量子力学第七章自旋.docx

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1、第七章自旋与角动量7. 1电子的自旋许多实验事实都证明电了具有自旋。下面表达的斯特恩革拉赫(Stern-Gertach)实验就是其中 的一个,实验示意图如下:在上图中,K为基态氢原子源,氢原子自K射受狭缝BB的控制而成为扁平细束,然后通过不 均匀磁场而射到照相底片PP上,实验结果是照相底片上出现两条分列的线。这说明了两个问题:(a) 氢原子具有磁矩。由于实验中的氢原子处于基态(IS态),角量子数0=0,即轨道角动量为零。而由 第二章习题15可知,轨道磁矩为:所以轨道磁矩也为零;同时原子核(质子)的固有磁矩应很小,所以氢原子中的电子具有固 有 磁矩,即自旋磁矩。(6)电子的自旋矩在磁场中只有两种

2、取向,也就是说是空间取向量子化的。如果没电子的自旋磁矩为,处磁场同子轴正方向,那么基态氢在处磁场中的势能为:风基态氢原子在沿子轴方向所受的力为:=cos 64药如果而、.可取任何方向,那么cos 0应当可能从+1到-1到连续变化,在照相底片上应该得到一条 连续的带,但实验结果只有两条分立的线,时京应于cosO=+l和-1,可见向$的空间取向是量子化 的。应用分辨率较高的分光镜或摄谱仪可以观察到钠原子光谱中2P-1S的谱线是由两条靠得很近W(x, y, z,t)=-6=|J +12/=叱+吗M(x,y,zj)=|R|2一(x, y,z,o=| p Q4 , E E (7.5-1)其中Q为粒子所带

3、的电荷。A。为电磁场的标势,,为电磁场的矢势。上式称为最小电磁作用 原理,也称为最小电磁合原理参看:曹昌琪,电动力学,6.8。电场强度下和磁感应强度后与 Ao和么之间的关系为:E = -VA- “ 2t(7.5-2)B = VxA在量子力学中,设粒子的波函数为(厂,。,是最小电磁作用原理化为:hh 二一(二 V QA)22访五-(汾五-Q4)上式中的第一式可改写为:一((7.5-3)(7.5-4)(7.5-5)上式取转置共扰得:2、在薛定谤方程中引进自旋算符在前面几章中,从薛定印方程出发成功地解释了许多微观现象,但由于薛定诺方程中没有把粒 子的自旋包含进去,所以不能解弃与粒子自旋有关的现象,因

4、此有必要在薛定谭方程中引进自旋算 符。设带电荷为Q质量为u的粒子在势场U (r, t)中运动,那么薛定调方程为:(7.5-6)上- + U0) =金2m将此体系置于电磁场中,根据最小电磁作用原理(7.5-3)式得:/o五(7-两所叼中(7.5-7)由于薛定谭方程没有把粒子的自旋包含进去,所以上方程只适用于自旋为零的粒子或者只适用 于不考虑自旋的情况。对于电子,Q=-e。由(7.1-3)式可知,电子具有自旋磁矩在 Vx,中应具有势能Ub,aeh =(7(7.5-8)Ms2A a eh Ub=B = oBMs 2在(7.5-7)式中加入势能算符U/,得:(7.5-9)上方程称为泡利方程。由于。为二

5、行二列的矩阵,所以上式中括号内的前三项应视为都含有二 行二列的单位矩阵因子,应为具有两个元素的列矩阵。显然在上式中已引进了自旋算符。这种在 薛定谤方程的势能算符中引进自旋算符的方法(例如引进自旋轨道稻合项等)是一种常用的方法。 但对于带电粒子在电磁场中的运动,这种引进自旋算符的方法并不理想,这是因为:最小电磁作用 原理己基于上被公认为是一种普适性原理,既然是看法性原理,那么势能Ds应该在应用最小电磁作 用原理时自动出现。注意到(7.3-9)式可得:AAAA A一 一一 一 一 一A A(b p) = (a- P)(b p) = (TOj Pi Pj= j+iEijkb)PiPj上式中,石川对角

6、标ij是反对称的,即耳二-鸟次;而对角标ij是对称的,即P, P)= Pj Pi,所以 Ejj J% Pj=O,那么得: a _ 3 _ 3 :2(T- py -(CT- p)(T- p) = p(7.5-10)那么(7.5-6)式可改写为:A八(7.5-11)(7.5-11)(Sp)2+t/O = E 2上式相当于在薛定港方程的动能算符中引进了自旋算符,上式中的也应为具有两个元素的列 矩阵。对于电子,在加入电磁场之后,应用最小电磁作用原理得:(7.5-12)广 (土 + eA)f -+ U 1二/工 2 i2tIIz ob.(_ v 十=+ iEijkak)(- + eA,)( +II ZX

7、jI zx.= (-V + eA)2 + ehak Eijk( Aj + Ai)i2xi 2%2222A.2而弓 Eijk( & + Ai) = ak Eijk Aj + (/)+ A 12七2Xj2%2xf2xj2Ai =(jk Eijk(-) = cf(VxA) = cfB2xi那么(7.5-12)式化为(7.5-9)式。可见在(7.5-12)式能自动出现势能Us项。根据(7.5-11) 式求得速度算符/见(3.5-3)式和连续性方程为:(7.5-13)* = 0dtW =+ /?j =+() 24(7.5-14)在加入电磁场之后,根据最小电磁作用原理可得:/A四(7.5-15)2vv -

8、L二W =(D+R-+辿)2h(7.5-16)对于电子,上两式中的Q=e。上两式也可根据(7.5-9)式直接推出,其推导从略。3、简单塞曼(Zeeman)效应简单塞曼效应是指原子光谱线在较强的均匀外磁场中所产生的谱线分裂现象,而生杂塞曼效应 那么是原子光谱线在较弱的均匀外磁场中所产生的谱给分裂现象,下面只讨论简单塞曼效应。考虑氢 原子或类氢原子(碱金属原子),这类原子可视为由一个价电子与一个原子实构成。由于原子核的质 量比甩子的质量大得多,所以在质心坐标系中可近似地将原子核视为位于质心位置,那么只要考虑价电子在一固定势场中运动即可。原子实中各电子的自旋角动量之和和轨道动量之和都可视为零,那么

9、未加入外磁场时,价电子的势能可写为下述三项之和:(1)价电子的电荷与原子实的电荷相互作用的电势能U (r)o对于氢原子,U (r)为点电荷之 间的库仑势能。对于其他类氢原子,U (r)也近似地为有心力场,但由于原子实中电子的几率分布 总有一局部处在价电子位置的半径之外,使得U (r)不能表示为点电荷之间库仑势能的形式。(2)价电子的自旋磁矩二二四二与价电子的轨道磁矩二二空的相互作用能力“。M $ m SM,24 LA-AA 位于一处,而一可视为位于质心处。U/.s可表示为: 以M,UlsMo A-4n7gM(7.5-17)其中,。为真空中的磁导率,光速C = -J=, g =g, q为半径为r

10、的球内的电荷总量。 IEM e时于氢原子,q=I o对于类氢离子,q=Zo对于类氢原子(包括氢原子),注意至k一(7) = _成也&2 = (e)后,而根据高斯(Gauss)定理得:q = 47vr2E0E,那么得: dr?.11 dU(r) a a(7.5-18)U ls = ;-r2/rC2 r dr L S6人称为自旋轨道耦合项。当讨论原子光谱的精细结构以及讨论复杂塞曼效应时应考虑 项。对于简单塞曼效应,方人与较强外磁场所引起的附加能量比拟也可以忽略不计。(3)价电子的自旋磁柜和轨道磁矩与原子核磁矩的相互作用能Dn项。通常电子可视为点电荷, 而原子核只能近似地视为点电荷,当考虑原子核中的

11、电荷分布时,对原子光谱的超精细结构也有影 响。在上述三项中,当讨论简单塞曼效应时,只要考虑U (r) 一项即可。对于沿z轴正方向的均匀 磁场百二 bK,可选取:= By,= B.k, A = 0 , Ao=0(7.5-19)2 -2_在(7.5-9)式中,当U=U (r)时,得定态薛定谤方程为:7,6-10)JMiJ2m2基组| /犯,2?2中的每一个基矢也都可以对基组 / A力九展开,注意到上式得:I 3叫叫=Si力/遂2力川/班/2m2jl jm=/ C, tn = mA + i,(7.6-11);I Ji J2-I jj?j喻在j、,j2,m确定后的完备性条件为:jjjmYJgmk 1(

12、7.6-12)j当 八人,7确定后,基组|川2?2的正交归一条件为:,叫+如二m叫人网I/叫人吗=。吗叫W,工; 叫叫 叫+叫=m 的谱线组成的;其他原子光谱中也存在双重线或多重线结构,这种结构称为光谱线的精细结构,只有 考虑了电子的自旋,光谱线的精细结构才能得到解释。乌伦贝克(Uhlcnbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)为了解释上述现象,在1925年提出了卜.面的假 设:(1)每个电子具有旋角动量S,它在任何方向(z轴)上的投影只能取两个值:S. =+-(7.1-2)22(2)每个电子具有自旋磁矩冰,它和S的关系是:Ms= S(7.1-3)m其中-e为电子的电荷,m为电子的质量。MS

13、在任何方向(z轴)上的投影只能取两个值:ehMsz =;1Mr(7.1-4)2m其中MB为玻尔磁子。根据上述假设,电子的自旋磁矩与自旋角动量之比即电子自旋的回转磁比率为:Msz e= 17.1-5)Sz in在(7.1/)式中,为电子相对于原子核运动的轨道角动量,u为折合质量。但M4m所以由(7.1-1)式得到电子轨道运动的回转磁比率为:(7.1-6)Lz 2m可见电了 的自旋回转磁比率等于电子轨道运动回转磁比率的两倍。7.2角动量在上一节中已看到,电子具有自旋角动量而且空间取向是量子化的。对于轨道角动量,设Zz的 本征值为 ?/7, ?不能连续变化,所以轨道角动量的空间取向也是量子化的。除电

14、子外,其他粒 子也可能具有自旋角动量。粒子的自旋角动量也是一个力学量,在量子力学中应该象其他力学量一AAAA样也用一个算符来表示,设以片表示。我们希望将轨道角动量算符Z推广为一般角动量算符7,使了 AAA A A既能代表E,也能代表M。轨道角动量算符最初是根据Z = :x1来定义的,但自旋角动量算符不可在上式中插入完备性条件(7.6-12)式得:为/叫/叫| /加)。J 加|加?工况)(7.6-13)(7.6-13)一 m + m2 = mn + in; = m同理,当ji,j2与m确定后,基组I/?。的正交归一条件为:/力 H/J/时二%在.上式中插入完备性条件(7.69)式得:X)/加 I

15、1 加=%(7.6-14)附 町+吗=ni(7.6-13)式与(.6-14)式反映了 C-G系数的正交归一性。如果只有,是确定的,那么C Jm 可视为(2ji+l)阶正交矩阵(实系正矩阵)C的第jm行第gm?列矩阵元,。一1=。, /町上吗c的各行及各列都满足正交归一条件。C-G系数的表示式的推导比拟复杂参看:Morton Hamermesh,“群论及其在物理问题中的应用”, 第九章,只将结果写出如下:泗 j2s2 I ZJ2K2J + 1)K2J + 1)(2m2)!(j + j25(f 2+) + D!2(Jt + 班)!(/ 一皿)!(J2 + 吗)!(,2 一 )!(/ + ,)!(

16、一 ?)+,2 二/一 口)! 一叫一 v)KA +w2-v)!(j-./2 + 叫 + u)!(/一,- fn2 + y)! v V!(7.6-15)在上工中的求和号内,整数V的取值只限于使求和项内所有阶乘符号里的数不为负数。上式只 有在加二肛+心以及/,人,/满足三角形关系时,C-G系数才不为零。根据上式可推知C-G系数的对称性质,例如:jm. . jmC=(1 尸+力一。(7.6-16)1犯,2 吗由(7.6-7)式可知,求C-G系数后,便可根据基组班上加。求出工,人,J , 的共同 本征态I/力&。例如:当人=;时一可取K+;和,一两个值;由机二叫+吗可知,mi可 取机一1和? + !

17、两个值,利用(7.6-15)式求出C-G系数后再代入(7.6-7)式得:22.1 . 1 、 加=.1 . 1 、 加=.1 2/+11 (7.6-17)(7.6-17)+ % , . 1 1 -不:1“+交,-2(,1 11人一m十1 1 1|71,r. 1力+6+ 2,+1. 1力+6+ 2,+1.1 1 h1/,加 + 一5八1A如果人为电子的自旋角动量(,2 =5,及2 =4),为电子的轨道角动量(,=/,町=机2), 那么在,:与4的共同表象中,I jjQ化为L X” I jj2jm)以场,表示(角标上=;省去不写), 那么(7.6-17)式化为:f 122/ + 1. I )/一

18、7 + 一 22/ + 1/), (9,SJ = -), (9,SJ = -. 1I -m + 22/ + 1, 1y i(9)xe)/,m+-22y i(9)xe)/,m+-22(7.6-18)/ +6+ 22/ + 1上式中,由(2.12-18)式给出,力“中的归一化系数由(2.12-30)式给出,加中的相因子 是确定的。7. 7原子光谱的精细结构考虑类氢原子或类氢离子,将原子核视为位于质心位置,当不考虑电子的自旋时,类氢原子或 类氢离子可视为一个电子在有心力场中运动,势能为U (r)o随着量子力学由非相对论量子力学到 相对论量子力学再到量子电动力学的开展,描写电子状态的精确程度也不断提高

19、。在相对论量子力 学中,描写S=L的粒子的波动方程是狄拉克(Dirac)方程(其介绍从略)。对于在有心力场中运动 2的粒子,当狄拉克方程过渡到非相对论极限时,如果不考虑动能算符的相对论修正项,那么可得定态 薛定渭方程为:A AN、U3 + U,+Ulsw = Ei/2Ur =Ur =U LS =1 dU(r) 2442c2 匕万11 dU3;至(7.7-1)上式中,U,与Us是势能算符中两个主要的相对论修正项。Ur与的数量级基本相同。其中U,只与r有关,所以可将U(r) + U/作为一般有心力场处理。为自旋轨道耦合项。(7.5-18)式中行的表示式与上式中的表示式相同。上式中,哈密顿算符力中的

20、前三项与工、对易, 但力中的最后一项八.与、G一不对易,那么当/工0时,在力的本征态中,测量力学量L,和SzAAA都不可能有确定值,或者说这时叫和“都不是好量子数。由7 = Z+片得:八 2 A A A 2 人 2 A AA 2 RJ =(L+S)2 = L +S +2LS,而S =-h2那么得:上上 ”3LS = -(J -L 一一h2)(7.7-2)2422根据上式很易看出,H,L J,上彼此对易而可构成力学量的完全集合,那么/,/,机都是好量子22考虑束缚态,设(7.7-1)式中的材为力工 J,的共同本征态:甲=%/()胴(,0,SJ =为.(。,夕,邑)(7.7-3)八2 八2 q 八

21、2 八其中为径向量子数,为,”为角动量耦合表象中L ,S,人的共同本征态。将上式代 入(7.7-1)式并注意到(7.7-2)式得约化径向方程为:Un,(r) = EUn.,(r)h2 d2 /(/ + 1)/?2 、3 川3J dUk 41+诟+1”包一式,(7.7-4)由于径向方程无简并,所以上方程可以用非简并定态微扰论方法求解。令:。力2 r V -八小 I、3/ dU(r)(7.7-5)力可视为微扰,在(7.7-4)工中去掉微扰项力,得:4呼+U+讥?(1)=泮噂(7.7-6)2 dr 2/r上式中的区也可视为微扰,但由于可视为一般有心力场而没有将由作为微扰项 处理。设由上方程求出的零级

22、近似能显和零级近似径向波函数为:(7.7-7)E(。)= ;) r 只考虑能量的一级修正项时得:(7.7-8)E产嘲+磷磷二三川)-/(/-1+/解)|2,,公 4 C4r dr对于类氢离子,U(r) =,因为(7.7-6)式中的山是小项,所以用,可近似地由 (2.13-16)式给出,那么可得:h2e2Z416 兀 E。笛13;U(J + 1)-/(/ + 1)- ,?/(/+ -)(/ + 1)4/Z4618;rEq)“3(2/+ 1)/(/ +1)/Z4618;rEq)“3(2/+ 1)/(/ +1)3川)一/(/ +1)力(7.7-9)上式中, =+/ + 1为主量子数;4=一万为第一玻

23、尔轨道半径;。=jue24呷(137.04称为精细结构常数。由(7.7-8)式与(7.7-3)式可知,能量瓦k与m无关,而E,巧对应的本征池数 与m有关,所以能级七四的简并度为(2j+l)。如果不考虑自旋轨道耦合项,那么能级只与有关, 考虑自旋轨道耦合项后,那么能级与力/,有关。当确定后,假设/W0,那么j可取两个值:;=/-, 即具有相同量子数,I的能级有两个,这两个能级相差很小,这就是产生原子光谱线精细结构的 原因。此外,对类氢离子,=鹿+/ + 1可改写为 = +/ + !,当n确定后,j可取 (1-),(2-),,(一3共n个值。这n条能级也相差很小。222对于除氢原子外的类氢原子,在

24、非相对论量子力学中,当不考虑电子自旋时,求解束缚态径向 方程将只出现径向量子数而不可能自动出现主量子数n,但仍可定义主量子数 =+/ + 1,使得仍可记为E?, Eg.也仍可记为/”。一般以32P3表示n=3, 1=1 (p)项,J = 3的能级, 22P的左上角的2表示32P3属于二重线的项。其他能级也都有类似的表示方法。习题1 .当1=1时,求在心表象中乙与L的矩阵表示。2 .求在自然态阳(、)中的测不准关系(A%)2(Asv)2=?23 .根据泡利自旋矩阵求5r与S、的本征值及对应的本征函数。A八八 人人人AA4 .求证:(行h)(行月)= H8+ioXHx)。其中力和月是与5对易的矢量

25、算符。5 .求证:=5 cos ip -(yy sin 邛6一加2bg = sin 28 一 q cos 2/?6 .求电子的自旋角动量在单位矢量万方向上投影的本征值和在“表象中对应的本征函数,并求在这些本征态中测量上的可能值及其几率。如果电子处在为(上)态中,求出该态中测量自旋角动 2量在万方向上投影的可能值及其几率。7 .设在与s一表象中,电子在库仑势场中所处的状态为:r 、Jr?)% Go)仁73一仆匕(9,0)求总磁矩看=-邑( + 2到的平均值(用玻尔磁子表示)。2,8 .当坐标系绕单位矢量M旋转叵角时,电子自旋波函数的变换算符为U = e谣“,试就下述三种情况求。的矩阵表示U。(1

26、)元沿(/。)方向(2)绕z轴旋转r角,然后绕y轴旋转/角,再绕z轴旋转。角(a/,r)欧勒(Euler)角。(3)将z轴转到单位矢量无方向,在原坐标系中,万沿(夕夕)方向。9 .求在以下状态中算符产与/二的本征值9=项区)%(。,0)2(p2 =(p2 =(sj%(e,9)+ x (5二)%(。,9) 210 .求证:当厂/+;时,(力巧网加)=击当时,(加加加)=-含(加,同,力&是彼此独立的自旋矢量算符,它们的自旋量子数都为1。设体系的哈密顿算符为:育=&+24+2&)求体系的能给及简并度。12 .试证明在存在磁场月的情况卜,带电荷为Q的粒子的速度分量算符满足卜述的对易关系:,5=攀刖及

27、13 .电子在均匀磁场中运动,求能级。14 .带电荷为-e的电子在磁场月中运动,B随时间I的变化关系为:Bx - B。cos wt B、= B sin wt=0其中8。为常量。设t=0时,自旋角动量在磁场方向上的分量为g,求在t时刻测得自旋角动量 在磁场方向上的分量为的几率。2能表示为,,xp的形式,这是因为自旋角动量只是粒子内部状态的表征,而与粒子的位置和动量无关 之故。为了获得一般角动量算符的性质,可以把轨道角动量算符的对易关系推广为一般角动量算符 的对易关系。由3.2可知,轨道角动量算符的基本对易关系由(3.2-15)式或(3.2-16)式给出,即Li,Lj = ihEijk Lk(7.

28、2-1)(7.2-2)上式中三个不为零的对易关系式可表示为:A AALxL = ih LA那么一般角动量算符7也应满足同样的对易关系,即A AAfiJl = ihEijkJk A AAJxJ=ihJ上式可作为角动量算符的定义式,即但凡满足上式的7就称为角动量算符。7应为密算符。令:J+ = J .t + z JJ - = J x-i J y(7.2-3)那么对应于(3.2-17)式,(3.2-18)式的对易关系为: A AAJ+J- = 2hJ:(7.2-4)A A二JzJ = hJ(7.2-5)V 二J Z = 0(7.2-6)根据(7.2-2)式不难证明以上三式,其证明从略。AAAA由(7

29、.2-6)式可知,J与二是对易的,所以它们存在构成完备系的共同本征函数。设7与二a2A 2A的共同本征态为jm),那么(7.2-7)J I 加=+ 加J z | jin) = mh | jin)a2 a其中,j(j+l)h2和mh分别为J和人的本征值,且j20。不妨设I jm已归一化,即AA AA A 2=1 o下面讨论j与m的可能值以及J土作用于| jm的性质,由(7.2-6)式可得:J J = J J , 那么)2A AA AAj Jj=jj 附=/(/+/jI力九A八A,由上式可知,假设二|力存在(即不为零),那么J |力7?也是了的本征态,其本征值也为j(j+l)h2。 A AA AA

30、A A由(7.2-5)式得:J: J = J J:h J = J(J:h),那么A AA AAJz J I jni) = J(J.h)jm) = (ml)hJ jm)AAAAA由上式可知,假设J| jm)存在,那么J | 是Jz对应本征值(m+1) h的本征态,J- | 是J:w上二对应本征值(m-l) h的本征态。可见,7与二在7+|加。态中的本征值与在|力之间只能相差 一个常数因子,即AJ+ I 力=cy | jm +1)(7.2-8)J- | jm) = C_V | jm -1)(7.2-9)八.十八.加 | J; /+ | = 0 + 11 C:CJ = C:C+ 20在(7.2-8)

31、式中,C+WO而jm声0而C-=0,由于.上式中不管I jm是否存在都已取代(jm+l|jm+lA=L所以当C+=0时实际上所表示的是|jm)=0,即当C+=0时将表示|jm与7+|jm都不存在。在任意标积中有:。+222 八 2 二 二,八 j+ =(1+/.)+(jx+ijy) = (jx - ijy)Ux + i jy)人2 A2人 A a2 a2 a人2 人 a=Jx+ J),+ lJxyJ y = Jx+Jy hJz=J J z( J z+ 力)那么得:二+ 公2 上 上=(jmIJ+ 7+ I jni) =(jmJ -Jz(Jz+/?)| jni)=j(j + l)-/n(/n + l)/?2O( 7.2-10)设当j确定后m的最大值为nimax,由上式可知:(7.2-11)(7.2-12)lllmax=j在(7.2-10)式中取C+为实数得:将上式代入(7.2-8)式得:7+ I 加=,/(7 + 1)-加(2 + 1)力 I jm + 1同理,从(7.2-9)式出发,由类似的推导可得:(7.2-13)(7.2-14)C:c_ = j( J +1) -4- l)/i2 20设当j确定后

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