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1、随州市随州市 2022 年初中毕业升学考试数学试题年初中毕业升学考试数学试题一、选择题一、选择题1.2022 的倒数是（）A.2022B.2022C.12022D.120222.如图，直线1l/2l，直线 l 与1l，2l相交，若图中160 则2 为（）A.30B.40C.50D.603.小明同学连续 5 次测验的成绩分别为：97，97，99，101，106（单位：分），则这组数据的众数和平均数分别为（）A.97 和 99B.97 和 100C.99 和 100D.97 和 1014.如图是一个放在水平桌面上的半球体，该几何体的三视图中完全相同的是（）A.主视图和左视图B.主视图和俯视图C.左
2、视图和俯视图D.三个视图均相同5.我国元朝朱世杰所著的算学启蒙中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里驽马先行一十二日，问良马几何追及之”意思是：“跑得快的马每天走 240 里，跑得慢的马每天走 150 里，慢马先走12 天，快马几天可以追上慢马？”若设快马 x 天可以追上慢马，则可列方程为（）A.150 12240 xxB.240 12150 xxC.15012240 xxD.24012150 xx6.2022 年 6 月 5 日 10 时 44 分 07 秒，神舟 14 号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站已知中国空间站绕地球运行的速度约为37.7 10
3、m/s，则中国空间站绕地球运行22 10 s走过的路程（m）用科学记数法可表示为（）A.515.4 10B.61.54 10C.615.4 10D.71.54 107.已知张强家、体育场、文具店在同一直线上下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家图中 x 表示时间，y 表示张强离家的距离则下列结论不正确的是（）A.张强从家到体育场用了 15minB.体育场离文具店 1.5kmC.张强在文具店停留了 20minD.张强从文具店回家用了 35min8.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板 ABCD 中，BD 为对角线，E，
4、F 分别为 BC，CD 的中点，APEF分别交 BD，EF 于 O，P 两点，M，N 分别为 BO，DC 的中点，连接 AP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：图中的三角形都是等腰直角三角形；四边形 MPEB 是菱形；四边形 PFDM 的面积占正方形 ABCD 面积的14正确的有（）A.只有B.C.D.9.如图，已知点 B，D，C 在同一直线的水平，在点 C 处测得建筑物 AB 的顶端 A 的仰角为，在点 D 处测得建筑物 AB 的顶端 A 的仰角为，CDa，则建筑物 AB 的高度为（）A.tantanaB.tantanaC.tantantantana
5、D.tantantantana10.如图，已知开口向下的抛物线2yaxbxc与 x 轴交于点()1,0-对称轴为直线1x 则下列结论：0abc；20ab；函数2yaxbxc的最大值为4a；若关于 x 的方数21axbxca无实数根，则105a正确的有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个二、填空题二、填空题11.计算：313 _12.如图，点 A，B，C 都在O 上，ACB=60，则AOB 的度数为_.13.已知二元一次方程组2425xyxy，则xy的值为_14.如图，在平面直角坐标系中，直线1yx与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，与反比例函数kyx的图象在第一象限交于点 C，若AB
6、BC，则 k 的值为_15.已知 m 为正整数，若189m是整数，则根据1893 3 3 73 3 7mmm 可知 m 有最小值3 721设 n 为正整数，若300n是大于 1 的整数，则 n 的最小值为_，最大值为_16.如图 1，在矩形 ABCD 中，8AB，6AD，E，F 分别为 AB，AD 的中点，连接 EF如图 2，将AEF 绕点 A 逆时针旋转角090，使EFAD，连接 BE 并延长交 DF 于点 H，则BHD 的度数为_，DH 的长为_三、解答题三、解答题17.解分式方程：143xx18.已知关于 x 的一元二次方程222110 xkxk 有两个不等实数根1x，2x（1）求 k
7、的取值范围；（2）若125x x，求 k 的值19.如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，CD 上，且四边形 BEDF 为正方形（1）求证AECF；（2）已知平行四边形 ABCD 的面积为20，5AB 求CF的长20.为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团，美术社团”活动该校从全校 600 名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图根据图中信息，解答下列问题（1）参加问卷调查的学生共有_人；（2）条形统计图中 m 的值为_，扇形统
8、计图中的度数为_；（3）根据调查结果，可估计该校 600 名学生中最喜欢“音乐社团”的约有_人；（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率21.如图，已知 D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，BE 与O 相切，交 CD 的延长线于点 E，且BEDE（1）判断 CD 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若4AC，1sin3C，求O 的半径；求 BD 的长22.2022 年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会古祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面，某纪念品商店在开始售卖当
9、天提供 150 个“冰墩墩”后很快就被抢购一空该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应 m 个（m 为正整数）经过连续 15 天的销售统计，得到第 x 天（115x，且 x 为正整数）的供应量1y（单位：个）和需求量2y（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量2y与 x 满足某二次函数关系（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）第 x 天1261115供应量1y（个）150150m1505m15010m15014m需求量2y（个）220229245220164（1）直接写出1y与 x 和2y与 x 的函数关系式；（
10、不要求写出 x 的取值范围）（2）已知从第 10 天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前 9 天的总需求量超过总供应量，前 10 天的总需求量不超过总供应量），求 m 的值；（参考数据：前 9 天的总需求量为 2136 个）（3）在第（2）问 m 取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为 100 元，求第 4 天与第 12 天的销售额23.几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑在该书的第 2 幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何
11、图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）公式：abc dadbdcd 公式：abcdacadbcbd公式：2222abaabb公式：2222abaabb图 1 对应公式_，图 2 对应公式_，图 3 对应公式_，图 4 对应公式_；（2）几何原本中记载了一种利用几何图形证明平方差公式22ababab的方法，如图 5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）（3）如图 6，在等腰直角三角形 ABC 中，90BAC，D 为 BC 的中点，E 为边 AC 上任意一点（不与端点重合），过点 E 作EGBC于点 G，作EHADF
12、点 H 过点 B 作 BF/AC 交 EG 的延长线于点 F记BFG 与CEG 的面积之和为1S，ABD 与AEH 的面积之和为2S若 E 为边 AC 的中点，则12SS的值为_；若 E 不为边 AC 的中点时，试问中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由24.如图 1，平面直角坐标系 xOy 中，抛物线20yaxbxca 与 x 轴分则点 A 和点10B,，与 y轴交于点 C，对称轴为直线1x ，且OAOC，P 为抛物线上一动点（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图 2，连接 AC，当点 P 在直线 AC 上方时，求四边形 PABC 面积的最大值，并求出此时 P 点的
13、坐标；（3）设 M 为抛物线对称轴上一动点，当 P，M 运动时，在坐标轴上是否存在点 N，使四边形 PMCN 为矩形？若存在，直接写出点 P 及其对应点 N的坐标；若不存在，请说明理由随州市随州市 2022 年初中毕业升学考试数学试题年初中毕业升学考试数学试题一、选择题一、选择题1.2022 的倒数是（）A.2022B.2022C.12022D.12022【答案】C【解析】【分析】根据倒数的定义作答即可【详解】2022 的倒数是12022，故选：C【点睛】本题考查了倒数的概念，即乘积为 1 的两个数互为倒数，牢记倒数的概念是解题的关键2.如图，直线1l/2l，直线 l 与1l，2l相交，若图中
14、160 则2 为（）A.30B.40C.50D.60【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质，两直线平行内错角相等即可得出答案【详解】l1l2，1=2=60，故选：D【点睛】本题考查平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟记平行线的性质是解题的关键3.小明同学连续 5 次测验的成绩分别为：97，97，99，101，106（单位：分），则这组数据的众数和平均数分别为（）A.97 和 99B.97 和 100C.99 和 100D.97 和 101【答案】B【解析】【分析】根据众数与平均数的概念及计算公式求解即可【详解】解：小明同学连续 5 次测
15、验的成绩分别为：97，97，99，101，106（单位：分），这组成绩的众数是97；平均数是1979799 101 1061005，故选：B【点睛】本题考查统计基础知识，涉及众数及平均数的概念与计算公式，熟练掌握相关定义及计算公式是解决问题的关键4.如图是一个放在水平桌面上的半球体，该几何体的三视图中完全相同的是（）A.主视图和左视图B.主视图和俯视图C.左视图和俯视图D.三个视图均相同【答案】A【解析】【分析】根据三视图的形成，从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在三视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线【详解】解：从正面和
16、左面看，得到的平面图形均是半圆，而从上面看是一个圆，因此该几何体主视图与左视图一致，故选：A【点睛】本题考查了三视图的知识，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键5.我国元朝朱世杰所著的算学启蒙中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里驽马先行一十二日，问良马几何追及之”意思是：“跑得快的马每天走 240 里，跑得慢的马每天走 150 里，慢马先走12 天，快马几天可以追上慢马？”若设快马 x 天可以追上慢马，则可列方程为（）A.150 12240 xxB.240 12150 xxC.15012240 xxD.24012150 xx【答案】A【解析】【
17、分析】直接根据相遇时所走路程相等列出一元一次方程即可得出答案【详解】设快马 x 天可以追上慢马，由题意可知：150 12240 xx故选：A【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是准确找出等量关系，正确列出一元一次方程6.2022 年 6 月 5 日 10 时 44 分 07 秒，神舟 14 号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站已知中国空间站绕地球运行的速度约为37.7 10 m/s，则中国空间站绕地球运行22 10 s走过的路程（m）用科学记数法可表示为（）A.515.4 10B.61.54 10C.615.4 10D.71.54 10【答案】B
18、【解析】【分析】先求出路程，再用科学记数法表示为 a10n的形式【详解】解：路程=32567.7 102 1015.4 101.54 10 m 故选：B【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数7.已知张强家、体育场、文具店在同一直线上下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家图中 x 表示时间，y 表示张强离家的距离则下列结论不正确的是（）A.张强从家到体育场用了 15minB.体育场离文具店 1.5kmC.张强在文具店停留了
19、20minD.张强从文具店回家用了 35min【答案】B【解析】【分析】利用图象信息解决问题即可【详解】解：由图可知：A.张强从家到体育场用了 15min，正确，不符合题意；B.体育场离文具店的距离为：2.5 1.51km，故选项错误，符合题意；C.张强在文具店停留了：6545=20min，正确，不符合题意；D.张强从文具店回家用了10065=35min，正确，符合题意，故选：B【点睛】本题考查函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题8.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板 ABCD 中，BD 为对角线，E，F 分别为 BC，CD 的中点，APEF分别交
20、 BD，EF 于 O，P 两点，M，N 分别为 BO，DC 的中点，连接 AP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：图中的三角形都是等腰直角三角形；四边形 MPEB 是菱形；四边形 PFDM 的面积占正方形 ABCD 面积的14正确的有（）A.只有B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据正方形的性质和中位线定理证明图中所有三角形是等腰直角三角形，再证明四边形 MPEB是平行四边形但不是菱形，最后再证明四边形 PFDM 的面积占正方形 ABCD 面积的14即可【详解】解：四边形 ABCD 是正方形，ABOADBCBDBDC45，BADBCD90，ABD
21、、BCD 是等腰直角三角形，APEF，APFAPE90，E，F 分别为 BC，CD 的中点，EF 是BCD 的中位线，CE12BC，CF12CD，CECF，C90，CEF 是等腰直角三角形，EFBD，EF12BD，APEAOB90，APFAOD90，ABO、ADO 是等腰直角三角形，AOBO，AODO，BODO，M，N 分别为 BO，DO 的中点，OMBM12BO，ONND12DO，OMBMONND，BAODAO45，由正方形是轴对称图形，则 A、P、C 三点共线，PEPF12EFONBMOM，连接 PC，如图，NF 是CDO 的中位线，NFAC，NF12OC12ODONND，ONF180CO
22、D90，NOPOPFONF90，四边形 FNOP 是矩形，四边形 FNOP 是正方形，NFONND，DNF 是等腰直角三角形，图中的三角形都是等腰直角三角形；故正确，PEBM，PEBM，四边形 MPEB 是平行四边形，BE12BC，BM12OB，在 RtOBC 中，BCOB，BEBM，四边形 MPEB 不是菱形；故错误，PCPOPFOM，MOPCPF90，MOPCPF（SAS），+MOPPFDMPFDOSSS四边形四边形+CPFPFDOSS四边形CODS14ABCDS正方形，故正确，故选：C【点睛】此题考查了七巧板，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理、三角形全等的判
23、定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的识别图形是解题的关键9.如图，已知点 B，D，C 在同一直线的水平，在点 C 处测得建筑物 AB 的顶端 A 的仰角为，在点 D 处测得建筑物 AB 的顶端 A 的仰角为，CDa，则建筑物 AB 的高度为（）A.tantanaB.tantanaC.tantantantanaD.tantantantana【答案】D【解析】【分析】设 AB=x，利用正切值表示出 BC 和 BD 的长，CD=BC-BD，从而列出等式，解得 x 即可【详解】设 AB=x，由题意知，ACB=,ADB=,tanxBD，tanxBC，CD=BC-BD，tantanxxa，t
24、antantantanax，即 AB=tantantantana，故选：D【点睛】本题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键10.如图，已知开口向下的抛物线2yaxbxc与 x 轴交于点()1,0-对称轴为直线1x 则下列结论：0abc；20ab；函数2yaxbxc的最大值为4a；若关于 x 的方数21axbxca无实数根，则105a正确的有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】C【解析】【分析】由图象可知，图像开口向下，a0，对称轴为 x=1，故12ba，故 b0，且2ba，则20ab图象与 y 轴的交点为正半轴，则 c0，由此可知 abc0，故错误，由图象可知
25、当 x=1 时，函数取最大值，将 x=1，代入2yaxbxc，中得：yabc，计算出函数图象与 x 轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：12ya xxxx，将交点坐标代入得化简得：223yaxaxa，将 x=1，代入可得：234yaaaa，故函数的最大值为-4a，、21axbxca变形为：210axbxca 要使方程无实数根，则24(1)0ba ca，将 c=-3a，2ba，代入得：22040aa，因为 a0，则2040a，则15a ，综上所述105a，结合以上结论可判断正确的项【详解】解：由图象可知，图像开口向下，a0，对称轴为 x=1，故12ba，故 b0，且2ba，则20ab故正确，
26、图象与 y 轴的交点为正半轴，c0，则 abc0，故错误，由图象可知当 x=1 时，函数取最大值，将 x=1，代入2yaxbxc，中得：yabc，由图象可知函数与 x 轴交点为（1,0），对称轴为将 x=1，故函数图象与 x 轴的另一交点为（3,0），设函数解析式为：12ya xxxx，将交点坐标代入得：13ya xx，故化简得：223yaxaxa，将 x=1，代入可得：234yaaaa，故函数的最大值为-4a，故正确，21axbxca变形为：210axbxca 要使方程无实数根，则24(1)0ba ca，将 c=-3a，2ba，代入得：22040aa，因为 a0，则2040a，则15a ，综
27、上所述105a，故正确，则正确，故选 C【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键二、填空题二、填空题11.计算：313 _【答案】0【解析】【分析】根据有理数乘法运算、绝对值运算和有理数加法运算法则分别计算后求解即可【详解】解：313 3 3 0，故答案为：0【点睛】本题考查有理数的运算，涉及到加法运算、乘法运算及绝对值运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键12.如图，点 A，B，C 都在O 上，ACB=60，则AOB 的度数为_.【答案】120【解析】【分析】由ACB=60，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对
28、的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得AOB 的度数【详解】解：点 A、B、C 都在O 上，且点 C 在弦 AB 所对的优弧上，ACB=60，AOB=2ACB=260=120故答案为 120【点睛】此题考查了圆周角定理注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键，注意数形结合思想的应用13.已知二元一次方程组2425xyxy，则xy的值为_【答案】1【解析】【分析】直接由-即可得出答案【详解】原方程组为2425xyxy，由-得1xy故答案为：1【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察，并用整体法求解14.如图，
29、在平面直角坐标系中，直线1yx与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，与反比例函数kyx的图象在第一象限交于点 C，若ABBC，则 k 的值为_【答案】2【解析】【分析】过点 C 作 CHx 轴，垂足为 H，证明OABHAC，再求出点 C 坐标即可解决问题【详解】解：如图，过点 C 作 CHx 轴，垂足为 H，直线1yx与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，将 y=0 代入1yx，得1x ，将 x=0 代入1yx，得 y=1，A（1，0），B（0，1），OA=1，OB=1，AOB=AHC=90，BAO=CAH，OABHAC，AOOBABAHCHACOA=1，OB=1，ABBC，1112AHCHA
30、H=2，CH=2，OH=1，点 C 在第一象限，C（1，2），点 C 在kyx上，1 22k 故答案为：2【点睛】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，本题的突破点是求出点 C 的坐标15.已知 m 为正整数，若189m是整数，则根据1893 3 3 73 3 7mmm 可知 m 有最小值3 721设 n 为正整数，若300n是大于 1 的整数，则 n 的最小值为_，最大值为_【答案】.3.75【解析】【分析】根据 n 为正整数，300n是大于 1 的整数，先求出 n 的值可以为 3、12、75，300，再结合300n是大于 1
31、 的整数来求解【详解】解：3003 2 5 2 5310nnn ，300n是大于 1 的整数，3003101nnn 为正整数n 的值可以为 3、12、75，n 的最小值是 3，最大值是 75故答案为：3；75【点睛】本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键16.如图 1，在矩形 ABCD 中，8AB，6AD，E，F 分别为 AB，AD 的中点，连接 EF如图 2，将AEF 绕点 A 逆时针旋转角090，使EFAD，连接 BE 并延长交 DF 于点 H，则BHD 的度数为_，DH 的长为_【答案】.90#90 度.4 55#455【解析】【分析】设 EF 交 AD 于点 M，BH
32、交 AD 于点 N，先证明ADFABE，可得ADF=ABE，可得BHD=BAD=90；然后过点E作EGAB于点G，可得四边形AMEG是矩形，从而得到EG=AM，AG=ME，ABE=MEN，然后求出125EGAM，再利用锐角三角函数可得3tan4AFAEFAE，从而得到16tan5AMAGMEAEF，进而得到1624855BGABAG，可得到1tantan2EGMENABEBG，从而得到85MN，进而得到 DN=2，即可求解【详解】解：如图，设 EF 交 AD 于点 M，BH 交 AD 于点 N，根据题意得：BAE=DAF，EAF=90，113,422AFADAEAB，34AEAF，在矩形 AB
33、CD 中，8AB，6AD，BAD=90，34ADAB，ADFABE，ADF=ABE，ANB=DNH，BHD=BAD=90；如图，过点 E 作 EGAB 于点 G，AGE=AME=BAD=90，四边形 AMEG 是矩形，EG=AM，AG=ME，MEAB，ABE=MEN，在Rt AEF中，225EFAEAF，3tan4AFAEFAE，1122AEFSAM EFAE AF，125EGAM，16tan5AMAGMEAEF，1624855BGABAG，1tantan2EGMENABEBG，12MNME，即85MN，2DNADAMMN，ADF=ABE，1tantan2ADFABE，即 DH=2HN，222
34、22142DHHNDHDHDN，解得：4 55DH 或4 55（舍去）故答案为：90，4 55【点睛】本题主要考查了图形的旋转，解直角三角形，矩形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质，矩形的性质和判定，相似三角形的判定和性质是解题的关键三、解答题三、解答题17.解分式方程：143xx【答案】1x【解析】【分析】先去分母，再移项，合并同类项，未知数系数化 1，最后检验方程的根即可【详解】解：去分母得34xx，移项并合并同类项得33x，解得1x，经检验，1x 是原方程的解，原分式方程的解是1x【点睛】本题主要考查了分式方程解法，理解分式方程的解法是解答关键注意解分式方程一
35、定要检验方程的根18.已知关于 x 的一元二次方程222110 xkxk 有两个不等实数根1x，2x（1）求 k 的取值范围；（2）若125x x，求 k 的值【答案】（1）34k（2）2【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于 0 建立不等式，解不等式即可得；（2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得21215x xk，再结合（1）的结论即可得【小问 1 详解】解：关于x的一元二次方程222110 xkxk 有两个不等实数根，此方程根的判别式2221410kk，解得34k【小问 2 详解】解：由题意得：21215x xk，解得2k 或2k，由（1）已得：34k，则k的值为 2【
36、点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键19.如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，CD 上，且四边形 BEDF 为正方形（1）求证AECF；（2）已知平行四边形 ABCD 的面积为20，5AB 求CF的长【答案】（1）证明见解析（2）1CF【解析】【分析】（1）直接根据已知条件证明R t A D E和Rt CBF全等即可得出答案（2）由平行四边形的面积公式求出4DE，然后即可得出答案【小问 1 详解】四边形DEBF是正方形，ABCD是平行四边形，DEBEBFDF，ADBC，90DEBBFD，在R t A D
37、E和Rt CBF中，ADCBDEBF，Rt ADE()Rt CBF HL，AECF=；【小问 2 详解】由题意可知：20ABCDSAB DE平行四边形，5AB，4DE，4BEDE，1AE，由（1）得1CFAE【点睛】本题考查平行四边形的性质、正方形的性质及三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握相关性质并能灵活运用20.为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团，美术社团”活动该校从全校 600 名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图根据图中信息，解答下列
38、问题（1）参加问卷调查的学生共有_人；（2）条形统计图中 m的值为_，扇形统计图中的度数为_；（3）根据调查结果，可估计该校 600 名学生中最喜欢“音乐社团”的约有_人；（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率【答案】（1）60（2）11，90（3）100（4）16【解析】【分析】（1）根据 B：体育社团的人数和人数占比即可求出参与调查的总人数；（2）根据（1）所求总人数即可求出 m；用 360 度乘以 C：文学社团的人数占比即可求出的度数；（3）用 600 乘以样本中最喜欢“音乐社团”的人数
39、占比即可得到答案；（4）画树状图或列表先得到所有的等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可【小问 1 详解】解：%=244060（人），参加问卷调查的学生共有 60 人，故答案为：60；【小问 2 详解】解：由题意得：6010241511m，153609060，故答案为：11；90；【小问 3 详解】解：1060010060（人），估计该校 600 名学生中最喜欢“音乐社团”的约有 100 人，故答案为：100；【小问 4 详解】解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用 A，B，C，D 表示，根据题意可画树状图或列表如下：第 2 人第 1 人ABCDAABACADBB
40、ABCBDCCACBCDDDADBDC由上图或上表可知，共有 12 种等可能的结果，符合条件的结果有 2 种，故恰好选中甲、乙两名同学的概率为21126P【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率等等，正确读懂统计图是解题的关键21.如图，已知 D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，BE 与O 相切，交 CD 的延长线于点 E，且BEDE（1）判断 CD 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若4AC，1sin3C，求O 的半径；求 BD 的长【答案】（1）CO 与O 相切，理由见解析（2）O 的半径为 2；4 63BD【解析】【
41、分析】（1）连接 OD，根据OBOD，可得OBDODB，再由BEDE，可得EBDEDB，然后根据 BE 与O 相切可得90FDBODB，即可求解；（2）设ODOAr，根据1sin3ODCOC，即可求解；由得：OC=6，OD=2，AB=4，求出4 2CD，证明CADCDB，可得22ADACBDCD，再由勾股定理，即可求解【小问 1 详解】解：CO 与O 相切，理由如下连接 OD，OBODOBDODB BEDEEBDEDB 又BE 与O 相切BEAB，即90EBA=90EBDOBD90FDBODB，即ODE=90，CDODCD 与O 相切；【小问 2 详解】解：设ODOAr，CDOD90CDO1s
42、in3ODCOC4AC，143rr，解得2r 故O 的半径为 2；由得：OC=6，OD=2，AB=4，在 RtCOD 中，2222624 2CDOCODAB 为直径90BDOADO90ADCADOADCBDO OBDODB ADCOBD 又CC CADCDB4224 2ADACBDCD设2ADx，则2BDx，由勾股定理得222ADBDAB，即222224xx解得2 63x（负值舍去）4 623BDx【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键，是中考常见题型22.2022 年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会古祥物“冰墩墩”深受人
43、们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面，某纪念品商店在开始售卖当天提供 150 个“冰墩墩”后很快就被抢购一空该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应 m 个（m 为正整数）经过连续 15 天的销售统计，得到第 x 天（115x，且 x 为正整数）的供应量1y（单位：个）和需求量2y（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量2y与 x 满足某二次函数关系（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）第 x 天1261115供应量1y（个）150150m1505m15010m15014m需求量2y（个）220229245220
44、164（1）直接写出1y与 x 和2y与 x 的函数关系式；（不要求写出 x 的取值范围）（2）已知从第 10 天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前 9 天的总需求量超过总供应量，前 10 天的总需求量不超过总供应量），求 m 的值；（参考数据：前 9 天的总需求量为 2136 个）（3）在第（2）问 m 取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为 100 元，求第 4 天与第 12 天的销售额【答案】（1）1150ymxm，226245yx（2）m 的值为 20 或 21（3）第 4 天的销售额为 21000 元，第 12 天的销售额为 20900 元【解析】【分析】（1）根据题意
45、“从第二天起，每天比前一天多供应 m 个（m 为正整数）经过连续 15 天的销售统计，得到第 x 天（115x，且 x 为正整数）的供应量1y”得到1y与 x 的函数关系式；2y与 x 满足某二次函数关系，设22yaxbx c，利用表格，用待定系数法求得2y与 x 的函数关系式；（2）用含 m 的式子表示前 9 天的总供应量和前 10 天的总供应量，根据“前 9 天的总需求量超过总供应量，前 10 天的总需求量不超过总供应量”列出不等式，求解即可；（3）在（2）的条件下，m 的最小值为 20，代入（1）中1y与 x 和2y与 x 的函数关系式求得第 4 天的销售量和第 12 天的销售量，即可求
46、得销售额【小问 1 详解】解：由题意可知，11501ym x，即1150ymxm，2y与 x 满足某二次函数关系，设22yaxbx c，由表格可知，22022942245366abcabcabc，解得：112209abc，即222122096245yxxx 【小问 2 详解】前 9 天的总供应量为：15015015021508135036mmmm，前 10 天的总供应量为：1350361509150045mmm，第 10 天的需求量与第 2 天需求量相同，为 229 个，故前 10 天的总需求量为；21362292365（个），依题意可得13503621361500452365mm，解得251
47、92196m，因为 m 为正整数，故 m 的值为 20 或 21【小问 3 详解】在（2）的条件下，m 的最小值为 20，第 4 天的销售量即为供应量：14 120 150210y（个），故第 4 天的销售额为：100 21021000（元），第 12 天的销售量即需求量22126245209y （个），故第 12 天的销售额为：100 20920900（元），答：第 4 天的销售额为 21000 元，第 12 天的销售额为 20900 元【点睛】本题考查关于销售的实际问题，是一次函数和二次函数的综合问题解题的关键在于正确理解题中的相等和不等关系23.几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著
48、作，是数学发展史的一个里程碑在该书的第 2 幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）公式：abc dadbdcd 公式：abcdacadbcbd公式：2222abaabb公式：2222abaabb图 1 对应公式_，图 2 对应公式_，图 3 对应公式_，图 4 对应公式_；（2）几何原本中记载了一种利用几何图形证明平方差公式22ababab的方法，如图 5，请写出
49、证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）（3）如图 6，在等腰直角三角形 ABC 中，90BAC，D 为 BC 的中点，E 为边 AC 上任意一点（不与端点重合），过点 E 作EGBC于点 G，作EHADF 点 H 过点 B 作 BF/AC 交 EG 的延长线于点 F记BFG 与CEG 的面积之和为1S，ABD 与AEH 的面积之和为2S若 E 为边 AC 的中点，则12SS的值为_；若 E 不为边 AC 的中点时，试问中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由【答案】（1），（2）证明见解析（3）2结论仍成立，理由见解析【解析】【分析】（1）观察图形，根据面积计算方法即可快
50、速判断；（2）根据面积关系：矩形 AKHD 面积=矩形 AKLC 面积+矩形 CLHD 面积=矩形 DBFG 面积+矩形 CLHD 面积=正方形 BCEF 面积正方形 LEGH 面积，即可证明；（3）由题意可得ABD，AEH，CEG，BFG 都是等腰直角三角形，四边形 DGEH 是正方形，设BD=a，从而用含 a 的代数式表示出 S1、S2进行计算即可；由题意可得ABD，AEH，CEG，BFG都是等腰直角三角形，四边形 DGEH 是矩形，设 BD=a，DG=b，从而用含 a、b 的代数式表示出 S1、S2进行计算即可【小问 1 详解】解：图 1 对应公式，图 2 对应公式，图 3 对应公式，图