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1、安徽省黄山市屯溪区屯溪第一中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，则=A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由补集的概念，得，故选C【考点】集合的补集运算【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化2.若函数，则（ ）A. -10B. 10C. -2D. 2【答案】C【解析】试题分析：由，故选C考点：分段函数的求值3.下列集合A到B的对
2、应中，不能构成映射的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】对于，由于的值可能是4或5，不唯一，且没有值，故中的对应不能构成映射；对于，没有值，故中的对应不能构成映射；对于，由于的值可能是3或4，不唯一，故中的对应不能构成映射；对于，满足，且，满足映射的定义，故中对应能构成映射，故选A.4.若则化简的结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 故选B.点睛：()na(a使有意义)；当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a| 5.函数的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性,单调性和函数的最值,以及函数的凹凸性即可判断.【详解】解：,易得
3、函数为偶函数,即函数图像关于轴对称， ,故当时,函数为增函数,当时,函数为减函数,当时,函数有最小值,最小值为1,故选：A【点睛】本题考查了函数的奇偶性,单调性和函数的最值,属于基础题6.若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出m，a的值，求出函数的单调区间即可【详解】解：由题意得：，解得：，故，将代入函数的解析式得：，解得：，故，令，解得：，故在递增，故选：B【点睛】本题考查了幂函数的定义以及对数函数的性质，是一道基础题7.若函数的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确度0.1）
4、为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先研究函数，再利用函数的单调性，结合二分法求函数零点，由参考数据可得,且,可得解【详解】解：由函数为增函数，由参考数据可得,且,所以当精确度时,可以将作为函数零点的近似值,也即方程根的近似值故选：C【点睛】本题主要考查利用二分法求函数零点，重点考查了函数的单调性，属基础题.8.下列结论：函数和是同一函数；函数的定义域为，则函数的定义域为；函数的递增区间为；其中正确的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A【解析】试题分析：对于，由于函数的定义域为R，的定义域为0，+），这两个函数的定义域不同，故不是同一函数，故不满
5、足条件对于，由于函数f（x-1）的定义域为1，2，故有0x-11对于函数f（3x2），可得03x21，解得x,故函数f（3x2）的定义域为-,，故不正确对于，函数y=log2（x2+2x-3），令t=x2+2x-30，求得x-3，或x1，故函数的定义域为（-，-3）（1，+），本题即求t在定义域内的增区间，利用二次函数的性质可得t的递增区间为（1，+），故不正确考点：函数的定义域，单调性。9.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为：设,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数例如：,已知函数,则函数的值域为（ ）A. B. C. 1,D
6、. 1,2,【答案】C【解析】【分析】由分式函数值域的求法得：,又,所以,由高斯函数定义的理解得：函数的值域为,得解【详解】解：因为,所以,又,所以,由高斯函数的定义可得：函数的值域为,故选：C【点睛】本题考查了分式函数值域的求法及对新定义的理解,属中档题10.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：用特殊值法，令，得，选项A错误，选项B错误， ，选项D错误， 因为选项C正确，故选C【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.1
7、1.已知函数（，且）在上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是A. B. ，C. ，D. ，）【答案】C【解析】试题分析：由在上单调递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，又时，抛物线与直线相切，也符合题意，实数的取值范围是，故选C.【考点】函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解12.已知函数,则关于
8、x的不等式的解集为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令,是定义域为R,是奇函数,并且是增函数,然后将所求不等式转换成,再利用的单调性解决【详解】由,令，则 ，由,恒成立,定义域为R,设，则是奇函数,并且是增函数, 设，则,即函数为奇函数，则函数为奇函数,又当时,为单调增函数,在R上单调递增,即又函数为增函数,所以,解得,故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用,对数函数指数函数的运算性质,属于难题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.=_【答案】【解析】【详解】试题分析：考点：对数的运算14.已知是上的偶函数，且在，单调递增，若，则的取值范围为_【答案】【解
9、析】【分析】由偶函数的性质将不等式表示为，再由函数在区间上的单调性得出与的大小关系，解出不等式即可。【详解】函数是上的偶函数，所以，由，得，函数在区间上单调递增，得，解得，因此，实数的取值范围是，故答案为：。【点睛】本题考查函数不等式的求解，对于这类问题，一般要考查函数的奇偶性与单调性，将不等式转化为（若函数为偶函数，可化为），结合单调性得出与的大小（或与的大小）关系，考查推理能力与分析问题的能力，属于中等题。15.若函数存在零点，则m的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：解：设，因为，所以函数函数存在零点时，则满足m的取值范围是-1m0，故答案为考点：函数的零点点评：本题考查函数的零点，
10、解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件16.已知函数yf（x）是定义域为R的偶函数，当x0时，若关于x的方程f（x）2af（x）b0（a，bR）有且只有7个不同的实数根，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先作出函数yf（x）的图像，观察图像可知：关于x的方程、有且只有7个不同实数根等价于方程必有两个根,其中,由根与系数的关系知,，即可得解.【详解】解：函数yf（x）图象如图所示：由题意,在和上是减函数,在和上是增函数,时,函数取极大值1,时,取极小值,时,关于x的方程、有且只有7个不同实数根,则方程必有两个根,其中,由根与系数的关系知,则，故答案为【点睛】本题考查分段函数及复合函数的
11、根的个数问题,较难,数形结合是解题的关键三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设集合,集合（1）若,求；（2）若,求实数m的取值范围【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）当时,求出集合A,B,由此能求出（2）根据和,进行分类讨论,能求出实数m的取值范围【详解】解：（1）因为集合,集合当时,（2）若,则,解得若,则,解得,要使,则或,解得综上,实数m的取值范围是或【点睛】本题考查并集的求法,考查实数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集、并集性质的合理运用18.已知函数是定义在R上的偶函数,当时,（1）求；（2）求的解析式.【答案】（1）0（2）【解析】【分析】根
12、据题意,由函数的解析式可得与的值,又由函数为偶函数,可得即可得答案；根据题意,设,即,分析可得的解析式,结合函数的奇偶性分析可得答案；【详解】解：根据题意,当时,则,又由函数为偶函数,则,则；设,即,则,又由函数为偶函数,则,则【点睛】本题考查函数的奇偶性以及单调性的综合应用,关键是求出函数的解析式,属于基础题19.攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种76种，探明储量39种，其中钒、钛资源储量分别占全国的63%和93%，占全球的11%和35%，因此其素有“钒钛之都”的美称攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值（值越大产
13、品的性能越好）与这种新合金材料的含量（单位：克）的关系为：当时，是的二次函数；当时，测得部分数据如下表：（单位：克）0261088（）求关于的函数关系式；（）求该新合金材料的含量为何值时产品的性能达到最佳【答案】（） （）当时产品的性能达到最佳.【解析】【分析】（）当0x7时，y是x的二次函数，可设yax2+bx+c（a0），利用已知条件求出a，b，c得到函数的解析式；（）利用分段函数求出函数的最值，推出结论【详解】（）当时，是的二次函数，可设，由可得，由，即，由，可得，解得，即有；当时，由，可得，即有；综上可得.（）当时，即有时，取得最大值12；当时，递减，可得，当时，取得最大值综上可得当时
14、产品的性能达到最佳.【点睛】本题考查函数的解析式的求法，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力20.已知函数f(x)对于任意x,yR,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x0时,f(x)x2,则x1-x20,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).又x0时,f(x)0,f(x1-x2)0,即f(x1)x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2).又x0时,f(x)0,f(x1-x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)在R上为减函数.(2)f(x)在R上是减函数,f(x)在-3
15、,3上也是减函数,f(x)在-3,3上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).而f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2.f(x)在-3,3上的最大值为2,最小值为-2.21.已知函数,函数若的定义域为,求实数的取值范围；当,求函数最小值；是否存在实数,使得函数定义域为,值域为？若存在,求出的值；若不存在,则说明理由【答案】（1）；（2）；（3），【解析】【分析】（1）因为的定义域为，所以对任意实数恒成立.当m=0时显然不满足，当m不为0时，内层函数为二次函数，需要开口向上且判别式小于0，即可满足要求（2）x-1，1时，求函数是一个复合函数，复合函数的最值一般分两步来求，第一
16、步求内层函数的值域，第二步研究外层函数在内层函数值域上的最值，本题内层函数的值域是确定的一个集合，而外层函数是一个系数有变量的二次函数，故本题是一个区间定轴动的问题(3) 根据函数的单调性，列出方程组 转化为：即m、n是方程的两非负实根，且mn.即可得解.【详解】（1）由题意对任意实数恒成立,时显然不满足 （2）令,则 （3） 函数在,单调递增, 又 ，【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图形特征，利用换元法构造新函数，分类讨论求函数的最值以及函数单调性的应用，属中等题22.已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上
17、最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【详解】试题分析：（1）当时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可；（3）根据条件得到，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.试题解析：（1）由，得，解得（2）由f（x）log2（a4）x+2a50得log2（a）log2（a4）x+2a50即log2（a）log2（a4）x+2a5，即a（a4）x+2a50，则（a4）x2+（a5）x10，即（x+1）（a4）x10，当a4时，方程的解为x1，代入，成立当a3时，方程的解为x1，代入
18、，成立当a4且a3时，方程的解为x1或x，若x1是方程的解，则aa10，即a1，若x是方程的解，则a2a40，即a2，则要使方程有且仅有一个解，则1a2综上，若方程f（x）log2（a4）x+2a50的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1a2，或a3或a4（3）函数f（x）在区间t，t+1上单调递减，由题意得f（t）f（t+1）1，即log2（a）log2（a）1，即a2（a），即a设1tr，则0r，当r0时，0，当0r时，yr在（0，）上递减，r，实数a的取值范围是a【一题多解】（3）还可采用：当时，所以在上单调递减则函数在区间上的最大值与最小值分别为，即，对任意成立因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得故的取值范围为- 18 -