2021年各地高考数学真题汇总.zip

.绝密启用前绝密启用前2021 年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）文科数学文科数学注意事项注意事项:1答卷前答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时回答选择题时,选出每小题答案后选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号回答非选择题时再选涂其他答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上无效将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回将本试卷和答题卡一并交回一、选择题一、选择题:本题共本题共 12 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集1,2,3,4,5U,集合1,2,3,4MN,则()UMN（）A 5 B1,2 C3,4 D1,2,3,42设i43iz,则z（）A34i B34i C34i D34i3已知命题:,sin1pxx R命题:qx R|e1x,则下列命题中为真命题的是（）Apq Bpq Cpq Dpq4函数()sincos33xxf x 的最小正周期和最大值分别是（）A3和2 B3和 2 C6和2 D6和 25若,x y满足约束条件4,2,3,xyxyy则3zxy的最小值为（）A18 B10 C6 D46225coscos1212（）A12 B33 C22 D327在区间10,2随机取 1 个数，则取到的数小于13的概率为（）A34 B23 C13 D168下列函数中最小值为 4 的是（）A224yxx B4sinsinyxx .C222xxy D4lnlnyxx9设函数1()1xf xx，则下列函数中为奇函数的是（）A11f x B11f x C11f x D11f x 10在正方体1111ABCDABC D中，P 为11B D的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A2 B3 C4 D611设 B 是椭圆22:15xCy的上顶点，点 P 在 C 上，则PB的最大值为（）A52 B6 C5 D212设0a，若xa为函数 2fxa xaxb的极大值点，则（）Aab Bab C2aba D2aba二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13已知向量2,5,4ab，若ab，则_14双曲线22145xy的右焦点到直线280 xy的距离为_15记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为3，60B，223acac，则b _16以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_（写出符合要求的一组答案即可）三、解答题共三、解答题共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分17（12 分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：.旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为21s和22s（1）求x，y，21s，22s；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210ssyx，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）18（12 分）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M 为BC的中点，且PBAM（1）证明：平面PAM 平面PBD；（2）若1PDDC，求四棱锥PABCD的体积19（12 分）设 na是首项为 1 的等比数列，数列 nb满足3nnnab 已知1a，23a，39a成等差数列（1）求 na和 nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为 na和 nb的前 n 项和证明：2nnST 20（12 分）已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点 F 到准线的距离为 2（1）求 C 的方程;（2）已知 O 为坐标原点,点 P 在 C 上,点 Q 满足9PQQF ,求直线OQ斜率的最大值.21(12 分)已知函数32()1f xxxax（1)讨论 fx的单调性；（2）求曲线 yf x过坐标原点的切线与曲线 yf x的公共点的坐标（二）选考题（二）选考题:共共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第.一题计分一题计分22选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分)在直角坐标系xOy中,C的圆心为2,1C,半径为 1（1)写出C的一个参数方程;（2)过点4,1F作C的两条切线以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程23选修 4-5:不等式选讲(10 分)已知函数 3f xxax(1)当1a 时,求不等式 6f x 的解集;(2)若 f xa,求 a 的取值范围2021 年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）文科数学参考答案文科数学参考答案一、选择题1.A 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.B 8.C 9.B 10.D 11.A 12.D二、填空题13.85 14.5 15.2 2 16.（答案不唯一）三、解答题（一）必考题17.（1）221210,10.3,0.036,0.04xyss；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.（1）因PD 底面ABCD，AM 平面ABCD，所以PDAM，为.又PBAM，PBPDP，所以AM 平面PBD，而AM 平面PAM，所以平面PAM 平面PBD（2）2319.（1）11()3nna，3nnnb；（2）211213333nnnnnT，01211111122 3333nnS，23012112311111233332 3333nnnnSnT012111012222333111233 nnnn设01211111012122223333 nnn，则123111101211222233333 nnn 由-得112111331211111332213233332313 nnnnnnn所以211312432323 nnnnnn因此10232323 nnnnnSnnnT故2nnST 20.（1）24yx；（2）最大值为13.21.(1)由函数的解析式可得：232fxxxa，.导函数的判别式4 12a，当14 120,3aa 时，0,fxf x在 R 上单调递增，当时，的解为：1211 311 3,33aaxx，当11 3,3ax 时，单调递增；当11 311 3,33aax时，单调递减；当11 3,3ax时，单调递增；综上可得：当时，在 R 上单调递增，当时，在11 3,3a，11 3,3a上单调递增，在11 311 3,33aa上单调递减.(2)和11 a，（二）选考题22.（1）2cos1 sinxy，（为参数）；（2）53sin262和3sin26223.（1）,42,.（2）3,2..绝密启用前绝密启用前2021 年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）理科数学理科数学注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设2()3()46izzzz，则z（）A12i B12i C1i D1i2已知集合21,Ss snnZ，41,Tt tnnZ，则ST（）A BS CT DZ3已知命题:px R，sin1x；命题:qx R，|e1x，则下列命题中为真命题的是（）Apq Bpq Cpq D()pq4设函数1()1xf xx，则下列函数中为奇函数的是（）A(1)1f x B(1)1f x C(1)1f x D(1)1f x 5在正方体1111ABCDABC D中，P为11B D的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A2 B3 C4 D66将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有（）A60 种 B120 种 C240 种 D480 种7把函数()yf x图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数sin4yx的图像，则()f x（）A7sin212x Bsin212x C7sin 212x Dsin 212x8在区间(0,1)与(1,2)中各随机取 1 个数，则两数之和大于74的概率为（）.A79 B2332 C932 D299魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB（）A表高表距表高表目距的差 B表高表距表高表目距的差C表高表距表距表目距的差 D表高表距-表距表目距的差10设0a，若xa为函数2()()()f xa xaxb的极大值点，则（）Aab Bab C2aba D2aba11设B是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点，若C上的任意一点P都满足|2PBb，则C的离心率的取值范围是（）A2,12 B1,12 C20,2 D10,212设2ln1.01a，ln1.02b，1.041c 则（）Aabc Bbca Cbac Dcab二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13已知双曲线22:1(0)xCymm的一条渐近线为30 xmy，则 C 的焦距为_14已知向量1,3,3,4ab，若()abb，则_15记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，面积为3，60B，223acac，则b _16以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_（写出符合要求的一组答案即可）.三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17（12 分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为21s和22s（1）求2212,x y ss（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210ssyx，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）18（12 分）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，1PDDC，M 为BC的中点，且PBAM（1）求BC，（2）求二面角APMB的正弦值19（12 分）.记nS为数列 na的前 n 项和，nb为数列 nS的前 n 项积，已知212nnSb（1）证明：数列 nb是等差数列;（2）求 na的通项公式20（12 分）设函数 lnfxax，已知0 x 是函数 yxfx的极值点（1）求 a；（2）设函数()()()xf xg xxf x证明:1g x 21（12 分）已知抛物线2:20C xpy p的焦点为 F，且 F 与圆22:(4)1Mxy上点的距离的最小值为 4（1）求 p；（2）若点 P 在 M 上，,PA PB是 C 的两条切线，,A B是切点，求PAB面积的最大值（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，C的圆心为2,1C，半径为 1（1）写出C的一个参数方程；（2）过点4,1F作C的两条切线 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数 3fxxax（1）当1a 时，求不等式 6fx 的解集；（2）若 fxa，求 a 的取值范围2021 年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）理科数学参考答案理科数学参考答案一、选择题1.C 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C 7.B 8.B 9.A 10.D 11.C 12.B 二、填空题.13.4 14.35 15.2 2 16.（答案不唯一）三、解答题（一）必考题17.（1）221210,10.3,0.036,0.04xyss；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.（1）2；（2）701419.（1）由已知212nnSb得221nnnbSb,且0nb，取1n,得132b,由题意得121222221 2121nnnbbbbbbb,消积得到项的递推关系111221nnnnbbbb,进而证明数列 nb是等差数列;（2）3,121,21nnann n20.（1）1a；（2）由（）知，ln(1)11()ln(1)ln(1)xxg xxxxx，其定义域为(,0)(0,1)要证()1g x，即证111ln(1)xx，即证1111ln(1)xxxx（）当(0,1)x时，10ln(1)x，10 xx，即证ln(1)1xxx令()ln(1)1xF xxx，因为2211()01(1)(1)xF xxxx，所以()F x在区间(0,1)内为增函数，所以()(0)0F xF（）当(,0)x 时，10ln(1)x，10 xx，即证ln(1)1xxx，由（）分析知()F x在区间(,0)内为减函数，所以()(0)0F xF综合（）（）有()1g x 21.（1）2p；（2）20 5.（二）选考题.22.（1）2cos1 sinxy，（为参数）；（2）53sin262和3sin26223.（1）,42,.（2）3,2..绝密启用前绝密启用前202l 年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）文科数学文科数学注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合1,3,5,7,9,27MNxx，则MN A7,9B5,7,9C3,5,7,9D1,3,5,7,92为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是A该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6%B该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10%C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元D估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间3已知2(1 i)32iz，则z.A31i2 B31i2 C3i2D3i24下列函数中是增函数的为A fxx B 23xfxC 2f xxD 3fxx5点3,0到双曲线221169xy的一条渐近线的距离为A95B85C65D456青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法 记录视力 数据，五 分记 录法 的数据 L 和 小数 记录 法的 数据 V 满 足5lgLV 已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（10101.259）A1.5B1.2C0.8D0.67在一个正方体中，过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E，F，G该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是ABCD8在ABC中，已知120B，19AC，2AB，则BC A1B2C5D39记nS为等比数列 na的前 n 项和若24S，46S，则6S A7B8C9D1010将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为A0.3B0.5C0.6D0.811若cos0,tan222sin，则tan.A1515B55C53D15312设 fx是定义域为 R 的奇函数，且1fxfx若1133f，则53fA53B13C13D53二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13若向量,a b满足3,5,1aaba b，则b_14已知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为30，则该圆锥的侧面积为_15 已 知 函 数 2cosf xx的 部 分 图 像 如 图 所 示，则2f_16 已知12,F F为椭圆 C：221164xy的两个焦点，P，Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQFF，则四边形12PFQF的面积为_三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程程或演算步骤.第第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分17（12 分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200.合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：22()()()()()n adbcKab cdac bd，2P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818（12 分）记nS为数列 na的前 n 项和，已知210,3naaa，且数列nS是等差数列，证明：na是等差数列19（12 分）已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AAB B为正方形，2ABBC，E，F 分别为AC和1CC的中点，11BFAB（1）求三棱锥FEBC的体积；（2）已知 D 为棱11AB上的点，证明：BFDE20（12 分）设函数22()3ln1f xa xaxx，其中0a（1）讨论 fx的单调性；（2）若 yf x的图像与 x 轴没有公共点，求 a 的取值范围21（12 分）抛物线 C 的顶点为坐标原点 O焦点在 x 轴上，直线 l：1x 交 C 于 P，Q 两点，且OPOQ已知点2,0M，且M与 l 相切.（1）求 C，M的方程；（2）设123,A A A是 C 上的三个点，直线12A A，13A A均与M相切 判断直线23A A与M的位置关系，并说明理由（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2 2cos（1）将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点 A 的直角坐标为1,0，M 为 C 上的动点，点 P 满足2APAM ，写出P的轨迹1C的参数方程，并判断 C 与1C是否有公共点23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数()2,()2321f xxg xxx（1）画出 yf x和 yg x的图像；（2）若 f xag x，求 a 的取值范围202l 年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）文科数学参考答案文科数学参考答案一、选择题1.B 2.C 3.B 4.D 5.A 6.C 7.D 8.D 9.A 10.C 11.A 12.C 二、填空题.13.3 2 14.39 15.3 16.8 三、解答题（一）必考题17.（1）75%；60%；（2）能.18.【详解】数列nS是等差数列，设公差为d212111aaaaSS111(1)nSanaan，()nN12nSa n，()nN当2n 时，221111112nnnaSSa na na na当1n 时，11121=aaa，满足112naa na，na的通项公式为112naa na，()nN111111221=2nnaaa naa naa na是等差数列.19.(1)13；（2）由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为 2 的正方体1111ABCMABC M，如图所示，取棱,AM BC的中点,H G，连结11,AH HG GB，正方形11BCC B中，,G F为中点，则1BFBG，又111111,BFAB ABBGB，故BF 平面11ABGH，而DE 平面11ABGH，从而BF DE.20.（1）f x的减区间为10,a，增区间为1,+a；（2）1ae.21.（1）抛物线2:C yx，M方程为22(2)1xy；（2）相切，方法一：方法一：设111222333(),(,),(,)A x yA xyA xy若12A A斜率不存在，则12A A方程为1x 或3x，若12A A方程为1x，根据对称性不妨设1(1,1)A，则过1A与圆M相切的另一条直线方程为1y，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A，不合题意；若12A A方程为3x，根据对称性不妨设12(3,3),(3,3),AA则过1A与圆M相切的直线13A A为33(3)3yx，又1313313133113,033A Ayykyxxyyy，330,(0,0)xA，此时直线1323,A A A A关于x轴对称，所以直线23A A与圆M相切；若直线121323,A A A A A A斜率均存在，则1 21 323121323111,A AA AA Akkkyyyyyy，所以直线12A A方程11121yyxxyy，整理得1212()0 xyyyy y，同理直线13A A的方程为1313()0 xyyyy y，直线23A A的方程为2323()0 xyyyy y，12A A与圆M相切，12212|2|11()y yyy整理得22212121(1)230yyy yy，13A A与圆M相切，同理22213131(1)230yyy yy所以23,yy为方程222111(1)230yyy yy的两根，2112323221123,11yyyyyyyy，为.M到直线23A A的距离为：21223122123213|2|2|121()1()1yy yyyyyy 22112222111|1|111(1)4yyyyy，所以直线23A A与圆M相切；综上若直线1213,A A A A与圆M相切，则直线23A A与圆M相切.方法二方法二【最优解】：【最优解】：设222111113333322222,A x yyx A x yyx A x yyx当12xx时，同解法解法 1当12xx时，直线12A A的方程为211121yyyyxxxx，即121212y yxyyyyy由直线12A A与M相切得12122122111y yyyyy，化简得121212130y yxxx，同理，由直线13A A与M相切得1 31312130y yxxx 因为方程1112130y yxxx 同时经过点23,A A，所以23A A的直线方程为1112130y yxxx，点 M 到直线23A A距离为11122211121311411xxxyxx所以直线23A A与M相切综上所述，若直线1213,A A A A与M相切，则直线23A A与M相切（二）选考题22.（1）2222xy；（2）P 的轨迹1C的参数方程为322cos2sinxy（为参数），C 与1C没有公共点.23.（1）可得2,2()22,2x xf xxxx，画出图像如下：.34,231()232142,2214,2xg xxxxxx，画出函数图像如下：（2）112a..绝密启用前绝密启用前2021 年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）理科数学理科数学注意事项注意事项:1答卷前答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时回答选择题时,选出每小题答案后选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号回答非选择题时再选涂其他答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上无效将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回将本试卷和答题卡一并交回一、选择题一、选择题:本题共本题共 12 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合104,53MxxxNx，则MN（）A103xx B143xx C45xx D05xx2为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6%B该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10%C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元D估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间3已知2(1 i)32iz，则z（）A31i2 B31i2 C3i2 D3i24青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录法的数据 V 的满足5lgLV 已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据为.（）（10101.259）A1.5 B1.2 C0.8 D0.65已知12,F F是双曲线 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，且121260,3FPFPFPF，则 C 的离心率为（）A72 B132 C7 D136在一个正方体中，过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E，F，G该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是（）A B C D7等比数列 na的公比为 q，前 n 项和为nS，设甲：0q，乙：nS是递增数列，则（）A甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件82020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一右图是三角高程测量法的一个示意图，现有 A，B，C 三点，且 A，B，C 在同一水平面上的投影,A B C满足45AC B ，60A B C 由 C 点测得 B 点的仰角为15，BB与CC的差为 100；由 B 点测得 A点的仰角为45，则 A，C 两点到水平面A B C 的高度差AACC约为（31.732）（）A346 B373 C446 D4739若cos0,tan222sin，则tan（）.A1515 B55 C53 D15310将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（）A13 B25 C23 D4511已如 A，B，C 是半径为 1 的球 O 的球面上的三个点，且,1ACBC ACBC，则三棱锥OABC的体积为（）A212 B312 C24 D3412 设函数 fx的定义域为 R，1f x 为奇函数，2f x 为偶函数，当1,2x时，2()f xaxb若 036ff，则92f（）A94 B32 C74 D52二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13曲线212xyx在点1,3 处的切线方程为_14已知向量3,1,1,0,kabcab若ac，则k _15 已知12,F F为椭圆 C：221164xy的两个焦点，P，Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQFF，则四边形12PFQF的面积为_16 已 知 函 数 2cos()f xx的 部 分 图 像 如 图 所 示，则 满 足 条 件74()()043f xff xf的最小正整数 x 为_三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第分解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分17（12 分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：.一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n adbcKab cdac bd2P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818（12 分）已知数列 na的各项均为正数，记nS为 na的前 n 项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列 na是等差数列：数列nS是等差数列；213aa注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分19（12 分）已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AAB B为正方形，2ABBC，E，F 分别为AC和1CC的中点，D 为棱11AB上的点，11BFAB（1）证明：BFDE；（2）当1B D为何值时，面11BBC C与面DFE所成的二面角的正弦值最小?20（12 分）抛物线 C 的顶点为坐标原点 O焦点在 x 轴上，直线 l：1x 交 C 于 P，Q 两点，且OPOQ已知点2,0M，且M与 l 相切（1）求 C，M的方程；（2）设123,A A A是 C 上的三个点，直线12A A，13A A均与M相切 判断直线23A A与M的位置关系，并说明理由21（12 分）已知0a 且1a，函数()(0)axxf xxa.（1）当2a 时，求 fx的单调区间；（2）若曲线 yf x与直线1y 有且仅有两个交点，求 a 的取值范围（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2 2cos（1）将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点 A 的直角坐标为1,0，M 为 C 上的动点，点 P 满足2APAM ，写出 P 的轨迹1C的参数方程，并判断 C 与1C是否有公共点23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数()2,()2321f xxg xxx（1）画出 yf x和 yg x的图像；（2）若 f xag x，求 a 的取值范围.2021 年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）理科数学参考答案理科数学参考答案一、选择题1.B 2.C 3.B 4.C 5.A 6.D 7.B 8.B 9.A 10.C 11.A 12.D 二、填空题13.520 xy14.103.15.816.2三、解答题（一）必考题17.（1）75%；60%；（2）能.18.方法一方法一：待定系数法+：待定系数法+na与与nS关系式关系式设(0)nSanb a，则2nSanb，当1n 时，211aSab；当2n 时，221nnnaSSanbanab22aanab；因为 na也是等差数列，所以222abaaab，解得0b；所以221naan，21aa，故22133aaa.方法二方法二：待定系数法：待定系数法设等差数列 na的公差为 d，等差数列nS的公差为1d，则11(1)nSand，将1(1)2nn nSnad代入11(1)nSand，化简得2222211111112222ddnand na ddnad对于n N恒成立.则有2121111112,2440,ddada ddad，解得111,2da da所以213aa选作条件证明：因为213aa，na是等差数列，所以公差2112daaa，所以21112nn nSnadn a，即1nSa n，因为11111nnSSana na，所以nS是等差数列.选作条件证明：方法一方法一：定义法：定义法设(0)nSanb a，则2nSanb，当1n 时，211aSab；当2n 时，221nnnaSSanbanab22aanab；因为213aa，所以2323aabab，解得0b 或43ab ；当0b 时，221,21naaaan，当2n 时，2-1-2nna aa满足等差数列的定义，此时 na为等差数列；当43ab 时，4=3nSa