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1、2023届高三数学数列高考大题的类型与解法2023届高三数学数列高考大题的类型与解法 数列问题也是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个数列问题的12 分大题或两到三个数列问题的 5 分小题。从题型上看是 17 或 18 题的 12 分大题或选择题（也可能是填空题）的5 分小题；难度为中，低档题型，一般的考生都会拿到 7 到 12 分；纵观近几年高考试卷，归结起来数列大题问题主要包括：等差数列与等比数列之间的综合，求基本数列（等差数列或等比数列）的前 n 项和；等差数列与等比数列之间的综合，运用裂项相消法求数列的前 n 项和；等差数列与等比数列之间的综合
2、，运用拆项求和法求数列的前 n 项和；等差数列与等比数列之间的综合，运用错项相减法求数列的前 n 项和；等差数列与等比数列之间的综合，求数列前 n 项和的最值等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答数列大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。【典例 1】解答下列问题：1、已知数列na为等差数列，数列nb是公比为 2 的等比数列，且2a-2b=3a-3b=4b-4a。（1）证明：1a=1b；（2）求集合k|kb=ma+1a，1m500中元素个数（2022 全国高考新高考 II 卷
3、）2、已知等差数列na满足 22a+5a=0，7a=24a-2。（1）求数列na的通项公式；（2）设nb=2na，求数列nb的前 n 项和（成都市 2019 级高三一诊）na+1，n 为奇数，3、已知数列na满足：1a=1，1na=na+2，n 为偶数。（1）记nb=2na，写出1b，2b，并求数列nb的通项公式；（2）求na的前 20 项和（2021 全国高考新高考 I）。4、（理）已知数列na的各项均为正数，记nS为na的前 n 项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立。数列na是等差数列；数列nS是等差数列；2a=31a。注：若选择不同组合分别解答，则按第一个解答计分。（文）记n
4、S为na的前 n 项和，已知na0，2a=31a，且数列nS是等差数列，证明：数列na是等差数列（2021全国高考甲卷）。5、（理）记nS为na的前 n 项和，nb为数列nS的前 n 项积，已知2nS+1nb=2。（1）证明：数列nb是等差数列；（2）求数列na的通项公式。（文）设na是首项为 1 的等比数列，数列nb满足：nb=3nna，已知1a，32a，93a成等差数列。（1）求数列na，nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为na，nb的前 n 项和，证明：nTna成立的 n 的最小值（2021 全国高考新高考 II 卷）。7、已知数列na中，1a=1，2a=3，2na+3na=41na
5、，bn=1na-na，nN。（1）求数列bn的通项公式；（2）记nc=3log（na+bn），数列nc的前 n 项和为nS，求nS（2021 成都市高三三诊）。8、设na是公比不为 1 的等比数列，1a为2a，3a的等差中项。（1）求na的公比；（2）若1a=1，求数列na的前 n 项和nS（2020 全国高考新课标 I 理）。9、已知公比大于 1 的等比数列na满足2a+4a=20，3a=8。（1）求数列na的通项公式；（2）记mb为na在区间（0，m（mN）中的项的个数，求数列mb的前 100 项和100S（2020 全国高考新高考 I）10、已知公比大于 1 的等比数列na满足2a+4a
6、=20，3a=8。（1）求数列na的通项公式；（2）求1a2a-2a3a+-+1(1)nna1na（2020 全国高考新高考 II）11、（文）记nS为等差数列 na的前 n 项和，已知9S=-5a。（1）若3a=4，求数列 na的通项公式；（2）若1a0，求使得nSna的 n 的取值范围（2019 全国高考新课标 I）12、（理）已知数列 na和 nb满足1a=1，1b=0，41na=3na-nb+4，41nb=3nb-na-4。（1）证明：na+nb是等比数列，na-nb是等差数列；（2）求数列 na和 nb的通项公式。（文）已知 na是各项均为正数的等比数列，1a=2，3a=22a+16
7、。（1）求数列 na的通项公式；（2）设nb=2logna，求数列 nb的前 n 项和（2019 全国高考新课标 II）思考问题思考问题 1 1 （1）【典例 1】是等差数列，等比数列之间的综合问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前 n 项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题；（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项1a和公差 d（或公比 q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题一般是求数列的前 n 项和，解答时应该分辨清楚数列是等差数列，还是等比数列，然后直接选用相应
8、的前 n 项和公式通过运算求出结果。【典例 2】解答下列问题：1、记nS为数列na的前 n 项和，已知1a=1，nnSa是公差为13的等差数列。（1）求数列na的通项公式；（2）证明：11a+21a+-+1na0，2na+2na=4nS+3。（1）求数列na的通项公式；（2）设nb=11nna a，求数列bn的前 n 项和。（文）已知等差数列na的前 n 项和nS满足：3S=0，5S=-5。（1）数列na的通项公式；（2）求数列21211nnaa的前 n 项和（2021 全国高考乙卷）。3、已知na是递增的等比列数，1a=1，且 22a，323a，4a成等差数列。（1）求数列na的通项公式；（
9、2）设nb=21221loglognnaa（nN），求数列bn的前 n 项和nS（2020 成都市高三二珍）4、已知等差数列na的前 n 项和为nS，且2a=2，11S=66.（1）求数列na的通项公式；（2）（理）若数列bn满足bn=11nna a，求证：1b+2b+-+bn1。（文）若数列bn满足bn=2na，求数列bn的前 n 项和nT（2017 成都市高三零珍）思考问题思考问题 2 2 （1）【典例 2】是等差数列，等比数列之间的综合与一般数列求和的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前 n 项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前 n 项和公
10、式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意一般数列的结构特征，选用恰当的求和方法求出结果；（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项1a和公差 d（或公比 q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是一般数列求和的问题，解答时注意数列通项是一个分式，分式的分子为常数，分母是几个连续整数的积这一结果特征，然后利用裂项相消法求出数列的前 n 项和。【典例 3】解答下列问题：1、（理）已知数列na满足：1a=-2，1na=2na+4.（1）证明数列na+4是等比数列；（2）求数列na的前 n 项和nS。（文）在等比数列na中，已知4a=81a，且1a，2a+1，3a成等
11、差数列。（1）求数列na的通项公式；（2）求数列|na-4|的前 n 项和nS（2017 成都市一珍）2、已知数列na的前 n 项和sn=22nn(nN)。（1）求数列na的通项公式；（2）设nb=2na+(1)nna，求数列nb的前 2n 项和nT。思考问题思考问题 3 3 （1）【典例 3】是等差数列，等比数列之间的综合与一般数列求和的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前 n 项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意一般数列的结构特征，选用恰当的求和方法求出结果；（2）第一小题一般是求通项公式的问
12、题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项1a和公差 d（或公比 q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是一般数列求和的问题，解答时注意数列通项是几项的和，各项分别组合构成一个基本数列（等差数列或等比数列）的特征，然后利用拆项求和法求出数列的前 n 项和。【典例 4】解答下列问题：1、(理）设数列na满足1a=3，1na=3na-4n。（1）计算2a，3a，猜想数列na的通项公式并加以证明；（2）求数列2nna的前 n 项和nS（文）设等比数列na满足1a+2a=4，3a-1a=8。（1）求数列na的通项公式；（2）记nS为数列3logna的前 n 项和，若mS+1mS=3mS，求 m（2
13、020 全国高考新课标 III）。2、已知等比数列na的前 n 项和为nS，公比 q1，且2a+1 为1a，3a的等差中项，3S=14。（1）求数列na的通项公式；(2)记bn=na.2logna，求数列bn的前 n 项和nT（2019 成都市高三二诊）思考问题思考问题 4 4 （1）【典例 4】是等差数列，等比数列之间的综合与一般数列求和的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前 n 项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意一般数列的结构特征，选用恰当的求和方法求出结果；（2）第一小题一般是求通项公式的
14、问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项1a和公差 d（或公比 q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是一般数列求和的问题，解答时注意数列通项是两个因式的积，其中一个因式分裂出来构成等差数列，另一个因式分裂出来构成等比数列的特征，然后利用错项相减法求出数列的前 n 项和。【典例 5】解答下列问题：1、记nS为数列na的前 n 项和，已知2nSn+n=2na+1。（1）证明：数列na是等差数列；（2）若4a，7a，9a成等比数列，求nS的最小值（2022 全国高考甲卷）2、设nS为等差数列na的前 n 项和，已知1a=-7，3S=-15。（1）求数列na的通项公式；（2）求nS，并求nS
15、的最小值（2018 全国高考新课标 II 卷（理）3、设 na是等差数列，1a=-10，2a+10，3a+8，4a+6 成等比数列。（1）求数列 na的通项公式；（2）记 na的前 n 项和为nS，求nS的最小值（2019 全国高考北京（文）思考问题思考问题 5 5 （1）【典例 5】是等差数列，等比数列之间的综合与求等差数列前 n 项和的最值问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前 n 项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数，运用求函数最值的基本方法就可求出结
16、果；（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项1a和公差 d（或公比 q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是求等差数列前 n 项和的最值问题，解答时注意等差数列前 n 项和是关于 n的二次函数，利用求函数最值的基本方法就可求出等差数列的前 n 项和的最值。数列高考大题的类型与解法数列高考大题的类型与解法 数列问题也是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个数列问题的12 分大题或两到三个数列问题的 5 分小题。从题型上看是 17 或 18 题的 12 分大题或选择题（也可能是填空题）的5 分小题；难度为中，低档题型，
17、一般的考生都会拿到 7 到 12 分；纵观近几年高考试卷，归结起来数列大题问题主要包括：等差数列与等比数列之间的综合，求基本数列（等差数列或等比数列）的前 n 项和；等差数列与等比数列之间的综合，运用裂项相消法求数列的前 n 项和；等差数列与等比数列之间的综合，运用拆项求和法求数列的前 n 项和；等差数列与等比数列之间的综合，运用错项相减法求数列的前 n 项和；等差数列与等比数列之间的综合，求数列前 n 项和的最值等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答数列大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细
18、解析来回答这个问题。【典例 1】解答下列问题：1、已知数列na为等差数列，数列nb是公比为 2 的等比数列，且2a-2b=3a-3b=4b-4a。（1）证明：1a=1b；（2）求集合k|kb=ma+1a，1m500中元素个数（2022 全国高考新高考 II 卷）【解析】【解析】【考点】【考点】等差数列定义与性质；等比数列定义与性质；等差数列通项公式及运用；等比数列通项公式及运用；表示集合的基本方法。【解题思路】【解题思路】（1）设等差数列na的首项为1a，公差为 d，等比数列nb首项为1b，根据等差数列和等比数列的性质，运用等差数列和等比数列的通项公式，结合问题条件得到关于1a，d，1b的方程
19、组，求解方程组求出1a，1b就可证明结论；（2）由（1）知1a=1b=2d，根据等差数列和等比数列的通项公式，结合问题条件得到 k 关于 m的表示式，由 m 的取值范围，求出 k 的取值范围，从而就可求出求集合k|kb=ma+1a，1m500中元素个数。【详细解答】【详细解答】（1）证明：设等差数列 na 的首项为1a，公差为 d，等比数列 nb 首项为1b，2a-2b=3a-3b=4b-4a，1a+d-21b=1a+2d-41b，d-21b=0，1a+2d-41b=81b-1a-3d，121b-21a-5d=0，联立得：21b-21a=0，1a=1b；（2）由（1）知1a=1b=2d，kb=
20、1b.12k=d.22k，ma+1a=2d+(m-1)d+2d=md，kb=ma+1a，d.22k=md，22k=m，1m500，122k500，0k-28，2k10，集合k|kb=ma+1a，1m500=2，3，4，5，6，7，8，9，10，集合k|kb=ma+1a，1m500中元素个数是 9 个。2、已知等差数列na满足 22a+5a=0，7a=24a-2。（1）求数列na的通项公式；（2）设nb=2na，求数列nb的前 n 项和（成都市 2019 级高三一诊）【解析】【解析】【考点】【考点】等差数列定义与性质；等差数列通项公式及运用；数列前 n 项和定义与性质；求数列前 n 项和的基本方
21、法。【解题思路】【解题思路】（1）根据等差数列的性质，运用等差数列通项公式得到关于等差数列na的首项，公差的方程组，求解方程组求出数列na的首项，公差的值就可得出数列na的通项公式；（2）根据数列前 n 项和的性质，运用求数列前 n 项和的基本方法就可求出数列nb的前 n 项和。【详细解答】【详细解答】（1）设等差数列na的首项为1a，公差为 d，22a+5a=0，7a=24a-2，31a+6d=0，1a+6d=21a+6d-2，联立解得：1a=2，d=-1，数列na的通项公式为na=2+（n-1）(-1)=-n+3；（2）nb=2na=32n=312n，数列nb的前 n 项和为nS=22+2
22、+1+12+212+-+312n=14(1)2112n=8（1-12n）=8-312n。na+1，n 为奇数，3、已知数列na满足：1a=1，1na=na+2，n 为偶数。（1）记nb=2na，写出1b，2b，并求数列nb的通项公式；（2）求na的前 20 项和（2021 全国高考新高考 I）。【解析】【解析】【考点】【考点】数列递推公式及运用；等差数列的定义与性质；等差数列通项公式及运用；等差数列前 n 项和公式及运用；判断一个数列是等差数列的基本方法。【解题思路】【解题思路】（1）根据数列递推公式，结合问题条件求出1b，2b，运用判断一个数列是等差数列的基本方法，判断数列nb为等差数列，利
23、用等差数列的通项公式就可求出数列nb的通项公式；（2）由（1）知求数列na的奇项数列和偶项数列都是以 3 为公差的等差数列，运用等差数列的前 n 项和公式就可求出na的前 20 项和。【详细解答】【详细解答】（1）1a=1，nb=2na，1b=2a=1a+1=1+1=2，2b=4a=3a+1=2a+2+1=2+2+1=5，1nb=22na=21na+1=2na+2+1=2na+3，nb=2na，1nb-nb=2na+3-2na=3，数列nb是以 2 为首项，3 为公差的等差数列，nb=2+3（n-1）=3n-1，即数列nb的通项公式为：nb=3n-1；（2）由（1）知数列na的奇项数列和偶项数
24、列都是以 3 为公差的等差数列，20S=101+10 923+102+10 923=30+1093=300，即数列na的前 20 项和为 300。4、（理）已知数列na的各项均为正数，记nS为na的前 n 项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立。数列na是等差数列；数列nS是等差数列；2a=31a。注：若选择不同组合分别解答，则按第一个解答计分。（文）记nS为na的前 n 项和，已知na0，2a=31a，且数列nS是等差数列，证明：数列na是等差数列（2021全国高考甲卷）。【解析】【解析】【考点】【考点】等差数列的定义与性质；等差数列通项公式及运用；等差数列前 n 项和公式及运用；
25、证明数列是等差数列的基本方法。【解题思路】【解题思路】（理）由题意，不妨选择为条件，证明成立，根据等差数列的性质和等差数列通项公式，结合问题条件得到关于等差数列na首项1a，公差 d 的等式，从而把首项1a表示为关于公差 d 的式子，运用等差数列前 n 项和公式得到nS关于公差 d 的式子，利用证明数列为等差数列的基本方法就可证明数列nS是等差数列。（文）根据等差数列的性质和等差数列通项公式，结合问题条件得到关于等差数列nS公差 d，1a的等式，从而把公差 d 表示为关于首项1a的式子，运用等差数列前 n 项和公式得到nS关于数列首项1a的式子，从而得到nS关于数列首项1a的式子，利用证明数列
26、为等差数列的基本方法就可证明数列na是等差数列。【详细解答】【详细解答】（理）设等差数列na的公差为 d，2a=1a+d，2a=31a，1a=2d，nS=n1a+(1)2n nd=(2n+22n-2n)d=22nd，数列na的各项均为正数，d0，nS=22nd=2n2d，当 n=1 时，1S=122d，当 n2 时，nS=2n2d，1nS=12n2d，nS-1nS=（2n-12n）2d=122d为常数，数列nS是以 122d为首项，122d为公差的等差数列。（文）证明：设等差数列nS的公差为 d，na0，2a=31a，1S=1a，2S=12aa=21a，d=2S-1S=21a-1a=1a，nS
27、=1a+（n-1）1a=n1a，nS=2n1a，当 n=1 时，1a=1S=1a，当 n2 时，na=nS-1nS=2n1a-2(1)n1a=（2n-2n+2n-1）1a=（2n-1）1a，1na=2（n-1）-1 1a=（2n-3）1a，na-1na=2n-1-(2n-3)1a=21a为常数，2a-1a=31a-1a=21a，数列na是以1a为首，21a为公差的等差数列。5、（理）记nS为na的前 n 项和，nb为数列nS的前 n 项积，已知2nS+1nb=2。（1）证明：数列nb是等差数列；（2）求数列na的通项公式。（文）设na是首项为 1 的等比数列，数列nb满足：nb=3nna，已知
28、1a，32a，93a成等差数列。（1）求数列na，nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为na，nb的前 n 项和，证明：nT2nS（2021 全国高考乙卷）。【解析】【解析】【考点】【考点】等差数列的定义与性质；判断一个数列是等差数列的基本方法；数列通项与前 n 项和之间的关系；等比数列的定义与性质；等差中项的定义与性质；等比数列通项公式及运用；等比数列前 n 项和公式及运用；裂项相消法求数列前 n 项和的基本方法。【解题思路】【解题思路】（理）（1）根据判断一个数列是等差数列的基本方法，结合问题条件就可证明数列nb是等差数列；（2）根据数列通项与前 n 项和之间的关系，运用（1）的结论就可
29、求出数列na的通项公式。（文）根据等比数列通项公式和等差中项的性质，结合问题条件得到关于等比数列na公比的方程，求解方程求出公比的值就可求出数列na，nb的通项公式；（2）根据等比数列前 n 项和公式与裂项相消法求数列前 n 项和的基本方法分别求出数列na，nb的前 n 项和nS与nT就可证明结论。【详细解答】【详细解答】（理）（1）证明：当 n2 时，1nnbb=nS，2nS+1nb=2，12nnbb+1nb=2，2（nb-1nb）=1，nb-1nb=12，当 n=1 时，12S+11b=2，13b=2，1b=32，数列nb是以32为首项，12为公差的等差数列；（2）由（1）得：nb=32+
30、12（n-1）=22n，2nS+1nb=2，2nS+22n=2，2nS=2(1)2nn，nS=21nn，当 n=1 时，1a=1S=32，当 n2 时，na=nS-1nS=21nn-1nn=-1(1)n n，当 n=1 时，1a=-1232，数列na的通项公式为：na=32，n=1，-1(1)n n，n2。（文）设等比数列na的公比为 q，数列na首项为 1，1a，32a，93a成等差数列，6q=1+92q，2(31)q=0，q=13，na=11()3n，nb=3nna=n1()3n，数列na，nb的通项公式分别为：na=11()3n，nb=n1()3n；（2）nS=113113n=32-11
31、2 3n，nT=13+2213+3313+-+（n-1）113n+n13n，13nT=213+2313+3413+-+（n-1）13n+n 113n，-得：23nT=13+213+313+-+13n-n 113n=11(1)33113n-n 113n=12-12 3n-n 113n=12-（12+3n）13n，nT=34-（34+2n）13n，nT-2nS=34-（34+2n）13n-34+14113n=（34-34-2n）13n=-2n13n0，nTna成立的 n 的最小值（2021 全国高考新高考 II 卷）。【解析】【解析】【考点】【考点】等差数列的定义与性质；等差数列通项公式及运用；等
32、差数列前 n 项和公式及运用。【解题思路】【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式与前 n 项和公式，结合问题条件得到关于等差数列na首项，公差的方程组，求解方程组求出等差数列na首项，公差的值就可求出数列na的通项公式na；（2）由（1）得到等差数列na的通项公式与前 n 项和公式，从而得到关于 n 的不等式，求解不等式就可求出使nSna成立的 n 的最 小值。【详细解答】【详细解答】（1）设等差数列na的首项为1a，公比为 q，3a=3S，2a.4a=4S，1a+2d=31a+3d，（1a+d）（1a+3d）=41a+6d，联立解得：1a=0，d=0 或1a=-85，d=165，d0，1a
33、=-85，d=165，na=-85+165（n-1）=165n-245，数列na的通项公式na=165n-245；（2）由（1）得：nS=-85n+(1)2n n165=852n-165n，nSna，852n-165n165n-245，2n-4n+30，n3，nN，n3，即使nSna成立的 n 的最小值为 4。7、已知数列na中，1a=1，2a=3，2na+3na=41na，bn=1na-na，nN。（1）求数列bn的通项公式；（2）记nc=3log（na+bn），数列nc的前 n 项和为nS，求nS（2021 成都市高三三诊）。【解析】【解析】【考点】【考点】等比数列的定义与性质；判断一个数
34、列是等比数列的基本方法；等比数列通项公式及运用；对数的定义与性质；等差数列前 n 项和公式及运用。【解题思路】【解题思路】（1）根据等比数列的性质和判断一个数列是等比数列的基本方法，结合问题条件得到数列bn是等比数列，运用等比数列的通项公式就可求出数列bn的通项公式；（2）根据（1）求出1na关于 n 的式子，从而得到1na=na+bn，运用对数的性质得到数列nc的通项公式，运用等差数列的前 n 项和公式就可求出20S的值。【详细解答】【详细解答】（1）2na+3na=41na，bn=1na-na，2na-1na=3（1na-na），1nb=3bn，1nnbb=3，1a=1，2a=3，1b=2
35、a-1a=3-1=2，数列bn是以 2 为首项，3 为公比的等比数列，数列bn的通项公式为：bn=213n；（2）1na=（1na-na）+（na-1na）+-+（3a-2a）+（2a-1a）+1a=bn+1nb+-+2b+1b+1a=2(1 3)1 3n+1=3n，bn=1na-na，1na=na+bn，nc=3log（na+bn）=3log1na=3log3n=n，nS=1c+2c+-+nc=1+2+-+（n-1）+n=(1)2nn，即20S=20(120)2=210。8、设na是公比不为 1 的等比数列，1a为2a，3a的等差中项。（1）求na的公比；（2）若1a=1，求数列na的前 n
36、 项和nS（2020 全国高考新课标 I 理）。【解析】【解析】【考点】【考点】等比数列的定义与性质；等差中项的定义与性质；等比数列通项公式的定义与性质；等比数列前n 项和的定义，公式与求法。【解题思路】【解题思路】（1）运用等比数列通项公式和等差中项的性质得到关于公比 q 的方程，求解方程就可求出等比数列na的公比；（2）根据等比数列前 n 项和公式通过运算就可得出等比数列na的前 n 项和。【详细解答】【详细解答】（1）设等比数列na的公比为 q，2a=1aq，3a=1a2q，1a为2a，3a的等差中项，21a=1aq+1a2q，2q+q-2=0，q=1 或 q=-2，q1，q=-2；（2
37、）1a=1，q=-2，nS=11(2)1(2)n =13-13(2)n。9、已知公比大于 1 的等比数列na满足2a+4a=20，3a=8。（1）求数列na的通项公式；（2）记mb为na在区间（0，m（mN）中的项的个数，求数列mb的前 100 项和100S（2020 全国高考新高考 I）【解析】【解析】【考点】【考点】等比数列的定义与性质；等比数列通项公式的定义与求法；等比数列前 n 项和的定义，公式与求法；任意数列前 n 项和的定义与求法。【解题思路】【解题思路】（1）运用等比数列通项公式得到关于首项1a，公比 q 的方程组，求解方程组就可求出首项1a，公比q 的值，从而得出等比数列na的
38、通项公式；（2）根据题意确定出数列mb各项的值，利用任意数列前 n 项和的定义与求法就可求出数列mb的前 100 项的和。【详细解答】【详细解答】（1）设等比数列 na 的首项为1a，公比为 q，2a=1aq，3a=1a2q，4a=1a3q，20，2a+4a=3a=8，1aq+1a3q=20，1a2q=8，联立解得：q=2，1a=2，或1a=32，q=12，q1，q=2，1a=2，na=212n=2n；（2）11a=22，22a=22=44，43a=32=88，104a=42=1616，305a=52=3232，60100，1b=0，2b=3b=1，4b=5b=6b=7b=2，8b=9b=-=
39、15b=3，16b=17b=-=31b=4，32b=33b=-=63b=5，64b=65b=-100b=6，100S=0+12+24+38+416+532+637=0+2+8+24+64+160+236=484。10、已知公比大于 1 的等比数列na满足2a+4a=20，3a=8。（1）求数列na的通项公式；（2）求1a2a-2a3a+-+1(1)nna1na（2020 全国高考新高考 II）【解析】【解析】【考点】【考点】等比数列的定义与性质；等比数列通项公式的定义与求法；对数的定义与性质；等比数列前 n项和公式定义与运用；错项相减求数列前 n 项和的基本方法。【解题思路】【解题思路】（1）
40、运用等比数列的性质，求等比数列通项公式的基本方法，结合问题条件求出等比数列首项1a和公比 q 的值，从而得到等比数列的通项公式；（2）根据（1）得到1(1)nna1na=1(1)n2n.12n=1(1)n2n+12，从而知道1a2a-2a3a+-+1(1)nna 1na中奇次项为正，偶次项为负，将奇次项组合在一起得到一个等比数列，偶次项组合在一起也得到一个等比数列，利用等比数列前 n 项和公式分别求出两个等比数列的和再相加就可求出1a2a-2a3a+-+1(1)nna1na，这里需要注意项数为奇数和偶数两种情况的不同结果。【详细解答】【详细解答】（1）设等比数列的首项为1a，公比为 q，2a+
41、4a=1aq（1+2q）=20，3a=1a2q=8，1a=32，q=12，或1a=2，q=2，q1，1a=2，q=2，na=2n-12=2n；（2）1(1)nna1na=1(1)n2n.12n=1(1)n2n+12，1a2a-2a3a+-+1(1)nna1na=32-52+72-92+-+1(1)n2n+12=（32+72+-）-（52+92+-），当n为 奇 数 时，1a2a-2a3a+-+1(1)nna1na=132221(2)1 4n+2n+12-152221(2)1 4n=-83+1322n+2n+12+323-1342n=8+1322n（1-4）+2n+12=8-22n+2n+12；
42、当n为偶数时，1a2a-2a3a+-+1(1)nna1na=32221(2)14n-52221(2)14n=-83+1332n+323-1352n=8+1332n（1-4）=8-32n。11、（文）记nS为等差数列 na的前 n 项和，已知9S=-5a。（1）若3a=4，求数列 na的通项公式；（2）若1a0，求使得nSna的 n 的取值范围（2019 全国高考新课标 I）【解析】【解析】【考点】【考点】等差数列的定义；等差数列前 n 项和的定义与公式；等差数列通项的定义与公式；不等式的解法；【解题思路】【解题思路】（1）求数列na的通项公式na求出数列na的首项1a和公差 d，问题条件：1a
43、+4d=0，9S=91a+36d=-(1a+4d)，1a+2d=4，3a=1a+2d=4；（2）9S=91a+36d=-(1a+4d)，1a+4d=0，1a=-4d，1a0，d0，d0，nS=n1a+(1)2n nd=12d2n-92dn，na=1a+（n-1）d=nd-5d，nSna 12d2n-92dn nd-5d，2n-11n+100，1n10，当nSna时，n 的取值范围是1，10。12、（理）已知数列 na和 nb满足1a=1，1b=0，41na=3na-nb+4，41nb=3nb-na-4。（1）证明：na+nb是等比数列，na-nb是等差数列；（2）求数列 na和 nb的通项公式
44、。（文）已知 na是各项均为正数的等比数列，1a=2，3a=22a+16。（1）求数列 na的通项公式；（2）设nb=2logna，求数列 nb的前 n 项和（2019 全国高考新课标 II）【解析】【解析】【考点】【考点】数列的定义；数列通项公式的定义；证明数列为等比数列，等差数 列的基本方法；等差数列前 n 项和的定义与公式；对数的运算性质；【解题思路】【解题思路】（理）（1）证明数列 na+nb是等比数列，11nnnnabab=常数；证明数列 na-nb是等差数列，（1na-1nb）-（na-nb）=常数；问题条件：1a=1，1b=0，41na=3na-nb+4，41nb=3nb-na-
45、4，1a+1b=1+0=1，1a-1b=1-0=1，4（1na+1nb）=2（na+nb），4（1na-1nb）=4（na-nb）+8，11nnnnabab=12，（1na-1nb）-（na-nb）=2；（2）由（1）得：na+nb=n-112（），na=n12（）+n-12，na-nb=1+（n-1）2=2n-1，nb=n12（）-n+12。（文）（1）求数列na的通项公式na求出数列na的首项1a和公差 d，问题条件：1a=2，1a=2，2q-2q-8=0 3a=22q=22a+16=4q+16；（2）由（1）可得bn=.2logna=2log2n-12=2n-1，求出nT。【详细解答】【
46、详细解答】（理）（1）41na=3na-nb+4，41nb=3nb-na-4，4（1na+1nb）=2（na+nb），4（1na-1nb）=4（na-nb）+8，11nnnnabab=12，（1na-1nb）-（na-nb）=2；1a=1，1b=0，1a+1b=1+0=1，1a-1b=1-0=1，数列 na+nb是以 1 为首项，12为公比的等比数列，数列 na-nb是以 1 为首项，2 为公差的等差数列；（2）由（1）得：na+nb=n-112（），na=n12（）+n-12，na-nb=1+（n-1）2=2n-1，nb=n12（）-n+12。（文）（1）1a=2，1a=2，q=-2 或 q
47、=4，数列 na 3a=22q=22a+16=4q+16；2q-2q-8=0，各项均为正数，q=4，na=2n-14=2n-12；（2）由（1）可得bn=.2logna=2log2n-12=2n-1，nT=1b+2b+-+nb=1+3+-+2n-1=(121)2nn=2n。思考问题思考问题 1 1 （1）【典例 1】是等差数列，等比数列之间的综合问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前 n 项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题；（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项1a和
48、公差 d（或公比 q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题一般是求数列的前 n 项和，解答时应该分辨清楚数列是等差数列，还是等比数列，然后直接选用相应的前 n 项和公式通过运算求出结果。【典例 2】解答下列问题：1、记nS为数列na的前 n 项和，已知1a=1，nnSa是公差为13的等差数列。（1）求数列na的通项公式；（2）证明：11a+21a+-+1na2（2022 全国高考新高考 I 卷）【解析】【解析】【考点】【考点】等差数列定义与性质；等差数列通项公式及运用；等差数列前 N 项和公式及运用；数列前 N 项和公式与通项公式之间的关系及运用；裂项相消求数列前 n 项和的基本方法。【解
49、题思路】【解题思路】（1）根据等差数列的性质，结合问题条件得到nS与na之间的关系式，求出1a，从而得到关于na，1na的等式，运用判断一个数列是等差数列的基本方法判断数列na是等差数列，利用等差数列的通项公式就可求出数列na的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前 n 项和的基本方法就可求出数列bn的前 n 项和。（文）（1）设等差数列na的首项为1a，公差为 d，根据等差数列前 n 项和公式，结合问题条件得到关于等差数列na的首项为1a，公差为 d 的方程组，求解方程组求出等差数列na的首项为1a，公差为 d 的值就可求出数列na的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前 n 项和的基本方法就可
50、求出数列21211nnaa的前 n 项和。【详细解答】【详细解答】（1）1a=1，1S=1a=1，11Sa=1，nnSa是公差为13的等差数列，nnSa=1+13（n-1）=13n+23，nS=（13n+23）na，1nS=（13n+13）1na（n2），nS-1nS=na=13n（na-1na）+23na-131na，13（n-1）na-13（n+1）1na=0，1nnaa=11nn，12nnaa=2nn，-，43aa=53，32aa=42，2naa=(1)6n n，22Sa=1+13=43，3（1a+2a）=42a，2a=31a=3，na=(1)2n n（n2），当 n=1 时，1a=1(