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1、（北京）股份有限1汕头市金山中学汕头市金山中学 2023 届高三第一学期摸底考试届高三第一学期摸底考试数数学学一、单选题（一、单选题（18 题）题）1已知集合4,3,2,1A，Nlog2xxB，则BA=()A2,1B4,2C4,2,1D32设复数z满足izi2)1(，则|z=()A210B25C10D53已知平面向量eba,满足1|e，1ea，2eb，则|ba的最小值为()A1B23C2D34等差数列na的前n项和为nS，若63S，216S，则9S=()A27B45C18D365若圆122 yx上总存在两个点到点)1,(a的距离为 2，则实数a的取值范围是()A)22,0()0,22(B)22
2、,22(C)1,0()0,1(D)1,1(6已知3cos1sin，则tan=()A33B33C3D37已知三棱锥ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABC为等边三角形，且其所在圆1O的面积为.6若三棱锥ABCD的体积的最大值为39，则球O的体积为()A3256B6343C256D23438设函数0),4sin(0,ln)(xxxxxxf有 4 个不同零点，则正实数的范围为()A413,49B413,49C413,49D413,49（北京）股份有限2（9-12 多选题）多选题）9已知不等式02cbxax的解集为1xx或3x，则下列结论正确的是()A0aB0cbaC0cD02abxcx的解集为31
3、|xx或1x10函数)0(cossin)(axaxxf在一个周期内的图象可以是()11下列判断，正确的选项有()A若)(xf的图象关于点)0,(a对称)(kxaf是奇函数)0(kB曲线)21()22(xfxfy的图象关于直线21x对称；C函数)(xf定义在R上的可导函数，其导函数)(xf为奇函数，则)(xf为偶函数D 函数)(xf定义在R上的可导函数，导函数)(xf，且)23(xf是偶函数，则)(xf的图象关于点)2(,2(f对称12如图，正方形ABCD中，aCD，ECDE3，将ADE沿AE翻折到AEP位置，点P平面ABCD内，记二面角CABP大小为，在折叠过程中，满足下列什么关系()A四棱锥
4、ABCEPV最大值为83aB角可能为 61C1615tanD773tan二、填空题二、填空题13已知向量)3,1(a，),6(mb，且baa/，则m=.（北京）股份有限314如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为 70 米，水平方向上塔身最窄处的半径为 20 米，最高处塔口半径 25米，塔底部塔口半径为220米，则该双曲线的离心率为_15已知baxaxxf3)2()(2，若存在常数a，使0)(xf恒成立，则b的取值范围是.16直线l过抛物线)0(22ppxy的焦点)0,1(F且与抛物线交于BA、两点，则|2|BFAF 的最小值为.三、解答
5、题（三、解答题（17 题题 10 分，其余每题各分，其余每题各 12 分）分）17记nS为数列na的前n项和，已知nnnaSnn21)证明：na是等差数列；2)若641,aaa成等比数列，求nSn9的最小值18设ABC的三个内角CBA,所对的边分别为,cba且ABCSBacc2cos332.1)求角A的大小；2)若2a，求cb的取值范围19全国中学生生物学竞赛隆重举行为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了 50 名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于 40 至 100 之间，将数据按照40，50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，10
6、0分成 6 组，制成了如图所示的频率分布直方图（北京）股份有限4(1)求频率分布直方图中m的值，并估计这 50 名学生成绩的中位数；(2)在这 50 名学生中用分层抽样的方法从成绩在70，80)，80，90)，90，100的三组中抽取了 11 人，再从这 11 人中随机抽取 3 人，记为 3 人中成绩在80，90)的人数，求的分布列和数学期望；20如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD正方形，平面PAB底面ABCD，平面PAD底面ABCD，ADPA2，HFE,分别是ABPDPA,的中点，G为DF的中点1)证明：/GH平面BEF；2)求PC与平面BEF所成角的正弦值21已知1F为椭圆)0(1:
7、2222babyaxC的左焦点，直线by22与C交于BA,两点，且1ABF的周长和面积分别是244和 21)求椭圆C的方程；2)如图，若)1,2(P关于原点的对称点为Q，不经过P且斜率为21的直线l与C交于点,ED直线PD与QE交于点M，证明点M在定直线上22已知函数2)(xaexfx，和2)2(ln)(xaxxg,1)若)(xf与)(xg有相同的最小值，求a的值；2)设2ln2)()()(axgxfxF有两个零点，求a的取值范围（北京）股份有限5数学参考答案数学参考答案单选 18 题CAD BAC BA（912 多选题）9ABC10AC11ACD12AD-18，5，15b222171)由已知
8、nnnaSnn2)2(1)1()1(211nnnanSnn由-，得)1(2)1(1nannaannn即)1(2)1()1(1nanannn21nnaa，2n且*Nn na是以 2 为公差的等差数列5 分(2)由(1)可得614 aa，1016 aa641,aaa成等比数列，6124aaa 即)10()6(1121aaa，解得181annnnnSn1922)1(18213199219991992nnnnnnnnSn当且仅当nn9，即3n时，nSn9的最小值为-1310 分18解：1）在ABC中，AbcSABCsin21.1 分AbcBacSBaccABCsincos32cos332，0 c，Ab
9、Bacsincos332 分由正弦定理ABBACsinsincossin3sin33 分)sin(sinBACABBAsinsinsincos30sin B，AAsincos33tanA，4 分 A0，3A5 分2）342322sinsinsinRCcBbAa，7 分)32sin(sin34)sin(sin34BBCBcb（北京）股份有限6)6sin(4B10 分320 B6566B，11 分4)6sin(42B，当3B取得最大值所求的.42cb12 分19 1)由频率分布直方图的性质可得，110)004.0028.003.0022.0004.0(m，设中位数为a，5.03.0)60(1002
10、2.010004.0a解得68a4 分2)100,90),90,80),80,70的三组频率之比为 0.28：0.12：0.04=7：3：1从100,90),90,80),80,70中分别抽取 7 人，3 人，1 人，6 分所有可能取值为 0，1，2，3，7 分16556)0(31138CCP，5528)1(3111328CCCP，558)2(3112318CCCP，1651)3(31133CCP故的分布列为：0123P165565528558165110 分故.11916513558255281165560)(E12 分201)如图，取AE中点M，连接FEMHMG,分别是PDPA,的中点，A
11、DEF/，又MG,分别是AEDF,的中点，ADEFMG/，MG平面EFBEF,平面BEF，/MG平面BEF，同理，HM,分别是ABAE,的中点，MHEBMH,/平面BEF，EB平面/,MHBEF 平面BEF，又MMHMG，MG平面MHMHG,平面,MHG平面/MHG平面GHBEF,平面MHG，/GH平面BEF，6 分2）先证PA平面ABCD7 分（北京）股份有限7如图，以A为坐标原点，APADAB,的方向分别为zyx,轴的正方向建立空间直角坐标系xyzA，设2AB，则)2,1,0(),2,0,0(),4,0,0(),0,2,2(),0,0,2(FEPCB，可 得)2,0,2(BE，)2,1,2
12、(BF，)4,2,2(PC8 分设平面BEF的法向量为),(zyxm，可得00BFmBEm，即022022zyxzx，令1x，得)1,0,1(m，10 分故636222|,cosPCmPCmPCm，即PC与平面BEF所成角的正弦值为6312 分21(1)解：将by22代 入)0(1:2222babyaxC中，解 得ax22，则aAB2|，1 分所以1ABF的面积为2222221abba，所以4ab.2 分设C的右焦点为1F，连接2AF，由椭圆的对称性可知|21AFBF，所以1ABF的周长为aAFAFABBFAFAB)22(|2111，所以244)22(a，由解得2,22ba，4 分所以C的标准
13、方程为12822yx.5 分(2)解：设),(),(2211yxEyxD，直线l的方程为mxy21，0 m，联立直线l与椭圆C的方程，并消去y得042222mmxx，则0)42(4422mm，得22m且0m，且mxx221，7 分（北京）股份有限822121212111111xmxmxxykPD，22121212122222xmxmxxykQE，所以直线PD的方程为)2(22111xxmy，即2222111xmxxmy，直线QE的方程为)2(22112xxmy，即2222122xmxxmy，9 分联立直线PD与直线QE的方程，得2222222121xmxmxxmxm，得4)(22121xxxx
14、xM，2222111xmxxmyMM，所以)(2422221212111xxxxxmxmxyMM)(2(4221)(2()4()(2121112112121xxxxmxxxxxxxm.2122121xxm所以MMxy21，即点M在定直线02yx上.12 分22解：1）2)(xaexfx，01)(xaexf当0a时，)(,0)(xfxf单调递减，无最值，0a，得aex1说单调1ln)ln()(minaafxf2 分说单调agxgln1)1()(min3 分依题aaln11lnea 4 分2）)2(2ln)2ln()(xaxaexFx21)(xaexFx，令0)(xF，2100 xaex，6 分),2ln(2)2(212ln)2ln()()(00000min0 xxxaxaexFxFx（北京）股份有限912,0)(00 xxF8 分又1)2ln(22ln00 xxa1lna，得.0ea 9 分0)(0 xF，0)2(,0)10(ln2eaFaF)(xF在),2(0 xx与),(0 xx各有一个零点11 分所以所求的.0ea 12 分