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1、天津市河北区2019届高三数学二模试题 文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用求出集合，再根据交集定义求得结果.【详解】由可知：则本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数的值为（ ）A. B. C. 0D. 1【答案】A【解析】【分析】通过复数除法运算将复数整理为的形式，再根据纯虚数的定义求得结果.【详解】为纯虚数 本题正确选项：【点睛】本题考查复数的分类，关键是通过复数的除法运算将其整理为的形式，属于基础题.3.例题
2、：“，”的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据含量词命题的否定的形式可得结果.【详解】为命题的否定，则，本题正确选项：【点睛】本题考查逻辑连接词中的“非”命题，即命题的否定，属于基础题.4.已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：可以先比较同底的对数大小，再结合中间值1,进行比较即可.详解：,故，选D.点睛：考查对数函数的基本性质和运算公式，比较大小通常先比较同底的然后借助中间值判断不同底的即可.属于基础题.5.己知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个交点为，则双曲线的方程为（ ）A. B. C.
3、D. 【答案】C【解析】试题分析：以、为直径的圆方程为，又因为点在圆上，所以，双曲线的渐近线一条方程为，且点在这条渐近线上，所以，又，解之得，所以双曲线方程为，故选C考点：双曲线标准方程及几何性质【此处有视频，请去附件查看】6.已知四面体的四个面都为直角三角形，且平面，若该四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知中垂直关系可将四面体放入正方体中，求解正方体的外接球表面积即为所求的四面体外接球的表面积；利用正方体外接球半径为其体对角线的一半，求得半径，代入面积公式求得结果.【详解】且为直角三角形 又平面，平面 平面由此可将四面体
4、放入边长为的正方体中，如下图所示：正方体的外接球即为该四面体的外接球正方体外接球半径为体对角线的一半，即球的表面积：本题正确选项：【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的求解问题，关键是能够通过线面之间的位置关系，将所求四面体放入正方体中，通过求解正方体外接球来求得结果.7.已知函数，给出下列四个命题：函数的最小正周期为； 函数的最大值为1；函数上单调递增； 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为其中正确命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】将函数利用两角和的正弦公式化简可得 ，则可得最小正周期是；最大值是；由，可得 ，由正弦函数的单调性可判断；
5、由图像的平移变换可判断【详解】利用两角和的正弦公式将函数化简为，则最小正周期为，故错误；最大值是，故正确；由，可得，正弦函数的单调递增区间是，当是，增区间是，故错误；将函数的图象向左平移个单位长度得，整理，故正确故选B.【点睛】本题考查两角和的正弦公式，正弦函数的图像与性质，图像的平移与变换，解题的关键是将函数化简，属于简单题8.已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】显然不满足三个零点，所以，当时，（）两图像必有一交点，所以必有一零点在当x0时，所以f(x)在单调递减，在上单调递增上要有两个零点，只需，解得，选D.【点睛】零点问题，常把方程F(x
6、)=0变形为左右两边各放一个函数f(x)=g(x),然后分别出来y=f(x)和y=g(x)的图像，再观察两图像交点个数，从而得到y=F(x)的零点个数如果图像不好直接画出，则要借助导数及函数图像来解决二、填空题。9.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为_【答案】808【解析】【分析】由甲社区抽取人数和总人数计算可得抽样比，从而可根据抽取的人数计算得到驾驶员总人数.【详解】
7、由题意可得抽样比为：本题正确结果：【点睛】本题考查分层抽样中抽样比、总体数量的计算，属于基础题.10.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为_【答案】4【解析】【分析】根据程序框图运行程序，直到时，输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入：，符合，循环；，符合，循环；，符合，循环；，不符合，输出本题正确结果：【点睛】本题考查程序框图中根据循环框图计算输出结果，属于常规题型.11.若实数，满足条件则的最小值为_【答案】4【解析】【分析】由不等式组画出平面区域，再求最小值【详解】由不等式组画出平面区域，如图平面区域为内的区域，目标函数化为，则的最小值为直线截距的最小值，通过平移可
8、发现在点处，纵截距最小，所以.【点睛】本题考查线性规划问题，解题的关键是画出不等式组表示的平面区域，属于简单题12.已知直线的方程为，圆的方程为，则直线被圆所截得的弦长为_【答案】【解析】【分析】由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后通过勾股定理求出一半弦长，再得弦长【详解】由题可知圆心坐标，半径，所以圆心到直线的距离，所以由勾股定理可得弦长的一半为 ，即弦长为.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，求弦长问题，属于简单题13.已知首项与公比相等的等比数列中，若，满足，则的最小值为_【答案】1【解析】【分析】将写成等比数列基本量和的形式，由可得；从而利用，根据基本不等式求得结果.【详解】
9、设等比数列公比为，则首项由得：则： 则（当且仅当，即时取等号）本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够根据等比数列各项之间的关系，通过等比数列基本量得到满足的等式，从而配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.14.在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=+，则+=_【答案】【解析】【分析】根据平面向量定理，表示出，然后把转化到，利用，得到用和表示的式子，得到和的值.【详解】在中，为中点，所以，为中点，所以所以即，所以而所以故【点睛】本题考查向量平面定理的的表示，向量的加法、减法，向量共线的表示，属于中档题.三、解答题解答应写出文字说明，
10、证明过程或演算步骤15.一个盒子中装有4个编号依次为1、2、3、4的球，这4个球除号码外完全相同，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为（）列出所有可能结果；（）求事件“取出球的号码之和小于4”及事件 “编号”的概率【答案】（）见解析（）；【解析】【分析】（）依次列出所有可能结果即可（）由（）可知基本事件个数是16个，“取出球的号码之和小于4”包含3个事件；“编号”包含6个事件，求概率即可【详解】（）所有可能的结果共有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，
11、3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16个（）事件：“取出球的号码之和小于4”包含的结果有（1，1），（1，2），（2，1）共3个， 事件:“编号”包含的结果有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6个，【点睛】本题考查古典概型，用列举法列举基本事件是解题的关键，属于简单题16.已知的内角，的对边分别为，满足（）求角的值；（）若，求的值【答案】（）（）【解析】【分析】（）根据正弦定理将边角关系式化为边之间的关系，从而可凑得的形式，得到，进而得到；（）由正弦定理求得，利用同角三角函数关系得到；再利用二倍角公式得到；通过两角和差正弦公
12、式求得结果.【详解】（）由正弦定理得：，化简得：又 （）由（）知，又，由正弦定理得：又 【点睛】本题考查正弦定理解三角形、同角三角函数关系、二倍角公式的应用、两角和差正弦公式的应用问题，属于常规题型.17.如图，四棱柱的底面为菱形，底面，分别为，的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面；（）若，求异面直线与所成角的余弦值【答案】（）见证明；（）见证明；（）【解析】【分析】（）证明平面，可证与平面内的直线平行，则取的中点，连接，即可（）证明平面平面，可证平面，又因为平面，所以平面平面 （）由（I）知，则（或其补角）是异面直线与所成的角在中，分别求出，通过余弦定理可求得与所成角的余弦值【详解】（）
13、取的中点，连接， 四边形是平行四边形 又平面，平面，平面 （）菱形中， ，是等边三角形又平面， 又 ,平面平面平面平面 （）由（I）知，则（或其补角）是异面直线与所成的角在中，异面直线与所成角的余弦值为【点睛】证明线面平行需要先证明线线平行；证明面面垂直需要先证明线面垂直；求异面直线所成角可通过平移共起点，构造三角形的方法求解18.已知数列满足，设（）求，的值；（）证明数列是等差数列；（）设，求数列的前项和【答案】（），（）见解析（）【解析】【分析】（）将分别代入递推关系式，求解出；再根据求得结果；（）将递推关系式左右同除可得到，符合等差数列定义式，从而证得结论；（）求出，进而可得的通项公式，
14、采用分组求和的方法，分别对两个部分用错位相减法和等差数列求和方法进行运算，分组求解完毕后作和即可.【详解】（）解：将代入得又 将代入得 从而，（）证明：将两边同时除以得： ，即数列是以为首项，为公差的等差数列 （）解：由（）可得 设两式相减得：化简得设【点睛】本题考查利用数列递推关系式证明等差数列、等差数列通项公式的应用、数列求和方法中的等差数列求和、分组求和法和错位相减法；解题关键是能够根据通项公式的形式确定具体求和的方法，属于常规题型.19.已知椭圆过点，且短轴长为（）求椭圆的方程；（）过点作轴的垂线，设点为第四象限内一点且在椭圆上（点不在直线上），点关于的对称点为，直线与椭圆交于另一点设
15、为坐标原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由【答案】（）（）直线与直线平行，说明见解析【解析】【分析】（）根据短轴长和椭圆上的点构造方程组，求解得到，从而得到标准方程；（）根据与关于对称，可知直线与斜率互为相反数；假设方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得两根之积为，从而求得，同理可得，从而可求得，再利用直线方程求得；根据两点连线斜率公式得到，从而可得直线与直线平行.【详解】（）由题意的：，解得，椭圆的方程为（）直线与直线平行，证明如下：由题意，直线的斜率存在且不为零关于对称，则直线与斜率互为相反数设直线，设，由，消去得 同理，又 故直线与直线平行【点睛】本题考查椭圆的标准方程求解、椭圆中的
16、定值问题.本题解题的关键是能够通过直线与方程联立，借助韦达定理利用变量表示出点的坐标，从而可解得斜率为定值，进而证得结论.20.已知函数，其中为自然对数的底数（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求函数单调区间；（）用表示，中的较大者，记函数若函数在内恰有2个零点，求实数的取值范围【答案】（）（）单调递增区间为和，单调递减区间为（）【解析】【分析】（）当时，求出切点坐标和切线斜率，通过直线的点斜式方程可求出切线方程（）对函数求导，由导函数的正负求单调性，同时注意对参数的讨论（）由题可知函数在内单调递减，当时，则函数无零点再对当，当的情况进行分类讨论，最后得到答案【详解】解：（）当时， ，曲线在
17、点处的切线方程为，即切线方程为 （）由已知得，（1）当时，函数在内单调递增 （2）当时，令，解得或由，解得或，由，解得 函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 （）函数的定义域为 函数在内单调递减（1）当时，依题意，则函数无零点 （2）当时，若，即，则是函数的一个零点；若，即，则不是函数的零点； （3）当时，只需考虑函数在）内零点的情况，当时，函数在内单调递增又，（）当时，函数在内无零点；（）当时，又，此时函数内恰有一个零点； 当时，由（）知，函数在内单调递减，在内单调递增，此时函数在内恰有一个零点 综上，实数的取值范围是【点睛】本题考查导函数问题，涉及求切线，研究函数的单调性以及通过导函数求零点问题，属于偏难题目18