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1、【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题10 数列求和及综合应用一、选择题1(文)(2015新课标文,5)设Sn是等差数列的前n项和,若a1a3a53,则S5()A5B7C9D11答案A解析考查等差数列的性质及求和公式a1a3a53a33a31,S55a35.故选A.(理)(2015新课标文,7)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和若S84S4,则a10()A.B.C10D12答案B解析本题主要考查等差数列的通项及求和公式由题可知:等差数列an的公差d1,因为等差数列Sna1n,且S84S4,代入计算可得a1;等差数列的通项公式为ana1(n
2、1)d,则a10(101)1.故本题正确答案为B.方法点拨数列求和的类型及方法技巧(1)公式法:直接应用等差、等比数列的求和公式求和(2)错位相减法这种方法主要用于求数列anbn的前n项和,其中an、bn分别是等差数列和等比数列(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法,也就是将一个数列倒过来排列(反序),当它与原数列相加时若有公因式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和(4)裂项相消法利用通项变形,将通项分裂成两项或几项的差,通过相加过程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和(5)分组转化求和法有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形
3、,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列,可先分别求和,然后再合并2(文)设an是等比数列,函数yx2x2013的两个零点是a2、a3,则a1a4()A2013B1C1D2013答案D解析由条件得,a1a4a2a32013.(理)已知数列an满足an2an1an1an,nN*,且a5.若函数f(x)sin2x2cos2,记ynf(an),则数列yn的前9项和为()A0B9 C9D1答案C解析据已知得2an1anan2,即数列an为等差数列,又f(x)sin2x2sin2x1cosx,因为a1a9a2a82a5,故cosa1cosa9cosa2cosa8cosa50,又2a12a92a22a84
4、a52,故sin2a1sin2a9sin2a2sin2a8sin2a50,故数列yn的前9项之和为9,故选C.3(2014辽宁协作联校三模)已知数列an的通项公式an2014sin,则a1a2a2014()A2012B2013C2014D2015答案C解析数列an的周期为4,且a1a2a3a42014(sinsinsinsin2)0,又201445032,a1a2a2014a1a22014sin2014sin2014.4(文)已知函数f(x)满足f(x1)f(x)(xR),且f(1),则数列f(n)(nN*)前20项的和为()A305B315C325D335答案D解析f(1),f(2),f(3
5、),f(n)f(n1),f(n)是以为首项,为公差的等差数列S2020335.(理)设yf(x)是一次函数,若f(0)1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)f(4)f(2n)等于()An(2n3)Bn(n4)C2n(2n3)D2n(n4)答案A解析设f(x)kx1(k0),则(4k1)2(k1)(13k1)k2,f(2)f(4)f(2n)(221)(241)(261)(22n1)2n23n.方法点拨解决数列与函数知识结合的题目时,要明确数列是特殊的函数,它的图象是群孤立的点,注意函数的定义域等限制条件,准确的进行条件的转化,数列与三角函数交汇时,数列通常作为条件出现,去除数
6、列外衣后,本质是三角问题5(文)已知数列an是等比数列,且每一项都是正数,若a1、a49是2x27x60的两个根,则a1a2a25a48a49的值为()A.B9C9D35答案B解析an是等比数列,且a1,a49是方程2x27x60的两根,a1a49a3.而an0,a25.a1a2a25a48a49a()59,故选B.(理)(2015江西质检)如果数列an中,相邻两项an和an1是二次方程x2nxncn0(n1,2,3,)的两个根,当a12时,c100的值为()A9984B9984C9996D9996答案C解析由根与系数关系,anan12n,则(an1an2)(anan1)2.即an2an2,a
7、1,a3,a5,和a2,a4,a6,都是公差为2的等差数列,a12,a1a22,a24,即a2k2k2,a100102,a2k12k4,a10198.c100a100a1019996.6等差数列an中,a10,公差d0,公差dN时,恒有|anA|成立,就称数列an的极限为A,则四个无穷数列:(1)n2;n;,其极限为2的共有()A4个B3个C2个D1个答案C解析对于,|an2|(1)n22|2|(1)n1|,当n是偶数时,|an2|0,当n是奇数时,|an2|4,所以不符合数列an的极限的定义,即2不是数列(1)n2的极限;对于,由|an2|n2|,得2nN时,恒有|an2|,即2不是数列n的
8、极限;对于,由|an2|12|1log2,即对于任意给定的正数(无论多小),总存在正整数N,使得nN时,恒有|an2|成立,所以2是数列的极限;对于,由|an2|,即对于任意给定的正数(无论多小),总存在正整数N,使得nN时,恒有|an2|0,b4b6()2b100.(理)(2014河南十所名校联考)对于各项均为整数的数列an,如果aii(i1,2,3,)为完全平方数,则称数列an具有“P性质”,不论数列an是否具有“P性质”,如果存在与an不是同一数列的bn,且bn同时满足下面两个条件:b1,b2,b3,bn是a1,a2,a3,an的一个排列;数列bn具有“P性质”,则称数列an具有“变换P
9、性质”,下面三个数列:数列an的前n项和为Sn(n21);数列1,2,3,4,5;数列1,2,3,11.其中具有“P性质”或“变换P性质”的有_(填序号)答案解析Sn(n21),Sn1(n1)21(n2),anSnSn1(n1)(n1)(n22n)(n1)(n1n2)n(n1)(n2),又a1S10,a11112,a22422,a33932,annn2,数列an具有“P性质”;数列1,2,3,4,5排为3,2,1,5,4,则a11422,a22422,a33422,a44932,a55932,数列1,2,3,4,5具有“变换P性质”,同理可验证数列1,2,3,11不具有“P性质”和“变换P性质
10、”方法点拨脱去新定义的外衣,将问题化为基本数学模型,用相应的知识方法解答是解决此类问题的基本方法9(2015安徽文,13)已知数列an中,a11,anan1(n2),则数列an的前9项和等于_答案27解析考查1.等差数列的定义;2.等差数列的前n项和n2时,anan1,且a11,an是以1为首项,为公差的等差数列S99191827.10已知向量a(2,n),b(Sn,n1),nN*,其中Sn是数列an的前n项和,若ab,则数列的最大项的值为_答案解析ab,ab2Snn(n1)0,Sn,ann,当n2时,n取最小值4,此时取到最大值.三、解答题11(文)(2015云南省检测)已知等比数列an的前
11、n项和是Sn,S18S978.(1)求证:S3,S9,S6依次成等差数列;(2)a7与a10的等差中项是否是数列an中的项?如果是,是an中的第几项?如果不是,请说明理由解析(1)证明:设等比数列an的公比为q,若q1,则S1818a1,S99a1,S18S92178.q1.S18(1q18),S9(1q9),S18S91q9.1q9,解得q2.S3,S6.S9(1q9).S9S3,S6S9,S9S3S3S9.S3,S9,S6依次成等差数列(2)a7与a10的等差中项等于.设a7与a10的等差中项是数列an中的第n项,则a1(2)n1,化简得(2)(2)4,则4,解得n13.a7与a10的等差
12、中项是数列an中的第13项(理)(2015唐山一模)设数列an的前n项和为Sn,满足(1q)Snqan1,且q(q1)0.(1)求an的通项公式;(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列解析(1)当n1时,由(1q)S1qa11,a11,当n2时,由(1q)Snqan1,得(1q)Sn1qan11,两式相减得(1q)anq(anan1)0,anqan1,a11,q(q1)0,anqn1,综上anqn1.(2)由(1)可知q,所以an是以1为首项,q为公比的等比数列所以Sn,又S3S62S9,得,化简得a3a62a9,两边同除以q得a2a52a8.故a2,a8,a5成
13、等差数列方法点拨1.在处理数列求和问题时,一定要先读懂题意,分清题型,区分等差数列与等比数列,不是基本数列模型的注意运用转化思想化归为等差、等比数列,在利用分组求和时,要特别注意项数2在处理等差与等比数列的综合问题时,先要看所给数列是等差数列还是等比数列,再依据条件建立方程求解12(文)已知函数f(x)在(1,1)上有定义,f1,且满足对任意x、y(1,1),有f(x)f(y)f,数列xn中,x1,xn1.(1)证明:f(x)在(1,1)上为奇函数;(2)求数列f(xn)的通项公式;(3)求证:.分析(1)要证f(x)为奇函数,只需证明f(x)f(x)0,只需在条件式中令yx,为了求f(0),
14、令xy0即可获解(2)利用f(x)f(y)f()可找出f(xn1)与f(xn)的递推关系,从而求得通项(3)由f(xn)的通项公式确定数列的求和方法,求和后利用放缩法可证明解析(1)证明:令xy0,2f(0)f(0),f(0)0.令yx,则f(x)f(x)f(0)0,f(x)f(x),f(x)在(1,1)上为奇函数(2)f(x1)f1,f(xn1)ff2f(xn),2,即f(xn)是以1为首项,2为公比的等比数列,f(xn)2n1.(3)22,而2.(理)在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn),对于每个正整数n,点Pn均位于一次函数yx的图象上,且P
15、n的横坐标构成以为首项,1为公差的等差数列xn(1)求点Pn的坐标;(2)设二次函数fn(x)的图象Cn以Pn为顶点,且过点Dn(0,n21),若过Dn且斜率为kn的直线ln与Cn只有一个公共点,求Tn的表达式;(3)设Sx|x2xn,n为正整数,Ty|y12yn,n为正整数,等差数列an中的任一项an(ST),且a1是ST中最大的数,225a100,q0,所以b11,因为b3和b5的等差中项是2a3,且2a310,所以b3b520,所以q2q420,解得q2,所以bn2n1.(2)由于cnanbn,所以Tna1b1a2b2anbn.Tn132522(2n1)2n12Tn2322523(2n1
16、)2n所以Tn12(2222n1)(2n1)2n12(2n1)2n322n(2n1)2n3(32n)2n,Tn3(2n3)2n.14(文)政府决定用“对社会的有效贡献率”对企业进行评价,用an表示某企业第n年投入的治理污染的环保费用,用bn表示该企业第n年的产值设a1a(万元),且以后治理污染的环保费用每年都比上一年增加2a万元;又设b1b(万元),且企业的产值每年比上一年的平均增长率为10%.用Pn表示企业第n年“对社会的有效贡献率”(1)求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”;(2)试问从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%?解析(1)a1a,b1b,Pn,P11%,P
17、23.3%.故该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”分别为1%和3.3%.(2)由题意,得数列an是以a为首项,以2a为公差的等差数列,数列bn是以b为首项,以1.1为公比的等比数列,ana1(n1)da(n1)2a(2n1)a,bnb1(110%)n11.1n1b.又Pn,Pn.1.11.11,Pn1Pn,即Pn单调递增又P617.72%20%.故从第七年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%.(理)甲、乙两大超市同时开业,第一年的全年销售额都为a万元,由于经营方式不同,甲超市前n年的总销售额为(n2n2)万元,乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多()n1a万元(1)求甲、乙两超
18、市第n年销售额的表达式;(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年解析(1)设甲、乙两超市第n年销售额分别为an、bn,又设甲超市前n年总销售额为Sn,则Sn(n2n2)(n2),因n1时,a1a,则n2时,anSnSn1(n2n2)(n1)2(n1)2a(n1),故an又因b1a,n2时,bnbn1()n1a,故bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)aa()2a()n1a1()2()n1aa32()n1a,显然n1也适合,故bn32()n1a(nN*)(2)当n2时,a2a,b2a
19、,有a2b2;n3时,a32a,b3a,有a3b3;当n4时,an3a,而bnbn,则(n1)a32()n1an164()n1,即n74()n1.又当n7时,04()n174()n1.即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购方法点拨1.用数列知识解相关的实际问题,关键是合理建立数学模型数列模型,弄清所构造的数列的首项是什么,项数是多少,然后转化为解数列问题求解时,要明确目标,即搞清是求和,还是求通项,还是解递推关系问题,所求结论对应的是一个解方程问题,还是解不等式问题,还是一个最值问题,然后进行合理推算,得出实际问题的结果2数列的实际应用问题一般文字叙述较长,反映的事物背
20、景陌生,知识涉及面广,因此要解好应用题,首先应当提高阅读理解能力,将普通语言转化为数学语言或数学符号,实际问题转化为数学问题,然后再用数学运算、数学推理予以解决3正确区分等差与等比数列模型,正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和15(文)定义:若数列An满足An1A,则称数列An为“平方递推数列”已知数列an中,a12,点(an,an1)在函数f(x)2x22x的图象上,其中n为正整数(1)证明:数列2an1是“平方递推数列”,且数列lg(2an1)为等比数列;(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn,即Tn(2a11)(2a21)(2an1),求Tn关于n的表达式;(3)记bnl
21、og2an1Tn,求数列bn的前n项之和Sn,并求使Sn2012成立的n的最小值解析(1)证明:由题意得an12a2an,2an114a4an1(2an1)2.所以数列2an1是“平方递推数列”令cn2an1,所以lgcn12lgcn.因为lg(2a11)lg50,所以2.所以数列lg(2an1)为等比数列(2)由(1)知lg(2an1)(lg5)2n1,2an110(lg5)2n152n1,Tn52052152252n1520212n152n1.(3)bnlog2an1Tn2()n1,Snb1b2bn2n2n2,由2n22012得n1007,S1006210062(2010,2011),S1
22、007210072(2012,2013)故使Sn2012成立的n的最小值为1007.(理)已知曲线C:xy1,过C上一点An(xn,yn)作一斜率为kn的直线交曲线C于另一点An1(xn1,yn1),点列An的横坐标构成数列xn,其中x1.(1)求xn与xn1的关系式;(2)令bn,求证:数列bn是等比数列;(3)若cn3nbn(为非零整数,nN*),试确定的值,使得对任意nN*,都有cn1cn成立分析(1)由直线方程点斜式建立xn与yn关系,而(xn,yn)在曲线xy1上,有xnyn1,消去yn得xn与xn1的关系;(2)由定义证为常数;(3)转化为恒成立的问题解决解析(1)过点An(xn,yn)的直线方程为yyn(xxn),联立方程,消去y得x2x10.解得xxn或x.由题设条件知xn1.(2)证明:2.b120,数列bn是等比数列(3)由(2)知,bn(2)n,要使cn1cn恒成立,由cn1cn3n1(2)n13n(2)n23n3(2)n0恒成立,即(1)nn1恒成立当n为奇数时,即n1恒成立又n1的最小值为1,n1恒成立,又n1的最大值为,即cn.15