抛物线开口向上，要使x0时，对任意x3，+），f（x）|x|恒成立，则只需要f（3）|3|3，即96+a23，得a2，当x0时，要使f（x）|x|恒成立，即f（x）x2+2x2a，在射线yx的下方或在yx上，由x2+2x2ax，即x2x+2a0，由判别式18a0，得a1
18、8，综上18a2，故答案为：18，24（2019天津）已知aR设函数f（x）=x22ax+2a，x1，xalnx，x1若关于x的不等式f（x）0在R上恒成立，则a的取值范围为（）A0，1B0，2C0，eD1，e【解答】解：当x1时，f（1）12a+2a10恒成立；当x1时，f（x）x22ax+2a02ax2x1恒成立，令g（x）=x2x1=x21x=(1x1)21x=(1x)22(1x)+11x=（1x+11x2）（2(1x)11x2）0，2ag（x）max0，a0当x1时，f（x）xalnx0axlnx恒成立，令h（x）=xlnx，则h（x）=lnxx1x(lnx)2=lnx1(lnx)2，
19、当xe时，h（x）0，h（x）递增，当1xe时，h（x）0，h（x）递减，xe时，h（x）取得最小值h（e）e，ah（x）min=e，综上a的取值范围是0，e故选：C高考模拟预测1已知ab0，则下列不等式一定成立的是（）Aa2ab B|a|b| C1a1b D(12)a(12)b【解答】解：令a2，b1，可得A、B、D都不正确，只有C正确，故选：C2已知xy0，x1，y1，则（）Axaya（aR，a0）BexyeyxCxyyxD3x12yl【解答】解：由xy0，x1，y1，取x4，y2，则可排除CD；取a=12，则可排除A，故选：B3若关于x的不等式（a21）x2（a1）x10的解集为R，则实
20、数a的取值范围是（）A(35，1B（1，1）C（1，1D(35，1)【解答】解：设函数f（x）（a21）x2（a1）x1由题设条件关于x的不等式（a21）x2（a1）x10的解集为R可得对任意的x属于R都有f（x）0又当a1时，函数f（x）是关于x的抛物线故抛物线必开口向下，且于x轴无交点故满足a210=(a1)2+4(a21)0故解得35a1当a1时f（x）1成立综上，a的取值范围为(35，1故选：A4已知a+b2，a1，b0，求1a1+2b的最小值【解答】解：a+b2，a1，b0，a10，且a1+b1，1a1+2b=（1a1+2b）（a1+b）3+ba1+2(a1)b3+22，当且仅当ba
21、1=2(a1)b即a=2且b22时，1a1+2b取最小值3+22，5若a+b0，则a2+b2+1(a+b)2的最小值为2【解答】解：根据题意，若a+b0，即ab，则有a2+b2(a+b)22，则a2+b2+1(a+b)2(a+b)22+1(a+b)22(a+b)221(a+b)2=2，即a2+b2+1(a+b)2的最小值为2；故答案为：26若正实数a，b满足a+b1，则下列选项中正确的是（）Aab有最大值14Ba+b有最大值2C3ab13D2a+1b有最小值92【解答】解：对于选项A：ab（a+b2）2=14（当且仅当ab=12时取“），故选项A正确；对于选项B：（a+b）2a+b+2aba+
22、b+a+b2，a+b2（当且仅当ab=12时取“），故选项B正确；对于选项C：正实数a，b满足a+b1，ab2a11，3ab31=13，故选项C正确；对于选项D：a+b1，2a+1b=（2a+1b）（a+b）3+2ba+ab3+22（当且仅当a+b=12ba=ab时取“），故选项D错误故选：ABC7已知a+b2，b0，当12|a|+|a|b取最小值时，实数a的值是2【解答】解：由题意可得：12|a|+|a|b=a+b4|a|+|a|b=a4|a|+b4|a|+|a|ba4|a|+2b4|a|a|b=a4|a|+1，当且仅当 时等号成立，结合a+b2可得：a=23b=43或a=2b=4，当a=2
23、3时，最小值为54；当a2时，最小值为34；所以实数a的值为2故答案为：28已知正实数a，b，c满足a22ab+9b2c0，则当abc取得最大值时，3a+1b12c的最大值为（）A3B94C1D0【解答】解：由a22b+9b2c0，可得ca22ab+9b2，abc=aba22ab+9b2=1a2+9b22abab=1ab+9ba212ab9ba2=14，当且仅当ab=9ba时，即当a3b时，等号成立，此时ca22ab+9b2（3b）223bb+9b212b2，所以，3a+1b12c=33b+1b1212b2=1b2+2b=(1b1)2+11，当且仅当b1时，等号成立，所以，3a+1b12c的最
24、大值为1故选：C9下面的结论中，正确的是（）A若aR，则a+3a23B若a0，b0，a+b=1a+1b，则a+b2C若ba0，m0，则a+mb+mabD若ab0且|lna|lnb|，则ab1【解答】解：当a0时，a+3a0显然不成立，由a0，b0，a+b=1a+1b=a+bab可得ab1，则a+b2ab=2，当且仅当ab时取等号，B成立，由ba0，m0可得a+mb+mab=ba+bmabamb(b+m)=(ba)mb(b+m)0，故a+mb+mab成立；若ab0且|lna|lnb|，则lnalnb即lna+lnb0，所以lnab0，即ab1，C 成立故选：BCD10设正实数x，y满足x12，y1，不等式4x2y1+y22x1m恒成立，则m的最大值为（）A22B42C8D16【解答】解：设y1b，则yb+1，令2x1a，x=12（a+1），a0，b0那么：4x2y1+y22x1=(b+1)2a+(a+1)2b2(a+1)(b+1)ab=2ab+(a+b)+1ab=2(1ab+ab+a+bab)2(2ab1ab+2abab)=2(2+2)=8（当且仅当ab1即x1，y2时取等号4x2y1+y22x1的最小值为8，则m的最大值为8故选：C声明