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1、湖南省三湘创新发展联合湖南省三湘创新发展联合 2022-2023 学年高三上学期起点调研考试数学试题学年高三上学期起点调研考试数学试题?高三数学?参考答案?第?页?共?页?高三数学考试参考答案?解析?本题考查集合的运算?考查逻辑推理的核心素养?图中阴影部分表示的集合为?解析?本题考查复数的四则运算?考查运算求解能力?由?槡?槡?槡?槡?知?槡?解析?本题考查平面向量的数量积公式?考查运算求解能力?由?得?则?解析?本题考查截面问题?考查空间想象能力?如图?分别取?的中点?连接?由正方体性质知?所以?平面?且?又?交于同一点?所以?平面?所以点?确定的平面?为六边形?则六边形?为容器中水的上表面
2、的形状?解析?本题考查不等式的应用?考查逻辑推理的核心素养?根据一元二次不等式的解集与系数的关系可得?和?是方程?的两根且?即?故?当且仅当?时?等号成立?解析?本题考查对数的计算?考查数学建模的核心素养?由题意可得?则在信道容量未增加时?信道容量为?当信道容量增加到原来的?倍时?则?即?解得?则平均信号功率需要增加到原来的?倍?解析?本题考查排列组合的应用?考查逻辑推理的核心素养?丙在正中间?号位?甲?乙两人只能坐?或?号位?有?种情况?考虑到甲?乙的顺序有?种情况?剩下的?个位置其余?人坐?有?种情况?故不同的坐法的种数为?解析?本题考查导数的几何意义?考查数形结合的数学思想?设直线?与?
3、的图象相切于点?与?的图象相切于点?又?所以?由点?在切线上?得切线方程为?由点?在切线上?得切线方程为?故?解得?故?解析?本题考查椭圆的标准方程以及充分条件?考查逻辑推理的核心素养?若方程?表示椭圆?则?解得?或?故选?解析?本题考查三角函数的图象?考查数形结合的数学思想以及运算求解能力?从图象可以看出?因为?所以?解得?将点?代入解析式?得?其中?解得?所以?易得?因为?且?所以函数?的最小值为?故选?高三数学?参考答案?第?页?共?页?解析?本题考查正四棱台的空间结构?考查空间想象能力?由题可知?槡?槡?所以正四棱台的高?槡槡?槡?槡?正四棱台的斜高?槡?槡?所以正四棱台的侧面积为?槡
4、槡?上?下底面的面积分别为?即正四棱台的表面积?槡槡?正四棱台的体积?槡?槡?槡?设该棱台外接球的球心为?半径为?点?到上底面的距离为?所以?槡?槡?槡?解得?槡?所以该棱台外接球的表面积为?故选?解析?本题考查概率以及数列的应用?考查逻辑推理的核心素养?由题可知?被?整除的余数有?种情况?分别为?所以?则?所以?即?故?故选?解析?本题考查三角恒等变换?考查运算求解能力?由?可得?故?解析?本题考查抛物线与圆的方程?考查数形结合的数学思想?因为圆?的圆心为?半径?槡?抛物线?的准线为?所以?槡?解得?答案不唯一?也可写?解析?本题考查函数的性质?考查逻辑推理的核心素养?由题可知先找出一个偶函
5、数?且有三个零点?例如?再将?的图象向右平移?个单位长度?得到?的图象?槡?解析?本题考查动点的轨迹?考查数形结合的数学思想以及运算求解能力?设?则?的轨迹方程为?槡?令?得曲线?与?交于?槡?槡?令?得曲线?与?交于?因为?槡?所以?槡槡?槡?解?槡?所以?槡?分因为交易额?与?的相关系数近似为?说明交易额?与?具有很强的正线性相关?从而可用线性回归模型拟合交易额?与?的关系?分?因为?所以?分?分?高三数学?参考答案?第?页?共?页?所以?关于?的回归方程为?分将?代入回归方程得?千万元?亿元?所以预测下一周的第一天的交易额为?亿元?分评分细则?第?问正确算出相关系数得?分?说明理由累计得
6、?分?第?问中正确写出?关于?的回归方程给?分?解?由?槡?得?槡?即?槡?分?槡?分?且?边上的高为?分?为锐角?槡?分?槡槡?分评分细则?第?问正确算出?得?分?第?问共?分?算出?得?分?算出?的值各得?分?正确算出?的值得?分?其他方法按步骤得分?证明?因为平面?平面?且平面?平面?所以?平面?分又?平面?所以?分在四边形?中?作?于?于?因为?所以四边形?为等腰梯形?则?所以?槡?槡?槡?所以?所以?分又?所以?平面?分又因为?平面?所以?分?解?如图?以点?为原点?建立空间直角坐标系?槡?则?槡?槡?槡?则?槡?槡?槡?槡?槡?分设平面?的法向量?则?槡?槡?槡?可取?槡?分设平面
7、?的法向量?则?槡?槡?可取?槡?分则?槡?槡?所以平面?与平面?夹角的余弦值为槡?分评分细则?高三数学?参考答案?第?页?共?页?第?问共?分?证出?得?分?证出?得?分?证出?平面?得?分?证出?得?分?第?问共?分?建立空间直角坐标系?并正确写出坐标得?分?写出平面?的法向量与平面?的法向量各得?分?其他方法按步骤给分?解?由题意得?则?分所以数列?为等差数列?分又?所以?即数列?的公差为?分所以?即?分?证明?由已知得?分所以?分评分细则?第?问说明?为等差数列得?分?正确写出数列?的通项公式累计得?分?猜想出?的通项公式但未证明不得分?第?问共?分?正确算出?的前?项和得?分?证明?
8、得?分?解?双曲线?的渐近线方程为?所以?槡?又焦点?到直线?槡?的距离?槡?槡?槡?所以?槡?分又?所以?分所以双曲线?的标准方程为?分?证明?联立方程组?消去?并整理得?设?则?分设?则得直线?的方程为?直线?的方程为?分两个方程相减得?分因为?把上式代入?得?分所以?高三数学?参考答案?第?页?共?页?因此直线?与?的交点在直线?上?分评分细则?第?问共?分?正确算出?的值得?分?正确算出?和?的值各得?分?正确写出?的方程得?分?第?问中共?分?正确联立方程得?分?根据韦达定理写出相应表达式得?分?写出直线?的方程得?分?其他方法按步骤给分?解?分?若?当?时?当?时?所以?在?上单调递减?在?上单调递增?分?若?由?得?或?由?得?所以?在?上单调递增?在?上单调递减?分?若?恒成立?所以?在?上单调递增?分?若?由?得?或?由?得?所以?在?上单调递增?在?上单调递减?分?证明?分?当?时?恒成立?不可能有两个极值点?分?当?时?由?得两个根?因为?且?所以两根?均为正数?故?有两个极值点?不妨设?由?知?分?等价于?即?分令?所以?在?上单调递减?又?所以当?时?故?成立?分评分细则?第?问中?求导正确得?分?每种分类讨论各得?分?第?问中?未将?分为?和?两种情况不扣分?但是未说明?扣?分?其他方法按步骤给分?