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1、沪教版（2020）必修第一册第二章等式与不等式2021年单元测试卷（4）一、单项选择题（本大题共4小题，共20.0分）1 .对于任意实数a、b、c、d,以下命题：假设a b, c H 0,那么ac be；假设a b,贝ijac? be2；假设ac? be2,那么a b；假设a b,贝壮 b,那么（）A. ac beB. - b2 D.a3 b3a b3 . 0 V Q V 1, 0 V b V 1,且a H b,那么下式中最大的是（）A. a2 + b2B. a2 + b2C. a2 + b2D. a + bE. 2abF. 2Vab4 .a, b为非零实数，且ab,那么以下命题成立的是（）A
2、. a2 b2B. a2 b2C. a2 b2D. - 0二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）. 一元二次不等式a/+ + 2 0的解集是（一33），那么a + b的值是.21.1% 0, y 0,且假设 + 2y 血？ 一 7m恒成立，那么实数m的取值范 尢 y围是.6 .不等式一3/ + % + 2 。的解集为.7 .假设不等式组年的整数解只有两个，那么k的取值范围是 （zx + （5 + Lk）x + 5k 0,y0,% +2y = 5,那么弋箸辿的最小值为.8 .假设2VaV5, 3 Vb 10,那么a 2b的范围为.9 .对于实数%,当且仅当九 x n + 1时，n e N*
3、, % = n,那么不等式4%2 36% +45 0的解集是 .18.【答案】解：-(l-a)=. l-a1-a当a = 0时，- = 0,=1 +。.Jl-al-a当Q0,- 1 + .Jl-al-a2i当q1时，0, A l + a.Jl-al-a综上所述，当。=0时，-=l + a； 1-a1当a 1 + q；l-a1当q 1时， b化为a/ 一(4a + 1)% + 4 b 0,由该不等式的解集为%|1 %2,所以a 0,即(ax 1)(% 4) 0.当a = 0时，不等式为一+ 4 0,解得% 4；111当q0时，不等式为。一；)。一4) 0时，不等式为( -( - 4) 0,假设0
4、 V a V %那么5 4,解得 孑假设a = ：,那么2 = 4,不等式为。4)2 0,解得%。4； 1,假设那么三V4,解得V三或4； 4 aa综上知,Q = 0时,不等式的解集为万 V 4；。；第10页，共12页a =时，不等式的解集为%|% W 4)；Q 凯寸，不等式的解集为% 4.【解析】(1)根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系列方程组求出a、b的值；(2)不等式化为(a%-1)。-4) 0,讨论。的取值，从而求出不等式的解集.此题考查了含有字母系数的一元二次不等式解法与应用问题，是中档题.2。 .【答案】解：(1)不等式k2一2% + 6忆0的解集是%|尤一3或%-2,
5、.fc 0,且一3和一2是方程A- - 2% + 6/c = 0的实数根，由根与系数的关系，得(_3) + (_2)=,72k =-(2)不等式的解集是R,/ = 4 24好vo,且k VO,解得kV渔, 6(3)不等式的解集为。，得4 = 4 242 0,解得k 区. 6【解析】此题考查了一元二次不等式的解法，属于简单题.(1)根据一元二次方程与对应的不等式的关系，结合根与系数的关系，求出k的值；(2)跟你就题意/ = 4-24k2 0,当且仅当a = b时取等号，. a2 + 3b2 2b(a + b)；(II)由a0, b 0, a + b = 2ab 2Vab,那么ab 1,当且仅当a
6、 = b = 1时取得等号，此时ab的最小值为1.【解析】(I)由作差比拟法和完全平方公式，结合非负数概念，即可得证；(H)运用基本不等式，可得a+ 6之2而，然后解不等式，求出好的最小值.此题考查利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查转化思想和运算能力,属于基础题.第12页，共12页12 .假设2 V：V。，那么以下结论中：士 |a|+b3； (3)a - - b -lna2 )接,所有正确结论的序号是.13 .设a + b = 2, b 0,那么当a =时，a+号取得最小值. (IIX IL/. “q + c Vb + d” 是 “a Vb且c Vd” 的 条件.14 .关于的不
7、等式a%-b0的解集为(L+8),那么关于的不等式假设o的解集为 人 乙.集合/= -2, B = xx2 + 2x + a-l = 0,且=那么满足条件的实数a组成的集合为.三、解答题(本大题共5小题，共60.0分).a 0, 50且。+ /)2,求证：,中至少有一个小于2. a b.qER,试比拟一一与1 + q的大小. l-a.函数/(%) = ax2 - (4a + l)x + 4(a G R).(1)假设关于的不等式/(%)之b的解集为%|1 4 x 0.15 .关于的不等式Ze- - 2% + 6/c 2,求k的值；(2)假设不等式的解集是R,求k的取值范围；(3)假设不等式的解集
8、为。，求k的取值范围.a 0, b 0,(I )求证:a2 + 3b2 2b(a + b)；(11)假设。+ b = 2ab,求ab的最小值.第2页，共12页答案和解析1 .【答案】A【解析】解：当cvo时，假设Q b,那么QC V be,故错误；当c = 0时，假设a b,那么ac2 = bc2,故错误；假设ac? be?,那么c? 0,那么ab,故正确；假设Q0b,贝咛故错误；故真命题个数为1个，应选：A根据不等式的基本性质，逐一分析四个结论的真假，最后综合讨论结果可得答案.此题考查的知识点是不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键.2 .【答案】D【解析】解：4、32,但是
9、3x(1)2x(1),故人不正确；1B、1 2,但是1 ；,故B不正确；。、一1一2,但是(一1)2 9- a b, /. a3 b3,成立，故。正确.应选：D.对于4、B、C可举出反例，对于。利用不等式的基本性质即可判断出.熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键.3 .【答案】B【解析】解：, a H b.(Q b)2 0 (T)a2 + b2-2ab 0即力 Cv 0 a 1, 0 b 0即B 4与同理B D故答案为艮根据不等式小+ h2 2ab性质可知A C, BD,利用减法可知B A求解即可.此题考查了不等式的知识，注意不等式性质的应用.4 .【答案】D【解析】解：/不正确
10、，如。=1, b = -l,显然小庐不成立.B不正确，如a = 1, b = 2时，显然2Vl不成立. aC不正确，如a = 2, b = l时，显然lg(a b) 0不成立.函数y = y = (P”在定义域R上是个减函数，.G)a 0的解集是(里)，那么方程a/ + bx + 2 = 0的两根为%i = - 3或%2 = p2 _ z_ 112 ：3 解可得a = 12, b = 2,-a=-2)+ 3故 q + b = -14,故答案为：一14.根据题意，由不等式的解集分析可得2 +枚+ 2 = 0的两根为第1 = -：或%2=3,进而2 _ z_ lx 1J 2 ：3岁解可得距人的值，
11、计算可得答案.-a= 0, y 0,且嚏+ = 1,可得 + 2y = (% + 2y)(? + -) = 4 + - + 4 + 2 I- - = 8, % yy xa/ y x第4页，共12页 当且仅当x = 2y = 4时，取得等号，那么x + 2y的最小值为8,由X + 2y m2 - 77n恒成立，可得?n? 7m m2 - 7m,运用二次不 等式的解法可得所求范围.此题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和基本不等式，考查化简计算能力 和推理能力，属于中档题.5 .【答案】(一：,1)【解析】解：3/ + % + 20 = 3%2 % 2 0 = 3(% + -)(% 1)
12、0,3 0得 V1或% 2,解 2/ + (5 + 2k) x + 5/c = 0 得 = k 或 =-2(1)当/c 5 时,，2/ +(5 + 2k)x + 5k V 0 的解为一/c %-1,不等式组有两整数解，:.5 k -4,解得：4 fc 5.(2)当 k 5时，2/ + (5 + 2k)x + 5k 0 的解为一: x-k.不等式组有两整数解，:.3 0 , y 0 , x + 2y = 5 ,(x+l)(2y+l)yfxy(x+l)(2y+l)yfxy2xy+x4-2y+lVxy由基本不等式有：2后+言之2/后.言=4次;当且仅当2月=展时，即：xy = 3 , % + 2y
13、= 5 时，即:即：xy = 3 , % + 2y = 5 时，即:或二g时，等号成立，(%+l)(2y+l)Vxy的最小值为4V3 ；故答案为：4V3.1。【答案】(18-1)【解析】解：.3 b V 10, /. -20 -2b -6,又2 V a V 5,18 a 2b 1.故a - 2b的取值范围是(一18,1).故答案为：(18, -1).由b的范围，利用不等式的性质可得-2b的范围，在结合a的范围，利用不等式的可加性得答案.此题考查简单的线性规划，考查不等式的性质，是基础题.11.【答案】2,8)第6页，共12页【解析】解：由4团2一36国+450化为(2团一3)(2团一15)0,
14、 解得I V X 弓，2 % 8.不等式4对2 一 36% +45 0,- 故正确，对于，当Q = -1，b = 2时: 满足b V a 0,但|a| + b = 1 0，1 0,得(a 一1一 g 一1=(a - b) +鬻=(a - 6)(1 +专) 0,故正确，对于，由b V a 。2,故)小 仇万2,故错误，综上，正确.故答案为：.求出b a0可得击+母=击+号(”2),设/=击+瞿( Z|u| D Z |u| Z uZ|a| Z a2),画出函数/(a)的图象，利用导数判断函数f(a)的单调性求出最小值，即可得 到答案.【解答】解：因为 a + b = 2 , b 0 ,所以第+丹=
15、嘉+粤(QV2),设4)2)，画出函数f(a)的图象，如下图，假设a 0 ,那么/(a)= 一5+看, 2a a-2rn.i p( c、 12(3a-2)(a+2)那么 /(Q)=kE= 2a2(j)2当 a V 2 时，f(a) 0 ,故函数/(a)在(-co,-2)上单调递减，在(-2,0)上单调递增, 故当q = 2时，翥+ ?取得最小值同理可得，假设0 VQ V2 ,当时， 击+ ?取得最小值1.321al b4综上所述：当。=2时，+片取得最小值. 2a b故答案为：一2 .14 .【答案】必要不充分【解析】解：当“aVb且cVd”时，a + c b + d,反之不成立;故a + c
16、b + d”是且c 0的解集为(L+8),i ba 0且一 =1, aax+b 、八 x+10 0a 0且一 =1, aax+b 、八 x+10 0ax+b 、八 x+10 0ax+b 、八 x+10 0X2X2. 0, a = b 0；Lx+l0x+l 0% 2 2或 。的解集为(_8,1) u (2,+8). xz故答案为：(, 1) U (2,4-00).依题意，可知。=匕。，从而可解不等式箸0的解集.此题考查分式不等式的解法，求得Q = 60是关键，考查分析、运算能力，属于中档题.16.【答案】q|q2【解析】解:假设集合8=-2,将一2代入集合B中，那么应满足4一4 +。-1 = 0
17、,解得。=1,那么8 = 0,-2,与假设矛盾，故a H 1；假设B =。,那么/V0,即4 = 4 4(a1) 2,满足条件的实数a组成的集合为a|a 2.故答案为：aa2.由题可知4 n B说明B c 4再根据题设条件能求出满足条件的实数a组成的集合.此题考查集合的求法，考查交集定义、一元二次方程的根的判别式等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题.17.【答案】证明：假设l+b l+a都不小于2,因为a 0, b 0,所以1 + b 2 2a, 1 + a 2b, l + l + a + 匕2 2 (a + b),这与a + b2相矛盾，故假设不成立.综上，詈甘中至少有一个小于2.【解析】此题考查不等式的证明，注意运用反证法证明，考查推理能力，属于中档题.由反证法证明，假设詈，管都不小于2,即詈之2,拶之2,去分母，结合不等式的性 质，可得22a + b,这与a + b 2相矛盾，即可得证.