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1、 高一数学知识竞赛试题共 100分2016.4第一卷一、选择题每题 4分，共 24分1设函数 y f (x)对一切实数x均满足 f (5 x) f (5 x)，且方程 f (x) 0恰好有 6个不同实根，那么这 6个实根和为A 10B12C18D302设、, ，且满足 sin co s co s sin2 21，那么 sinsin的取值范围是A 2, 2B 1, 2C 0, 2D1, 2f (x) f (x) k3设函数 y f (x)在 ( ,)内有定义，对于给定的正数 k，定义函数 f (x)k，kf (x) k1x取函数 f ( x) 2kf k(x)的单调递增区间为，当时，函数2A (
2、 , 0)B (0,)C ( , 1)D (1,)24曲线 y Asin x a( A 0,0)，在区间 0,上截直线 y 2及 y1所得弦长相等且不为 0，那么以下对 A, a的描述正确的选项是12321232A a, Aa, AA 1, A 1Da 1, A 1BC5设 f (x) ln x, 0 a b，假设 p f ( ab), q f ( a b), r212 f (a) f (b)，那么以下关系中正确的选项是A q r p B q r pC p r qD p r q6已经知道函数f (x) x 2 1, g(x) kx，假设方程 f (x) g( x)有两个不相等的实根，那么实数k
3、的取值范围是11A (0, )B( ,1)C(1, 2)D(2,)22第二卷二、填空题每题 4分，共 32分1 7假设集合 A x Rax 2 ax 1 0中只有一个元素，那么asin4cos41的解为8方程xxx9设函数 y log 210设函数 f ( x)m, n，值域为 0, 2，那么区间 m, n长度的最小值的定义域为22(x 1) sin xM、N，那么 M N =的最大值、最小值分别为2x 111已经知道 f (x) x g(x)，其中 g( x)是定义在 R上，最小正周期为 2的函数，假设 f (x)在 2, 4)上的最大值为 1，那么 f (x)在区间 10, 12)上的最大
4、值为12已经知道直角梯形 ABCD， AD / BC , ADC 90 , AD 2, BC 1， P是腰 DC上的动点，那么 PA 3PB的最小值为yx区间 0, t上至少取得 10次最大值，求正数t的最小值为13设函数sin3bf ( x)(a 0, b 0)的图象形如汉字“囧，故称其为“囧函数，那么以下命题正确14函数x a的是“囧函数的值域为 R“囧函数在 (0,)上单增“囧函数的图象关于 y轴对称“囧函数有两个零点“囧函数“的图象与直线三、解答题共 44分y kx b(k 0)的图象至少有一个交点215 10分已经知道定义在区间 ,上的函数 y f (x)的图象关于直线x对称，当63
5、2x ,时，函数 f (x) Asin( x) A 0,0,，其图象如下图26 322求函数 y f (x)在 ,的表达式32求方程 f (x)的解22 xx1610分设函数 f (x) k a a (a 0且 a 1是定义域为 R的奇函数 .21假设 f (1) 0，试求不等式 f (x 2x) f (x 4) 0的解集；32假设 f (1)g(x) a2x a 2x 4 f (x)，求 g(x)在 1,)上的最小值 .且21712分函数 y sin( x) (0,)在同一个周期内，当xy时，取最大值 1，当427x时， y取最小值 1.121求函数的解析式 y f ( x)2函数 y si
6、n x的图象经过怎样的变换可得到3假设函数 f ( x)满足方程 f (x) a( 1 a 1)，求在 0, 2 内的所有实数根之和y f (x)的图象3 21812分设二次函数 f (x) ax bx c(a 0)满足条件：1当 x R时， f (x 4) f (2 x)，且 x f (x) f (x)在 R上的最小值为 0(1 x2)2求：1求 f (1)的值及 f (x)的解析式；2g(x) f ( x) k x2假设 1, 1上是单调函数，求k范围；在3求最大值 m(m 1)，使得存在 t R，只要 x 1, m，就有 f (x t) x；高一数学知识竞赛试题答案1D对于任意 x R，
7、函数 f (x)满足 f (5 x f (5 x)函数的图象关于 x 5对称，函数的零点关于x =5对称方程 f (x) 0的根关于 x 5对称，方程 f (x) 0的 6个实数解中有 3对，成对的两个根之和等于25=106个实根之和是 103=302D因为 , ，因此2 2 , ，sin( ) 1，因此又 sin cossin cos，2所以, ，那么2 20, 22 sin 0sinsinsin) sincos2 sin()42312 sin()42，244 4即 sinsin的范围为1, 24 12xxxx2(2(2( x 1 x 1)或( 1 x 1)23C由题意得 f (x)1121
8、2122xf1 (x)的单增区间即 y 2在 ( , 1)和 (1,)上的单增区间，2即 x ( , 1)2 ( 1) 1124A5C图象的上下部分的分界线为又弦长且不为 0y，得a2232 2A 3即 A12112( f (a) f (b)p f ( ab) ln abln ab(ln a ln b)2a b)212p r又y ln x图象为上凸函数： f ( ( )f a( )f bp r q即6B由于方程 f (x) g(x)有两个不相等的实根，那么函数 f (x)的图象与斜率应g(x)的图象有两个交点，画出f ( x)的图象如图由于 g(x)的图象与 f (x)的图象有两个交点，所以
9、g(x)的2， 11为图中两虚线之间，即 k ( ,1)22 A x Rax ax 1 0中只有一个元素74假设 a 0，方程无解舍a2aa 0，那么4a04或a 0舍假设a 4442222(k z)sin x cos x (sin x cos x)(sin cos x)8 k222= sin x cos xcos2x1方程即cos2x5 2x 2k即 x k(k z)23292x 2x 1 sin x2x sin x102f (x)122x 1x 12x sin x其中 g( x)为奇函数，图象关于原点对称2x 1函数 g(x)最大值，最小值和为 0，而 f (x)是把 g(x)图象上移一个
10、单位，所以 f (x)的最值均比 g(x)相应最值大 1 M m 2119依题意有 f (x 2) (x 2) g(x 2) x g(x) 2 f (x) 2由 f (x)在区间 2, 4)上的最大值为 1，知 f (x)在区间 4, 6)上的最大值为 3，,在区间 10,12上的最大值为 3 2 3 9 .x以 D为原点， AD 为轴，为轴建立平面直角坐标系，设DC yCDa P(o, y)长为，125 PA 3PB (2, y) 3(1,a y) (5,3a 4y)3425 (3a 4y)22当ya时取小值为15 PA 3PB11113y sin x，周期3T6，由题意得在区间上至少有94
11、个周期23371112 t64bf ( x)(a 0,b 0)是偶函数，可取特值 a b 1时，14x a1f (x)那么，其函数图象如图x 16 如图 y 0，值域不为 R，故错显然 0,上不是单调函数，故错f (x)是偶函数，关于 y轴对称，故正确如图， f (x)无零点，故错如图可知把x 1换为 x a，在四个象限都有图象，此时与直线 y kx b(k 0)的图象至少有一个交点，故正确.2T 2151 x ,A 1， T 2 ,616 34 32323且 f ( x) sin( x)过 (, 0)，那么2k当2kf ( x) sin( x)332x32x时，663 3)f ( x) si
12、n( x33 3函数 y f (x)图象关于直线 x对称6 f ( x) f ( x)3即当xf (x) f ( x) sin( x)3sin x时62sin( x) x ,6 33 f ( x)sin xx ,6232当xx时，66323或3 4 45或12 12sin(x)那么 x x327 22当xsin xsin x时，6223 x或44345综上， x,或12 12416 f ( x)是定义域为 R的奇函数 f (0) 0 k 1 0 k 111 f (1) 0， a0，又 a 0 a 1， a 1且ax f (x) a ax k 1当 a 1， y axa xyR在上均为增函数和
13、f (x)在 R上为增函数2原不等式可化为 f (x 2x) f (4 x)2x 2x 4 x即 x23x 4 0x4或x 1xx 4或x 1不等式的解集为31 322 f (1)a2a 3a 2 0即2a 212a 2或 a(舍g(x) 22 x 2 2 x 4(2 2 ) (2 2 ) 4(2 2 ) 2xxxx 2xxxx令 t h( x) 2 2 (x 1) t h( x)在 1, h(x) h(1)上为增函数由 1可知3232，即t3g t t 2 ( )2t4t 2 ( 2) 2t ,)2当 t 2时， g(t)取得最小值2，即 g(x)取得最小值2，8 此时 x log (1 2
14、)2当 x log (1 2)时， g(x)有最小值2222 ( 712171)3f (x) sin(3x)44334又 sin() 12k又4224) f (x) sin(3x2 y sin x的图象向右平移个单位得 y sin( x)的图象，再由441，纵坐标不变，得到3y sin(x)图象上所有点的横坐标变为原来的y sin(3x)的44图象2)的周期为)在 0, 2 内恰有43 f ( x) sin(3x y sin(3x433个周期2a 1时， sin(3x) a在 0, 2 内有 6个实根，从左至右依次为4当2116196x1、x、x、x、x、xx1 x2，同理，x3 x4x x6
15、5，那么234562112故所有实根和为2761 asin(3x) a 0, 2 内有 6个实根，那么 x1 x2在4当时，25223615x3 x4， x x65，故所有实根和为22152综上，当 1 a0, 2 内的所有实根和为时，2211a 1时， 0, 2 内的所有实根和为当2211222(1 1 ) 1，即 f (1) 1(1)在 R上恒成立，所以181因为 x f (x)x1 f (1)29 b因为 f (x 4) f (2 x)，所以函数图象关于直线 x1对称，所以1，2ab 2a因为 f (1) 1，所以 a b c 1.又因为 f (x)在 R上的最小值为 0，所以 f (
16、1) 0，即a b c 01b 2aa c,14212144由 a b c 1,解得a b c 0所以 f (x)xx，检验，符合条件。1b2,122222因为 g(x) f (x) k xx 2(2k 1) x 1，所以 g(x)对称轴方程为 x 2k 142因为 g(x)在 1,1上是单调函数，所以 2k 121 2k 1 1或所以 k的取值范围是 k 1或 k 1或 k 03解法一：因为当 x 1, m时， f ( x t) x恒成立，所以 f (1 t) 1且f (m t) m由 f (1 t) 1得 t 2 4t 0，解得 4 t 022f (m t) m得： m 2(1 t)m t
17、 2t 1 0由解得1 t4t m 1 tm 1 t4t因为 4 t 0，所以4t 1 ( 4)4( 4) 9当 t4时，对于任意 x 1, 9，恒有14142f (x 4) x(x 10x 9)(x 9)(x1) 0，所以m的最大值为 9.2f (x t) x (x t 1) 4x解法二：x 1, m且10 ttx 2 x 1x 2 x 1t ( x 2 x 1)max ,t ( x 2 x 1)min在 1, m上恒成立y在x 2 x 1 1, m上递减，所以 ( x 2 x 1)max4因为y在x 2 x 1 1, m上递减，所以而( x 2 x 1) minm 2 m 1 ( m 1)
18、2( m 1)2，所以( m 1)224，即 ( m 1) 4，因为 m 1，所以所以 4 tm 1 2所以 m 9，所以 m的最大值为 911 高一数学知识竞赛试题答题卷班级名号2016.4姓考一、选择题 1 34 6考场二、填空题7.8.9.10.11.14.12.13.15解：请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！16解：12 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！17解：13 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！18解：14