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1、2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（安徽卷，解析版） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第2页。第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，在选涂其他答案标号。3.答第II卷时，必须使用用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求
2、字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在标号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。参考公式：如果事件A、B互斥，那么 S表示底面积，h表示底面上的高 棱柱体积 如果事件相互独立，那么 棱锥体积 第I卷(选择题 共50分)一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）i是虚数单位，若，则乘积的值是 （A）15 （B）3 （C）3 （D）15解析 ，选B。（2）若集合则AB是 （A）
3、 (B) （C） (D) 解析集合，选D（3）下列曲线中离心率为的是（A） （B） （C） （D）解析由得，选B (4)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（A）p:b+d , q:b且cd （B）p:a1,b1 q:的图像不过第二象限（C）p: x=1, q:（D）p:a1, q: 在上为增函数解析：由b且cdb+d，而由b+d b且cd，可举反例。选A（5）已知为等差数列，+=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是（A）21 （B）20 （C）19 （D） 18解析：由+=105得即，由=99得即 ，由得，选B（6）设b,函数的图像可能是解析：，由得，当时，取极大值0，当时
4、取极小值且极小值为负。故选C。或当时，当时，选C（7）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是B（A） （B） （C） （D） AxDyCOy=kx+解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）ABC=，设与的交点为D，则由知，选A。 （8）已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（A） （B）（C） （D）解析：，由题设的周期为，由得，故选C（9）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是（A） （B） （C） （D）解析：由得，即，切线方程为，即选A（10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点
5、中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（A） （B） （C） （D）ABCDEF解析 如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有共12对，所以所求概率为，选D2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第卷(非选择题 共100分)考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。（11）若随机变量，则=_.解析 开始输
6、出结束是否（12）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点A和B，则|AB|=_.解析 直线的普通方程为，曲线的普通方程(13) 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是_.解析 由程序框图知，循环体被执行后的值依次为3、7、15、31、63、127，故输出的结果是127。（14）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.解析设 ，即（15）对于四面体ABCD，下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）。相对棱AB与CD所在的直线异
7、面；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点;最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。解析三解答题;本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的答题区域内.（16）（本小题满分12分）在ABC中，, sinB=.（I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积.本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12分解：（）由，且，ABC，又，（）如图，由正弦定理得
8、，又（17）（本小题满分12分） 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值（即数学期望）.本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分12分。解：随机变量X的分布列是X1
9、23PX的均值为附：X的分布列的一种求法共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：ABCDABCDABCDABDCACDB在情形和之下，A直接感染了一个人；在情形、之下，A直接感染了两个人；在情形之下，A直接感染了三个人。（18）（本小题满分13分）如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角BAFD的大小；（II）求四棱锥EABCD与四棱锥FABCD公共部分的体积.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和
10、推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。解：（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，G为垂足。连接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。 于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角BAFD 的平面角。由， ，得，由，得（向量法）以A为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）设平面ABF的法向量，则由得令，得，同理，可求得平面ADF的法向量。由知，平面ABF与平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于。（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四
11、棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。过H作HP平面ABCD，P为垂足。因为EA平面ABCD，FC平面ABCD，所以平面ACFE平面ABCD，从而由得。又因为故四棱锥H-ABCD的体积（19）（本小题满分12分） 已知函数，讨论的单调性.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。解：的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式. 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。 当，即时，方程有两个不同的实根,.+0_0+单调递增极大单调递减极小
12、单调递增此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.（20）（本小题满分13分）点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.（I）证明: 点是椭圆与直线的唯一交点；（II）证明:构成等比数列.解：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。解：（I）（方法一）由得代入椭圆,得.将代入上式,得从而因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.(方法二)显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得即故P与Q重合。（方法三）在第一象限内，由可
13、得椭圆在点P处的切线斜率切线方程为即。因此，就是椭圆在点P处的切线。根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。（II）的斜率为的斜率为由此得构成等比数列。（21）（本小题满分13分）首项为正数的数列满足（I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；（II）若对一切都有，求的取值范围.解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。解：（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，则由递推关系得是奇数。根据数学归纳法，对任何，都是奇数。（II）（方法一）由知，当且仅当或。另一方面，若则；若，则根据数学归纳法，综合所述，对一切都有的充要条件是或。（方法二）由得于是或。因为所以所有的均大于0，因此与同号。根据数学归纳法，与同号。因此，对一切都有的充要条件是或。- 10 -