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1、河北省邯郸市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知命题 p：xR，cosx1，则（）A. p：x0R，cosx01B. p：xR，cosx1C. p：xR，cosx1D. p：x0R，cosx01【答案】D【解析】【分析】对于全称命题的否命题，首先要将全称量词“”改为特称量词“”，然后否定原命题的结论，据此可得答案.【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 p：xR，cosx1，p：x0R，cosx01故选D【点睛】本题考查了命题中全称量词和存在量词，解
2、题的关键是要知晓全称命题的否定形式是特称命题.2. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断【详解】，即时，一定有，充分的，但时，不一定是，不必要，因此应为充分不必要条件故选：A3. 某学校高二年级选择“史政地”，“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为，和.现采用分层抽样的方法选出位同学进行项调查研究，则“史政生”组合中选出的同学人数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用抽样比计算抽取人数.【详解】由条件可知，选出“史政生”组合中选出的同学人数为人
3、.故选：C4. 设一组样本数据的方差为，则数据的方差为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据一组数据同时扩大n倍，方差将变为原来的倍，求出新方差即可.【详解】样本数据的方差为，数据的方差为.故选：B【点睛】若两组数据和满足线性关系，设数据的均值为，方差为,数据的均值为，方差为,则有：，5. 小李同学从网上购买了一本数学辅导书，快递员计划周日上午之间送货到家，小李上午有两节视频课，上课时间分别为和，则辅导书恰好在小李同学非上课时间送到的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用几何概型长度比值计算概率.【详解】快递员在周日上午之间送货，在这60分钟的
4、任何时候都有可能送货到家，而这期间，只有和这段时间没课，共20分钟，根据几何概型，可知辅导书恰好在小李同学非上课时间送到的概率.故选：C6. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，对曲线的方程变形，分析可得曲线为圆x2+y21的下半部分，结合图形分析可得答案【详解】根据题意，y，变形可得x2+y21（），为圆x2+y21的下半部分，若直线x+yb0与曲线y有公共点，则当直线经过点A时，直线x+yb0与曲线y有公共点此时b1，将直线向下平移至直线与曲线相切时，有1，解可得b，又由b0，则b，则b的取值范围为；故选：B【点睛】关键点点
5、睛：曲线y，变形可得x2+y21（），为圆x2+y21的下半部分，数形结合解决即可.7. 在正方体中，点分别是梭，的中点，则与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】延长至，使，可证，得是异面直线与所成的角（或其补角）在中，由余弦定理可得结论【详解】延长至，使，连接，又所以是平行四边形，又正方体中，所以，所以是平行四边形，则，所以是异面直线与所成的角（或其补角）设正方体棱长为2，在正方体中易得，中，故选：D【点睛】方法点睛：本题考查空间向量法求异面直线所成的角，求异面直线所成角的方法：（1）定义法：根据定义作出异面直线所成的角并证明，然后解三角形得结论；（2）建
6、立空间直角坐标系，由两异面直线的方向向量的夹角得异面直线所成的角8. 已知椭圆的左右焦点分别为，过直线与椭圆交于，两点，设线段的中点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由得，结合是中点，得等腰三角形，由平行线可得是中点，从而轴，利用勾股定理可得的关系得离心率【详解】因为，所以，又是中点，所以，因为，所以是中点，则，因此轴，设，则，在中，由勾股定理得，变形可得故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是确定的等式解题方法是由向量的数量积得出垂直后，根据三角形的性质得的性质（实质上它是等边三角形），特别是轴，然后结合椭圆定义利用勾股定
7、理可得二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 下列导数运算正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根据导数的运算法则逐项运算排除可得答案.【详解】对于A，故错误；对于B， ，故正确；对于C， ，故正确；对于D， ，故错误.故选：BC.10. 已知直线，则（ ）A. 恒过点B. 若，则C. 若，则D. 当时，不经过第三象限【答案】BD【解析】【分析】A.直线写成，判断直线所过的定点；B.若两直线平行，则一定有；C.两直线垂直，根据公式有；D.根据直线不经过第三象限，
8、求实数的取值范围.【详解】，当，即，即直线恒过点，故A不正确；若，则有 ，解得：，故B正确；若，则有，得，故C不正确；若直线不经过第三象限，则当时， ，解得：，当时，直线，也不过第三象限，综上可知：时，不经过第三象限，故D正确.故选：BD11. 某学校为了调查高二年级学生周末阅读时间情况，随机选取了名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则（ ）A. 众数的估计值为B. 中位数的估计值为C. 平均数的估计值为D. 样本中有名同学阅读时间不低于分钟【答案】ACD【解析】【分析】根据频率分布直方图估计各数据特征：频率最大的那组数据的中间值为估计众数，频率为0.5对应的点的值为估计中位数，各组数据中间
9、值乘以频率相加可得估计平均值求出不低于40分钟阅读时间的频率再乘以总体容量即可得所求人数【详解】由频率分布直方图知的频率最大，因此众数估计值为35，A正确；由于的频率为，中位数是30，B错误；平均值估计为，C正确；不低于分钟的人数为，D正确故选：ACD12. 已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线右支上的点，若，且，则（ ）A. 离心率为B. 渐近线方程为C. 若，则的最小值为D. 若，则的最小值为【答案】AC【解析】【分析】由的边长结合双曲线的定义求得离心率，可得渐近线方程，设求得后可判断CD【详解】，且，又，所以，由双曲线定义得，所以，A正确；，B错误；设，则，最小值为，C正确；的最小值是，
10、D错故选：AC【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率、渐近线方程考查双曲线中的最值求离心率、渐近线方程关键是列出关于的齐次等式，然后利用可得或设是双曲线右支上，左右焦点分别为，则当是右顶点时，三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设曲线 在点处的切线方程_.【答案】【解析】【分析】求出函数的导函数，得到函数在处的导数，即为切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案【详解】由题意，函数的导数为，可得曲线在点处的切线斜率为，即切线的斜率为，则曲线在点处的切线方程为，即为，即故答案为【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中解答中明确曲线上某点处的切线的斜率等于函数
11、在该点处的导数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14. 某班级计划从甲，乙，丙，丁，戊五位同学中选择三人作为代表参加师生座谈会，每人被选中的机会均等，则甲和乙同时被选中的概率为_.【答案】【解析】【分析】这是一个古典概型，先计算出从甲，乙，丙，丁，戊五位同学中选择三人的方法数，再得到甲和乙同时被选中的方法数，代入公式求解.【详解】从甲，乙，丙，丁，戊五位同学中选择三人，有种方法，甲和乙同时被选中的方法有，所以甲和乙同时被选中概率为，故答案为：15. 抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后.反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线，平行于轴的光线在抛物线
12、上点处反射后经过抛物线的焦点，在抛物线上点处再次反射，又沿平行于轴方向射出，则两平行光线间的最小距离为_.【答案】【解析】【分析】作出图像，设，题中问题即为求的最小值，设直线，联立，用韦达定理表示即可得解.【详解】根据题意作出图像，如图所示，设，题中问题即为求最小值.设，由，得，所以.所以，当时，最小为2.故答案为：2.16. 已知直线与圆相切，设切点为，点在直线上，为圆上一动点，若的最大值为，则等于_.(为坐标原点)【答案】【解析】【分析】由最大时，也为圆的切线，及最大值为知是正方形，从而易得【详解】因为是已知圆的切线，若的最大，则也是圆的切线，又的最大值为，所以四边形是正方形，故答案为：【
13、点睛】结论点睛：设是圆外一点，是圆的上任意两点，则最大时，都是圆的切线四解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 小区门口有一个熟食摊位，经过一段时间的统计，发现菜品种类和日销售收入之间有一定关系，具体统计数据如下表：菜品种类日销售收入（1）建立关于的回归方程：(保留整数)（2）根据所求回归方程，预测如果希望日销售收人超元，则菜品种类至少多少种？附：回归直线斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，参考数据：，.【答案】（1）；（2）菜品种类至少种.【解析】【分析】（1）先求和，再根据参考公式计算和，计算回归直线方程；（2）根据回归直线方程，计算当时，求的取
14、值范围.【详解】（1）由题，；，所以回归方程为（2）由，解得所以菜品种类至少种.18. 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴交点都在圆上.（1）求圆的方程；（2）设过点的直线与圆交于，两点，且，求的方程.【答案】（1）；（2）或者.【解析】【分析】（1）求出曲线与坐标轴的三个交点坐标，设圆的一般方程，代入三点为坐标可得圆的方程，后得标准方程；（2）检验直线斜率不存在时符合题意，再设斜率存在时的直线方程为，求出圆心到直线的距离，勾股定理表示出弦长后可求得参数，得直线方程【详解】解：（1）设曲线，与坐标轴的交点分别为，设圆的方程为，代入点坐标可解得，从而圆的方程为，即；（2）由得圆心到直线距离为；当直
15、线斜率不存在时，方程为，满足题意；直线斜率存在时，设直线，即，由题，解得，所以直线方程为，即综上，从而直线方程为或者.【点睛】方法点睛：本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题已知圆上三点坐标时，可设圆的一般方程，代入三点坐标后解方程组求解已知弦长求直线方程，需要检验直线斜率不存在时的直线是否满足题意，在斜率存在时，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，用勾股定理表示出弦长后从而可得参数值，得直线方程19. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，平面，是的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点，连接，易得四边形
16、为平行四边形，则，再利用线面平行的判定定理证明； （2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求得向量的坐标和平面的一个法向量，由求解.【详解】（1）如图所示：取中点，设为，连接，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，从而，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，所以.所以直线与平面所成角的正弦值是.【点睛】方法点睛：利用向量求线面角的方法：（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；（2）通
17、过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角20. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，当与轴垂直时，的周长为.（1）求的方程：（2）在轴上是否存在点，使得恒成立(为坐标原点)？若存在求出坐标，若不存在说明理由.【答案】（1）；（2）存在，点坐标为.【解析】【分析】（1）利用焦半径公式表示，代入坐标，求的长度，并表示的周长，求；（2）假设存在点，设，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系表示，求定点的值.【详解】（1）当与轴垂直时，从而有解得，所以的方程为；（2）设，由题可知直线斜率不为零，设，代入抛物线方程消去，得，从而，由可得，而将代
18、入，从而得恒成立，所以，因此存在点满足题意，点坐标为.【点睛】思路点睛：定点问题解决步骤：（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；（2）韦达定理列出两根和及两根积；（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；（4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件.21. 如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，是中点.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先通过证，证得平面，进而可证明平面平面；（2）先证得平面，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，用向量法即可求解二面角的余弦值.【详解】（1）证明：由题可得，所
19、以，在题可知为等边三角形，所以，从而因此在中，从而有，而，满足，从而有，又，从而平面，而平面，从而平面平面；（2）由平面平面，而与两平面交线垂直，从而有平面，设，则，从而有平面，因此以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，从而，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为，所以平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为，则又二面角为钝二面角，所以余弦值为.22. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，直线与以为直径的圆相切于点，当时，的面积为；（1）求的方程；（2）直线与椭圆交于，两点，设时，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围.【答案】（
20、1）；（2）.【解析】【分析】（1）由直线斜率为1且圆相切，得(为原点)，从而的面积可用表示出来，从而求得，再由离心率求得，然后可得，得椭圆方程；（2）设，将直线方程代入椭圆方程应用韦达定理求得，从而可得中点坐标，写出中垂线方程，令可得，由直线与圆相切得关系，这样可化为一元函数，再用换元法可求得取值范围【详解】解：（1）设，当时，(为原点)，从而，从而解得，又离心率，所以，从而，因此的方程为；（2）设，将，代入椭圆方程，消去，得，从而，设的中点为，则，从而的中垂线方程为，令，解得，由线与以为直径的圆相切，得，即从而令，则由函数取值范围为，得的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查由离心率求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题解题关键建立与参数的函数式，方法是：由直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得弦中心坐标得弦垂直平分线方程，从而可求得，利用直线与圆相切得参数关系后可得所需要的函数式，换元后可求得取值范围- 19 -