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1、2.2函数的单调性与最值最新考纲考情考向分析1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图
2、象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)对于任意的xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值知识拓展函数单调性的常用结论(1)对x1，x2D(x1x2)，0f(x)在D上是增函数，0)的增区间为(，和，)，减区间为，0)和(0，(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两
3、个减函数的和仍是减函数(4)函数f(g(x)的单调性与函数yf(u)和ug(x)的单调性的关系是“同增异减”题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数()(2)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(3)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到()题组二教材改编2P39B组T1函数f(x)x22x的单调递增区间是_答案1，)(或(1，)3P31例4函数y在2,3上的最大值是_答案24P44A组T9若函数f(x)x2
4、2mx1在2，)上是增函数，则实数m的取值范围是_答案(，2解析由题意知，2，)m，)，m2.题组三易错自纠5函数y的单调递减区间为_答案(2，)6若函数f(x)|2xa|的单调增区间是3，)，则a的值为_答案6解析由图象(图略)易知函数f(x)|2xa|的单调增区间是，令3，得a6.7函数f(x)的最大值为_答案2解析当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确定函数的单调性(区间)命题点1给出具体解析式的函数的单调性典例 (1)(2017全国)函数f(x)
5、ln(x22x8)的单调递增区间是()A(，2) B(，1)C(1，) D(4，)答案D解析由x22x80，得x4或x2.设tx22x8，则yln t为增函数要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数tx22x8的单调递增区间函数tx22x8的单调递增区间为(4，)，函数f(x)的单调递增区间为(4，)故选D.(2)函数yx22|x|3的单调递减区间是_答案1,0，1，)解析由题意知，当x0时，yx22x3(x1)24；当x0时，yx22x3(x1)24，二次函数的图象如图由图象可知，函数yx22|x|3的单调递减区间为1,0，1，)命题点2解析式含参数的函数的单调性典例 判断并证明函数f(x)
6、ax2(其中1a3)在1,2上的单调性解函数f(x)ax2(1a3)在1,2上单调递增证明：设1x1x22，则f(x2)f(x1)axax(x2x1)，由1x1x22，得x2x10,2x1x24，1x1x24，1.又因为1a3，所以2a(x1x2)12，得a(x1x2)0，从而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增引申探究如何用导数法求解本例？解因为f(x)2ax，因为1x2，1x38，又1a3，所以2ax310，所以f(x)0，所以函数f(x)ax2(其中1a3)在1,2上是增函数思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证
7、明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“”连接跟踪训练 (1)(2017郑州模拟)函数y的单调递增区间为()A(1，) B.C. D.答案B解析易知函数yt为减函数，t2x23x1的单调递减区间为.函数y的单调递增区间是.(2)函数f(x)|x2|x的单调递减区间是()A1,2 B1,0C(0,2 D2，)答案A解析由题意得，f(x)当x2时，2，)是函数f(x)的单调递增区间；当xx11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线
8、x1对称，且在(1，)上是减函数，因为aff，且2ac.命题点2解函数不等式典例 若f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，且满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，则当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是()A(8，) B(8,9C8,9 D(0,8)答案B解析211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，所以有解得80)在区间2,4上单调递减，则实数a的值是_答案8解析f(x)x|2xa|(a0)，作出函数图象(图略)可得该函数的单调递减区间是，所以解得a8.(2)(2017珠海模拟)定义在R上的奇函数y
9、f(x)在(0，)上单调递增，且f0，则不等式f()0的解集为_答案解析由题意知，ff0，f(x)在(，0)上也单调递增f()f或f()f，或0，解得0x或1x3.原不等式的解集为.1下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ay By(x1)2Cy2x Dylog0.5(x1)答案A解析函数y的增区间是(1，)，在(0，)上为增函数，故选A.2(2017河南中原名校第一次质检)函数y的单调递增区间为()A. B.C. D.答案A解析由x2x60，得2x3，故函数的定义域为(2,3)，令tx2x6，则y，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数tx2x6在(2,3)上的单调
10、递减区间利用二次函数的性质可得tx2x6在定义域(2,3)上的单调递减区间为，故选A.3已知函数f(x)则“c1”是“函数f(x)在R上递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若函数f(x)在R上递增，则需log21c1，即c1.由于c1，即c1，但c1不能得出c1，所以“c1”是“函数f(x)在R上递增”的充分不必要条件4已知函数ylog2(ax1)在(1,2)上是增函数，则实数a的取值范围是()A(0,1 B1,2C1，) D2，)答案C解析要使ylog2(ax1)在(1,2)上是增函数，则a0且a10，即a1.5(2017天津)已知奇函数
11、f(x)在R上是增函数若af，bf，cf(20.8)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BbacCcba Dca1)是增函数，故a1，所以a的取值范围为1a2.11已知f(x)(xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)上单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围(1)证明设x1x22，则f(x1)f(x2).因为(x12)(x22)0，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)上单调递增(2)解设1x1x2，则f(x1)f(x2).因为a0，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，
12、所以a1.综上所述，0a1.12函数f(x)4x24axa22a2在区间0,2上有最小值3，求a的值解f(x)422a2，当0，即a0时，函数f(x)在0,2上是增函数f(x)minf(0)a22a2.由a22a23，得a1.a0，a1.当02，即0a4时，f(x)minf2a2.由2a23，得a(0,4)，舍去当2，即a4时，函数f(x)在0,2上是减函数，f(x)minf(2)a210a18.由a210a183，得a5.a4，a5.综上所述，a1或a5.13已知函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，则函数g(x)在区间(1，)上一定()A有最小值 B有最大值C是减函数 D是增函
13、数答案D解析由题意知af(2ax)在a，a1上恒成立，则实数a的取值范围是_答案(，2)解析二次函数y1x24x3的对称轴是x2，该函数在(，0上单调递减，x24x33，同样可知函数y2x22x3在(0，)上单调递减，x22x3f(2ax)得到xa2ax，即2xa，2xa在a，a1上恒成立，2(a1)a，a2，实数a的取值范围是(，2)15函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数，设函数f(x)在0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：f(0)0；ff(x)；f(1x)1f(x)则ff_.答案解析由，令x0，可得
14、f(1)1.由，令x1，可得ff(1).令x，可得ff.由结合f，可知f，令x，可得ff，因为0，试确定a的取值范围解(1)由x20，得0，当a1时，x22xa0恒成立，定义域为(0，)；当a1时，定义域为x|x0且x1；当0a1时，定义域为x|0x1(2)设g(x)x2，当a(1,4)，x2，)时，g(x)10恒成立，所以g(x)x2在2，)上是增函数所以f(x)lg在2，)上是增函数所以f(x)lg在2，)上的最小值为f(2)lg.(3)对任意x2，)恒有f(x)0，即x21对x2，)恒成立所以a3xx2，令h(x)3xx2，而h(x)3xx22在2，)上是减函数，所以h(x)maxh(2)2，所以a2.