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1、高等数学在工艺中的应用【摘 要】通过工艺工作中的若干实例,介绍了导数、微分等高等数学知识在工艺中的应用；采用对比的方法,分别用初等数学知识和高等数学知识来解决工艺工作中所遇到的计算问题,通过对比可知,正确的应用高等数学知识将会给工艺工作带来极大地便利.1 引言工艺人员的技术水平和设备的加工能力，对产品外观和性能的优劣及生产成本起着关键作用。工艺人员在实际工作中要涉及到各种计算，这些计算大部分可利用初等数学的知识来解决。工作中，灵活、恰当的运用高等数学的相关知识解决工艺工作中的具体问题，可以起到事半功倍的作用，有些具体的计算工作，甚至只能运用高等数学的知识才能解决。 2 高等数学在工艺中的应用高
2、等数学在工艺中的应用十分广泛，如用有限元法对材料进行可靠性分析，利用矩 阵计算刀具的相关角度，用线性规划的方法解决下料问题等。下面就工艺中常见的 计算问题，通过几个具体的实例进行讨论，从中可看到在工艺工作中用高等数学解 决实际的计算问题，具有方便、简捷、可行、准确等特点，能极大地提高工作效率， 有利于提高工艺人员的技术水平。2.1 平面尺寸链的计算如图 1 所示，在镗床上加工 240 通孔时，为了保证孔心距的精度要求，须计算出尺寸 X 和尺寸 Y 以及它们的公差值。2.1.1 微分法在尺寸 L、X、Y 所组成的平面尺寸链中，L 为封闭环，X、Y 为组成环，且尺寸链呈封闭的直角三角形。因此，下式
3、成立:对式(1)进行全微分，得下式:式中:图 1 孔系加工由于尺寸 X 值和尺寸 Y 值，两者相差不大，可采用等公差法，即 dX=dY，此时式(3)变为:式中:dX 为组成环公差;dL 为封闭环公差;L，X，Y 为公称尺寸。代入数据:亦即:dY=0.176考虑到尺寸 X 和尺寸 Y 均为长度尺寸，公差带应对称分布，故 X 和 Y 的工艺尺寸为:X=103.920.088，Y=600.0882.1.2 投影法在计算平面尺寸链时，首先应将平面尺寸链转变为线性尺寸链，然后再按线性尺寸链计算。具体的转变方法是:将尺寸 X 和尺寸 Y 向 L 尺寸线上投影，即将此平面尺寸链转化为由 Xcos30、Ysi
4、n30及 L 三尺寸组成的线性尺寸链(见图 2)。在此尺寸链中 Xcos30、Ysin30是增环，L 是封闭环。由于封闭环的公差等于各组成环 公差之和，故有下式成立:L= Xcos30+ Ysin30由于尺寸 X 值和尺寸 Y 值，二者相差不大，可采用等公差法，即: X= Y这样上式就变为:同理，dY=0.176考虑到尺寸 X 和尺寸 Y 均为长度尺寸，公差带应对称分布，这样镗孔时的工艺尺寸为:X=103.920.088，Y=600.088图 2 平面尺寸链的转换2.1.3 分析与讨论从上述两种求解平面尺寸链的过程，可以知道，在用投影法解平面尺寸链时，首先必须将平面尺寸链转化为线性尺寸链，然后
5、再解线性尺寸链。因此，与微分法相比较，显得较为繁琐。而用微分法解平面尺寸链时，只要根据平面尺寸链图，以封闭环为因变量，组成环为自变量，建立函数表达式，组成一个二元函数，然后对此二元函数求全微分，从而求得组成环的公差值。从步骤上来讲后者比前者简捷，省略了将平面尺寸链转化为线性尺寸链的步骤1。2.2 镀层的重量计算问题的提出:有一椭球体是由椭圆方程 X2/52+Y2/32=1 绕 X 轴旋转而成(见图 3)， 现需要在椭球体表面镀铜，镀层厚底为 0.01cm，每个椭球体表面需要铜多少克(铜的密度 8.9g/cm3)? 图 3 椭球型工件2.2.1 微分法欲求椭球体表面铜的质量，须先求出镀层的体积。
6、当椭圆方程为 X2/52+Y2/32=1 绕 X 轴旋转而成的椭球体时，其体积公式为:式中:V 为椭球体体积;为圆周率;a 为椭球长半轴;b 为椭球短半轴。对式(1)进行全微分，得下式:其中:，代入式(5)得:因为镀铜工艺能够保证镀层均匀厚度一致，所以有 da=db，则下式成立:由已知条件可知:a=5，b=3，da=0.01，将上述数据代入(8)得:于是，每个椭球体上的铜镀层质量为: dW=dV=8.91.6328=14.5319(g)2.2.2 初等数学计算法要计算椭球体上铜镀层的质量，首先要知道铜镀层的体积，由于铜镀层的体积等于镀铜后的椭球体积减去镀铜前的椭球体积，所以下式成立:式中:V
7、为铜镀层体积;为圆周率;a 为镀铜后椭球长半轴;b 为镀铜后椭球短半轴;A 为镀铜前椭球长半轴;B 为镀铜前椭球短半轴。由于镀铜工艺能保证镀层均匀厚度一致，所以下式成立:式中:R 为铜镀层厚度。亦即:将式(11)代入式(9)得:将式(12)化简整理后得:由已知条件可知，当a=5 ，b=3，R=0.01 时:则每个椭球体的铜镀层质量为: W=V=8.91.6299=14.5061(g)2.2.3 分析与讨论用微分法计算铜镀层的重量，方法简单，计算公式简捷，不容易在计算过程中产生错误，而用初等数学计算法计算铜镀层时，其推导过程较为繁琐，推出的结论性公式也较微分法的公式冗长，在计算时增加了出错的概率
8、。有一点须要说明，用两种方法计算的结果有微小的差异，这是由于用微分法计算是一种近似计算(镀层越薄 这两种计算的结果就越接近)。然而即使是这样，在实际工作中并不影响到微分法 的应用，因为二者之间的误差很小，不会影响到计算结果的可靠性。如在本例中， 二者之间的绝对误差:D=14.531914.5061=0.0258(g)相对误差:可见这两种误差值都很小，故并不影响到微分法的应用。2.3 砂轮直径的选取问题的提出:在产品的制造过程中，有时需要对工件的内表面进行抛光处理，如果 工件内表面的截线为二次曲线(抛物线、双曲线、椭圆)时，为了在抛光时不使砂轮与工件接触处附近的那部分工件磨去太多，砂轮的半径应小
9、于或等于二次曲线上各点处曲率半径中的最小值。因此在这种情况下，怎样选择砂轮直径就是一个必须解决的问题。2.3.1 求导法要选取砂轮的直径，首先要知道二次曲线上哪一点的曲率半径最小，由相关的数学知识，可以知道，在抛物线和双曲线的顶点处以及椭圆长轴的顶点处曲率半径最小 (证明略)，下面以抛物线为例，用求导法来确定砂轮的直径。设某工件内表面的截线为抛物线，其方程为:对 x 求一阶导数得:对式(15)求 x 的二阶导数得:将式(15)代入式(16)得:将即代入曲率公式(2)可求出抛物线上任意一点的曲率:将上式化简为:又因为 y2=8x，代入式(19)得:在抛物线顶点 x=0 时，该点曲率:又因为曲率
10、k 和曲率半径 互为倒数关系，所以该抛物线方程在顶点处的曲率半径 为:所以选用砂轮的半径不得超过 4 单位长，即砂轮直径不得超过 8 单位长。2.3.2 模拟法对于截线是二次曲线(抛物线、双曲线、椭圆)的待抛光工件内表面的顶点，根据工件的大小估计拟选用砂轮的直径，然后用初步选中的砂轮，在工件内表面的顶点用手拿着砂轮模拟砂轮的切削运动，仔细观察砂轮能否接触到工件的顶点，如果砂轮在接触到工件顶点时，砂轮的其余部分不与工件内表面接触，则说明选择的砂轮半径小于或等于工件二次曲线(抛物线、双曲线、椭圆)顶点处的最小曲率半径，即选取的砂轮直径，能够满足工艺要求;否则应按上述方法继续选择合适的砂轮直径， 直
11、至满足工艺要求为止。2.3.3 分析与讨论用求导法来选择砂轮的直径，思路清晰，目标明确，计算方法也很简单。而用模拟法来选择砂轮的直径，就显得过于繁琐，由于没有理论知识做指导，偏重于操作者的实际经验，因此容易出现重复劳动，工作效率较低。比较这两种选择砂轮直径的方法，求导法的优点显而易见。3 结语以上所举的三个例子仅是机械制造工艺中常见的问题，其实高等数学在机械制造工艺中的应用十分广泛，这也足以说明，在工艺工作中灵活的应用高等数学，来解决实际问题，能起到事半功倍的作用，提高工作效率，而且有些问题是必须依赖于高等数学才能解决，如圆柱面上的孔系加工、方孔钻的运动分析、曲线加工中的插值问题等，因此，对于工艺人员来讲，在实际工作中高等数学将是我们迅速、快捷、准确地解决问题的有力工具，使工艺工作更加科学参考文献:1 梁继勇.平面尺寸链的两种解法J.山东机械，1995(4):2324.2 同济大学数学教研室.高等数学(上)M.北京:高等教育出版社，1989.