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1、第3讲圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题一、选择题1.(2015衡水中学模拟)已知椭圆1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则|PA|PB|的最大值为()A.3 B.4 C.5 D.15解析在椭圆中，由a5，b4，得c3，故焦点为(3，0)和(3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(3，0)，由椭圆的定义得|PB|PC|10，所以|PA|PB|10|PA|PC|，因为|PA|PC|AC|5，所以当点P，A，C三点共线时，|PA|PB|取得最大值15.答案D2.在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点，则k的取值范围为()A.B.C
2、.D.解析由已知可得直线l的方程为ykx，与椭圆的方程联立，整理得x22kx10，因为直线l与椭圆有两个不同的交点，所以8k244k220，解得k或k，即k的取值范围为答案D3.(2015榆林模拟)若双曲线1(a0，b0)与直线yx无交点，则离心率e的取值范围是()A.(1，2) B.(1，2C.(1，) D.(1，解析因为双曲线的渐近线为yx，要使直线yx与双曲线无交点，则直线yx应在两渐近线之间，所以有，即ba，所以b23a2，c2a23a2，即c24a2，e24，所以1e2.答案B4.已知椭圆1(0b2)与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则ABF的面积的最大值为()A.1 B
3、.2 C.4 D.8解析不妨设点F的坐标为(，0)，而|AB|2b，SABF2bb2(当且仅当b24b2，即b22时取等号)，故ABF面积的最大值为2.答案B5.在直线y2上任取一点Q，过Q作抛物线x24y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点是()A.(0，1) B.(0，2)C.(2，0) D.(1，0)解析设Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为yx2，则yx，则在点A处的切线方程为yy1x1(xx1)，化简得yx1xy1；同理，在点B处的切线方程为yx2xy2.又点Q(t，2)的坐标满足这两个方程，代入得2x1ty1，2x2ty2，则说明A(x1，y1)
4、，B(x2，y2)都满足方程2xty，即直线AB的方程为y2tx，因此直线AB恒过点(0，2).答案B二、填空题6.(2015平顶山模拟)若双曲线x21(b0)的一条渐近线与圆x2(y2)21至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_.解析双曲线的渐近线方程为ybx，则有1，解得b23，则e21b24，得1e2.答案(1，27.若椭圆1(ab0)与双曲线1的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为_.解析可知e1，e1，所以ee22e1e20e1e21.答案(0，1)8.(2015合肥模拟)已知椭圆1(ab0)的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分
5、别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1k2的值为_.解析由e21，得，设M(x，y)，A(m，n)，B(m，n)，则k1k2，把y2b2，n2b2代入式并化简，可得k1k2.答案三、解答题9.(2015浙江卷)如图，已知抛物线C1：yx2，圆C2：x2(y1)21，过点P(t，0)(t0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点.(1)求点A，B的坐标；(2)求PAB的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.解(1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为yk(xt).由消去y
6、，整理得：x24kx4kt0，由于直线PA与抛物线相切，得kt，因此，点A的坐标为(2t，t2).设圆C2的圆心为D(0，1)，点B的坐标为(x0，y0)，由题意知：点B，O关于直线PD对称，故 解得因此，点B的坐标为.(2)由(1)知，|AP|t 和直线PA的方程txyt20，点B到直线PA的距离是d，设PAB的面积为S(t)，所以S(t)|AP|d.10.已知椭圆M的对称轴为坐标轴，焦点是(0，)，(0，)，又点A(1，)在椭圆M上.(1)求椭圆M的方程；(2)已知直线l的斜率为，若直线l与椭圆M交于B、C两点，求ABC面积的最大值.解(1)由已知椭圆的焦点为(0，)，故设椭圆方程为1，将
7、点A(1，)代入方程得1，整理得a45a240，解得a24或a21(舍)，故所求椭圆方程为1.(2)设直线BC的方程为yxm，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，代入椭圆方程并化简得4x22mxm240，由8m216(m24)8(8m2)0，可得m28，由x1x2m，x1x2，故|BC|x1x2|又点A到BC的距离为d.故SABC|BC|d.当且仅当2m2162m2，即m2时取等号(满足式)，所以ABC面积的最大值为.11.(2015南阳模拟)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C相
8、交于A、B两点(A、B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.(1)解由题意设椭圆的标准方程为1(ab0).易知ac3，ac1，则a2，c1，故b23.所以椭圆C的标准方程为1.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2).由得(34k2)x28mkx4(m23)0.依题意，64m2k216(34k2)(m23)0，即34k2m20.又x1x2，x1x2，所以y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2，0)，所以0.又(x12，y1)，(x22，y2)，故(x12)(x22)y1y20，即y1y2x1x22(x1x2)40，即40，化简得7m216mk4k20，解得m12k，m2，且满足34k2m20.当m2k时，l：yk(x2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾；当m时，l：yk，直线过定点.综上可知，直线l过定点，该定点的坐标为.6