2022年北京市中考数学真题含解析.pdf

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1、2022 北京中考真题北京中考真题数数学学第一部分第一部分选择题选择题一、选择题(共一、选择题(共 16 分,每题分,每题 2 分)第分)第 1-8 题均有四个选项,符合题意的选项只有一个题均有四个选项,符合题意的选项只有一个1.下面几何体中,是圆锥的为()A.B.C.D.2.截至 2021 年 12 月 31 日,长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达 262883 亿千瓦时,相当于减排二氧化碳约 2.2 亿吨将 262 883 000 000 用科学计数法表示应为()A.1026.2883 10B.112.62883 10C.122.62883 10D.120.262883 103.如图,

2、利用工具测量角,则1的大小为()A.30B.60C.120D.1504.实数ab,在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是()A.2aB.1bC.abD.ab 5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个,除颜色外两个小球无其他差别,从中随机摸出一个小球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是()A.14B.13C.12D.346.若关于x的一元二次方程20 xxm有两个相等的实数根,则实数m的值为()A.4B.14C.14D.47.图中的图形为轴对称图形,该图形的对称轴的条数为()A.1B.2C.3D.58.下面的三个问题中都有两个变量:汽车从 A

3、 地匀速行驶到 B 地,汽车的剩余路程 y 与行驶时间 x;将水箱中的水匀速放出,直至放完,水箱中的剩余水量 y 与放水时间 x;用长度一定的绳子围成一个矩形,矩形的面积 y 与一边长 x,其中,变量 y 与变量 x 之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是()A.B.C.D.第二部分第二部分非选择题非选择题二、填空题(共二、填空题(共 16 分,每题分,每题 2 分)分)9.若8x在实数范围内有意义,则实数 x 的取值范围是_10.分解因式:2xyx_11.方程215xx的解为_12.在平面直角坐标系xOy中,若点12(2,),(5,)AyBy在反比例函数(0)kykx的图象上,则1y_

4、2y(填“”“=”或“”“=”或“-2,故 A 选项错误;点 b 在 1 的右边,故 b1,故 B 选项错误;b 在 a 的右边,故 ba,故 C 选项错误;由数轴得:-2a-1.5,则 1.5-a2,1b0;当一元二次方程有两个相等的实数根时,=0;当方程没有实数根时,”“=”或“0,在每个象限内,y 随 x 的增大而减小,进行判断即可【详解】解:k0,在每个象限内,y 随 x 的增大而减小,25,1y2y故答案为:【点睛】本题考查了反比例函数的性质,熟练掌握函数的性质是解决问题的关键13.某商场准备进 400 双滑冰鞋,了解了某段时间内销售的 40 双滑冰鞋的鞋号,数据如下:鞋号35363

5、7383940414243销售量/双2455126321根据以上数据,估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为_双【答案】120【解析】【分析】根据题意得:39 码的鞋销售量为 12 双,再用 400 乘以其所占的百分比,即可求解【详解】解:根据题意得:39 码的鞋销售量为 12 双,销售量最高,该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为1240012040双故答案为:120【点睛】本题主要考查了用样本估计总体,根据题意得到 39 码的鞋销售量为 12 双,销售量最高是解题的关键14.如图,在ABC中,AD平分,.BAC DEAB若2,1,ACDE则ACDS_【答案】1【解析】【分析】作DFAC于点

6、 F,由角平分线的性质推出1DFDE,再利用三角形面积公式求解即可【详解】解:如图,作DFAC于点 F,AD平分BAC,DEAB,DFAC,1DFDE,112 1 122ACDSAC DF 故答案为:1【点睛】本题考查角平分线的性质,通过作辅助线求出三角形 ACD 中 AC 边的高是解题的关键15.如图,在矩形ABCD中,若13,5,4AFABACFC,则AE的长为_【答案】1【解析】【分析】根据勾股定理求出 BC,以及平行线分线段成比例进行解答即可【详解】解:在矩形ABCD中:ADBC,90ABC,14AEAFBCFC,2222534BCACAB,144AE,1AE,故答案为:1【点睛】此题

7、考查了勾股定理以及平行线分线段成比例,掌握平行线分线段成比例是解题的关键16.甲工厂将生产的 I 号、II 号两种产品共打包成 5 个不同的包裹,编号分别为 A,B,C,D,E,每个包裹的重量及包裹中 I 号、II 号产品的重量如下:包裹编号I 号产品重量/吨II 号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过 19.5 吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂(1)如果装运的 I 号产品不少于 9 吨,且不多于 11 吨,写出一中满足条件的装运方案_(写出要装运包裹的编号);(2)如果装运的 I 号产品不少于 9 吨,且不多于 11 吨,同时装运的

8、II 号产品最多,写出满足条件的装运方案_(写出要装运包裹的编号)【答案】.ABC(或 ABE 或 AD 或 ACD 或 BCD).ABE 或 BCD【解析】【分析】(1)从 A,B,C,D,E 中选出 2 个或 3 个,同时满足 I 号产品不少于 9 吨,且不多于 11 吨,总重不超过 19.5 吨即可;(2)从(1)中符合条件的方案中选出装运 II 号产品最多的方案即可【详解】解:(1)根据题意,选择 ABC 时,装运的 I 号产品重量为:53210(吨),总重6551619.5(吨),符合要求;选择 ABE 时,装运的 I 号产品重量为:53311(吨),总重65 81919.5(吨),

9、符合要求;选择 AD 时,装运的I 号产品重量为:549(吨),总重671319.5(吨),符合要求;选择 ACD 时,装运的 I 号产品重量为:52411(吨),总重6571819.5(吨),符合要求;选择 BCD 时,装运的 I 号产品重量为:3249(吨),总重5571719.5(吨),符合要求;选择 DCE 时,装运的 I 号产品重量为:4239(吨),总重75 82019.5(吨),不符合要求;选择 BDE 时,装运的 I 号产品重量为:34310(吨),总重5782019.5(吨),不符合要求;综上,满足条件的装运方案有 ABC 或 ABE 或 AD 或 ACD 或 BCD故答案为

10、:ABC(或 ABE 或 AD 或 ACD 或 BCD)(2)选择 ABC 时,装运的 II 号产品重量为:1236(吨);选择 ABE 时,装运的 II 号产品重量为:1258(吨);选择 AD 时,装运的 II 号产品重量为:1 34(吨);选择 ACD 时,装运的 II 号产品重量为:1 3 37(吨);选择 BCD 时,装运的 II 号产品重量为:23 38(吨);故答案为:ABE 或 BCD【点睛】本题考查方案的选择,读懂题意,尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键三、解答题(共三、解答题(共 68 分,第分,第 17-20 题,每题题,每题 5 分,第分,第 21 题

11、题 6 分,第分,第 22 题题 5 分,第分,第 23-24 题,题,每题每题 6 分分,第第 25 题题 5 分分,第第 26 题题 6 分分,第第 27-28 题题,每题每题 7 分分)解答应写出文字说明解答应写出文字说明、演算演算步骤或证明过程步骤或证明过程17.计算:0(1)4sin4583.【答案】4【解析】【分析】根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解【详解】解:0(1)4sin4583.2=142 232=4【点睛】本题考查了实数的混合运算,掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键18.解不等式组:274,4.2xxxx【答案】14x【解

12、析】【分析】分别解两个一元一次不等式,再求交集即可【详解】解:274 42xxxx解不等式得1x,解不等式得4x,故所给不等式组的解集为:14x【点睛】本题考查解一元一次不等式组,属于基础题,正确计算是解题的关键19.已知2220 xx,求代数式2(2)(1)x xx的值【答案】【解析】【分析】先根据2220 xx,得出222xx,将2(2)(1)x xx变形为2221xx,最后代入求值即可【详解】解:2220 xx,222xx,2(2)(1)x xx22221xxxx2241xx2221xx2215【点睛】本题主要考查了代数式求值,完全平方公式,单项式乘多项式,将2(2)(1)x xx变形为

13、2221xx,是解题的关键20.下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种,完成证明三角形内角和定理:三角形三个内角和等于 180,已知:如图,ABC,求证:180.ABC 方法一证明:如图,过点A作.DEBC方法二证明:如图,过点 C 作.CDAB【答案】答案见解析【解析】【分析】选择方法一,过点A作/DEBC,依据平行线的性质,即可得到BBAD,CEAC,再根据平角的定义,即可得到三角形的内角和为180【详解】证明:过点A作/DEBC,则BBAD,CEAC(两直线平行,内错角相等)点D,A,E在同一条直线上,180DABBACC(平角的定义)180BBACC即三角形的内

14、角和为180【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用,熟练掌握平行线的性质是解题的关键21.如图,在ABCD中,ACBD,交于点O,点EF,在AC上,AECF(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;(2)若,BACDAC 求证:四边形EBFD是菱形【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)先根据四边形 ABCD 为平行四边形,得出AOCO,BODO,再根据AECF,得出EOFO,即可证明结论;(2)先证明DCADAC,得出DADC,证明四边形 ABCD 为菱形,得出ACBD,即可证明结论【小问 1 详解】证明:四边形 ABCD 为平行四边形,AOCO,BODO,

15、AECF,AOAECOCF,即EOFO,四边形EBFD是平行四边形【小问 2 详解】四边形 ABCD 为平行四边形,AB CD,DCABAC,,BACDAC DCADAC,DADC,四边形 ABCD 为菱形,ACBD,即EFBD,四边形EBFD是平行四边形,四边形EBFD是菱形【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和性质,菱形的判定和性质,平行线的性质,熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法,是解题的关键22.在平面直角坐标系xOy中,函数(0)ykxb k的图象经过点(4,3),(2,0),且与y轴交于点A(1)求该函数的解析式及点A的坐标;(2)当0 x 时,对于x的每一个值,函数yxn的值大

16、于函数(0)ykxb k的值,直接写出n的取值范围【答案】(1)112yx,(0,1)(2)1n【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求得函数解析式,当0 x 时,求出y即可求解(2)根据题意112xnx结合0 x 解出不等式即可求解【小问 1 详解】解:将(4,3),(2,0)代入函数解析式得,3=402kbkb,解得121kb,函数的解析式为:112yx,当0 x 时,得1y,点 A 的坐标为(0,1)【小问 2 详解】由题意得,112xnx,即22xn,又由0 x,得220n,解得1n,n的取值范围为1n【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式,熟练掌握待定系数法求函数解析式

17、及函数的性质是解题的关系23.某校举办“歌唱祖国”演唱比赛,十位评委对每位同学的演唱进行现场打分,对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析,下面给出了部分信息a甲、乙两位同学得分的折线图:b丙同学得分:10,10,10,9,9,8,3,9,8,10c甲、乙、丙三位同学得分的平均数:同学甲乙丙平均数8.68.6m根据以上信息,回答下列问题:(1)求表中 m 的值;(2)在参加比赛的同学中,如果某同学得分的 10 个数据的方差越小,则认为评委对该同学演唱的评价越一致据此推断:甲、乙两位同学中,评委对_的评价更一致(填“甲”或“乙”);(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打

18、分中的一个最高分和一个最低分后的平均分,最后得分越高,则认为该同学表现越优秀 据此推断:在甲、乙、丙三位同学中,表现最优秀的是_(填“甲”“乙”或“丙”)【答案】(1)8.6(2)甲(3)乙【解析】【分析】(1)根据平均数的定义求出丙的平均数即可求解(2)根据方差的计算方法先算出甲乙的方差,再进行比较即可求解(3)按去掉一个最高分和一个最低分后分别计算出甲乙丙的平均分,再进行比较即可求解【小问 1 详解】解:丙的平均数:10 10 10998398 108.610 ,则8.6m【小问 2 详解】2222212(8.68)4(8.69)2(8.67)2(8.6 10)1.0410S 甲,2222

19、14(8.67)4(8.6 10)2(8.69)1.8410S 乙,22SS甲乙,甲、乙两位同学中,评委对甲的评价更一致,故答案为:甲【小问 3 详解】由题意得,去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为:甲:8897999 10=8.6258,乙:77799 10 10 10=9.758,丙:10 1099898 10=9.1258 ,去掉一个最高分和一个最低分后乙的平均分最高,因此最优秀的是乙,故答案为:乙【点睛】本题考查了折线统计图、中位数、方差及平均数,理解折线统计图,从图中获取信息,掌握中位数、方差及去掉一个最高分和一个最低分后的平均分的求法是解题的关键24.如图,AB是O的直径,CD是

20、O的一条弦,,ABCD连接,.AC OD(1)求证:2;BODA(2)连接DB,过点C作,CEDB交DB的延长线于点E,延长,DO交AC于点F,若F为AC的中点,求证:直线CE为O的切线【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【解析】【分析】(1)设AB交CD于点H,连接OC,证明Rt COHRt DOH,故可得COHDOH,于是BCBD,即可得到2BODA;(2)连接,解出60COB,根据AB为直径得到90ADB,进而得到60ABD,即可证明/OCDB,故可证明直线CE为O的切线【小问 1 详解】证明:设AB交CD于点H,连接OC,由题可知,OCOD,90OHCOHD,OHOH,Rt COH

21、Rt DOH HL,COHDOH,BCBD,COBBOD,2COBA,2BODA;【小问 2 详解】证明:连接AD,OAOD,OADODA,同理可得:OACOCA,OCDODC,点 H 是 CD 的中点,点 F 是 AC 的中点,OADODAOACOCAOCDODC,180OADODAOACOCAOCDODC,30OADODAOACOCAOCDODC ,22 3060COBCAO ,ABQ为O的直径,90ADB,90903060ABDDAO,60ABDCOB,/OCDE,CEBEQ,CEOC,直线CE为O的切线【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质,同弧所对的圆周角相等,圆周角定理,直线平

22、行的判定与性质,三角形的内角和公式,证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键25.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一,举办场地为首钢滑雪大跳台,运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,建立如图所示的平面直角坐标系,从起跳到着陆的过程中,运动员的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系2()(0)ya xhk a某运动员进行了两次训练(1)第一次训练时,该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下:水平距离 x/m02581114竖直高度 y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据,直接写出该运动员竖直高度的最大值,并求出满

23、足的函数关系2()(0);ya xhk a(2)第二次训练时,该运动员的竖直高度 y 与水平距离 x 近似满足函数关系20.04(9)23.24.yx 记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为 d1,第二次训练的着陆点的水平距离为2d,则1d_2d(填“”“=”或“”)【答案】(1)23.20m;20.05823.20yx(2)【解析】【分析】(1)先根据表格中的数据找到顶点坐标,即可得出 h、k 的值,运动员竖直高度的最大值;将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出 a 的值,得出函数解析式;(2)着陆点的纵坐标为t,分别代入第一次和第二次的函数关系式,求出着陆点的横坐标,用

24、t 表示出1d和2d,然后进行比较即可【小问 1 详解】解:根据表格中的数据可知,抛物线的顶点坐标为:8,23.20,8h,23.20k,即该运动员竖直高度的最大值为 23.20m,根据表格中的数据可知,当0 x 时,20.00y,代入2823.20ya x得:220.000 823.20a,解得:0.05a ,函数关系关系式为:20.05823.20yx【小问 2 详解】设着陆点的纵坐标为t,则第一次训练时,20.05823.20tx,解得:820 23.20 xt或820 23.20 xt,根据图象可知,第一次训练时着陆点的水平距离1820 23.20dt,第二次训练时,20.04923.

25、24tx,解得:925 23.24xt或925 23.24xt,根据图象可知,第二次训练时着陆点的水平距离2925 23.24dt,20 23.2025 23.24tt,20 23.2025 23.24tt,12dd故答案为:【点睛】本题主要考查了二次函数的应用,待定系数法求函数关系式,设着陆点的纵坐标为t,用 t 表示出1d和2d,是解题的关键26.在平面直角坐标系xOy中,点(1,),(3,)mn在抛物线2(0)yaxbxc a上,设抛物线的对称轴为.xt(1)当2,cmn时,求抛物线与 y 轴交点的坐标及t的值;(2)点00(,)(1)x m x 在抛物线上,若,mnc求t的取值范围及0

26、 x的取值范围【答案】(1)(0,2);2(2)t的取值范围为322t,0 x的取值范围为023x【解析】【分析】(1)当 x=0 时,y=2,可得抛物线与 y 轴交点的坐标;再根据题意可得点(1,),(3,)mn关于对称轴为xt对称,可得 t 的值,即可求解;(2)抛物线与 y 轴交点关于对称轴xt的对称点坐标为(2t,c),根据抛物线的图象和性质可得当xt时,y 随 x 的增大而减小,当xt时,y 随 x 的增大而增大,然后分两种情况讨论:当点(1,)m,点(3,)n,(2t,c)均在对称轴的右侧时;当点(1,)m在对称轴的左侧,点(3,)n,(2t,c)均在对称轴的右侧时,即可求解【小问

27、 1 详解】解:当2c 时,22yaxbx,当 x=0 时,y=2,抛物线与 y 轴交点的坐标为(0,2);mn,点(1,),(3,)mn关于对称轴为xt对称,1 322t;【小问 2 详解】解:当 x=0 时,y=c,抛物线与 y 轴交点坐标为(0,c),抛物线与 y 轴交点关于对称轴xt的对称点坐标为(2t,c),0a,当xt时,y 随 x的增大而减小,当xt时,y 随 x 的增大而增大,当点(1,)m,点(3,)n,(2t,c)均在对称轴的右侧时,1t,,mnc13,2t3,即32t(不合题意,舍去),当点(1,)m在对称轴的左侧,点(3,)n,(2t,c)均在对称轴的右侧时,点0(,)

28、x m在对称轴的右侧,13t,此时点(3,)n到对称轴xt的距离大于点(1,)m到对称轴xt的距离,13tt,解得:2t,,mnc13,2t3,即32t,322t,0(,)x m,(1,)m,对称轴为xt,012xt,013222x,解得:023x,t的取值范围为322t,0 x的取值范围为023x【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键27.在ABC中,90ACB,D 为ABC内一点,连接BD,DC延长DC到点E,使得.CEDC(1)如图 1,延长BC到点F,使得CFBC,连接AF,EF若AFEF,求证:BDAF;(2)连接AE,交BD的延长线于点

29、H,连接CH,依题意补全图 2,若222ABAEBD,用等式表示线段CD与CH的数量关系,并证明【答案】(1)见解析(2)CDCH;证明见解析【解析】【分析】(1)先利用已知条件证明()SASFCEBCD,得出CFECBD=,推出EFBD,再由AFEF即可证明BDAF;(2)延长 BC 到点 M,使 CMCB,连接 EM,AM,先证()SASMECBDC,推出MEBD,通过等量代换得到222AMAEME,利用平行线的性质得出90BHEAEM=,利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到CDCH【小问 1 详解】证明:在FC E和BCD中,CECDFCEBCDCFCB,()SASFCEBCD,C

30、FECBD=,EFBD,AFEF,BDAF【小问 2 详解】解:补全后的图形如图所示,CDCH,证明如下:延长 BC 到点 M,使 CMCB,连接 EM,AM,90ACB,CMCB,AC垂直平分 BM,ABAM,在MEC和BDC中,CMCBMCEBCDCECD,()SASMECBDC,MEBD,CMECBD=,222ABAEBD,222AMAEME,90AEM,CMECBD=,BHEM,90BHEAEM=,即90DHE,12CECDDE=,12CHDE=,CDCH【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,垂直平分线的性质,平行线的判定与性质,勾股定理的逆用,直角三角形斜边中线的性质等,第二问有一

31、定难度,正确作辅助线,证明90DHE是解题的关键28.在平面直角坐标系xOy中,已知点(,),.M a b N对于点P给出如下定义:将点P向右(0)a 或向左(0)a 平移a个单位长度,再向上(0)b 或向下(0)b 平移b个单位长度,得到点P,点P关于点N的对称点为Q,称点Q为点P的“对应点”(1)如图,点(1,1),M点N在线段OM的延长线上,若点(2,0),P 点Q为点P的“对应点”在图中画出点Q;连接,PQ交线段ON于点.T求证:1;2NTOM(2)O的半径为 1,M是O上一点,点N在线段OM上,且1(1)2ONtt,若P为O外一点,点Q为点P的“对应点”,连接.PQ当点M在O上运动时

32、直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示)【答案】(1)见解析(2)42t【解析】【分析】(1)先根据定义和(1,1)M求出点P的坐标,再根据点P关于点N的对称点为Q求出点 Q 的坐标;延长 ON 至点3,3A,连接 AQ,利用 AAS 证明AQTOPT,得到12TATOOA,再计算出 OA,OM,ON,即可求出2122NTONOTOM;(2)连接 PO 并延长至 S,使OPOS,延长 SQ 至 T,使STOM,结合对称的性质得出 NM 为 P QT的中位线,推出1=2NMQT,得出12221SQSTTQtt,则 maxmin2PQPQPSQSPSQSQS【小问 1 详解】解:点

33、Q 如下图所示点(1,1)M,点(2,0)P 向右平移 1 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,得到点P,1,1P,点P关于点N的对称点为Q,2,2N,点Q的横坐标为:2 215,纵坐标为:2 2 13,点5,3Q,在坐标系内找出该点即可;证明:如图延长 ON 至点3,3A,连接 AQ,/AQ OP,AQTOPT,在AQT与 OPT中,AQTOPTATQOTPAQOP ,AQTOPT AAS,12TATOOA,3,3A,(1,1)M,(2,2)N,22333 2OA,22112OM,22222 2ON,13222TOOA,322 2222NTONOT,12NTOM;【小问 2 详解】解:如

34、图所示,连接 PO 并延长至 S,使OPOS,延长 SQ 至 T,使STOM,(,)M a b,点P向右(0)a 或向左(0)a 平移a个单位长度,再向上(0)b 或向下(0)b 平移b个单位长度,得到点P,1PPOM,点P关于点N的对称点为Q,NPNQ,又OPOS,OMST,NM 为 P QT的中位线,/NM QT,1=2NMQT,1NMOMONt,222TQNMt,12221SQSTTQtt,在PQS中,PSQSPQPSQS,结合题意,maxPQPSQS,minPQPSQS,maxmin242PQPQPSQSPSQSQSt,即PQ长的最大值与最小值的差为42t【点睛】本题考查点的平移,对称的性质,全等三角形的判定,两点间距离,中位线的性质及线段的最值问题,第 2 问难度较大,根据题意,画出点 Q 和点P的轨迹是解题的关键

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