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1、第3课时圆锥曲线中的定点定值、最值范围问题1.假设直线y=x+m与椭圆x24+y22=1相切,那么实数m的值等于()A.6B.6C.3D.4解析:由x24+y22=1,y=x+m消去y,得3x2+4mx+2m2-4=0,因此有=-8m2+48=0,解得m=6.答案:B2.直线y=2x与双曲线x24-y2=1公共点的个数为()A.0B.1C.2D.4解析:双曲线x24-y2=1的渐近线方程为y=12x,焦点在x轴上,由图形知,直线y=2x与该双曲线无公共点.答案:A3.过双曲线x2-y2=1的顶点分别作其渐近线的垂线,那么两条垂线段与渐近线所围成矩形的面积等于()A.12B.22C.1D.2解析
2、:因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等,故可取双曲线的一个顶点为(1,0),取一条渐近线为y=x,所以点(1,0)到直线y=x的距离为22,所以围成矩形的面积是2222=12.答案:A4.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,A,B为左、右顶点,点P为双曲线C在第一象限的任意一点,点O为坐标原点.假设PA,PB,PO的斜率分别为k1,k2,k3,m=k1k2k3,那么m的取值范围为()A.(0,33)B.(0,3)C.0,39D.(0,8)解析:因为e=ca=2,所以b=3a,设P(x,y),那么x2a2-y2b2=1,k1k2=yx+ayx-a=y2x2-a2=
3、b2a2=3,又双曲线的渐近线为y=3x,所以0k33,故0mb0)经过点A(2,1),离心率为22,过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M,N.(1)求椭圆的方程;(2)假设|MN|=322,求直线MN的方程.解(1)由题意有4a2+1b2=1,e=ca=22,a2-b2=c2,解得a=6,b=3,c=3,所以椭圆方程为x26+y23=1.(2)由直线MN过点B且与椭圆有两个交点,可设直线MN方程为y=k(x-3),代入椭圆方程整理得(2k2+1)x2-12k2x+18k2-6=0,=24-24k20,得k21.设M(x1,y1),N(x2,y2),那么x1+x2=12k22k2+1
4、,x1x2=18k2-62k2+1,|MN|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(k2+1)(x1-x2)2=(k2+1)(x1+x2)2-4x1x2=322,解得k=22,满足k2b0)的半焦距为c,原点到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆的离心率;(2)如图,是圆:(x+2)2+(y-1)2=52的一条直径,假设椭圆经过,两点,求椭圆的方程.解(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,那么原点到直线的距离d=bcb2+c2=bca,由d=12c,得a=2b=2a2-c2,解得离心率e=ca=32.(2)由(1)知,椭圆E的方程为x2+
5、4y2=4b2.依题意,圆心M(-2,1)是线段的中点,且|AB|=10.易知,不与x轴垂直,设其直线方程为y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),那么x1+x2=-8k(2k+1)1+4k2,x1x2=4(2k+1)2-4b21+4k2.由x1+x2=-4,得-8k(2k+1)1+4k2=-4,解得k=12.从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=1+122|x1-x2|=52(x1+x2)2-4x1x2=10(b2-2).由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3.故椭圆E的方程为
6、x212+y23=1.10.导学号01844060椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab1)的焦距为42,其左、右顶点分别为A1(-3,0),A2(3,0),一条不经过原点的直线l:y=kx+m与该椭圆相交于M,N两点(如图).(1)求椭圆C的方程.(2)假设m+k=0,直线A1M与NA2的斜率分别为k1,k2.试问:是否存在实数,使得k1+k2=0?假设存在,求的值;假设不存在,请说明理由.解(1)因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为42,所以2c=42,解得c=22.因为椭圆的左、右顶点分别为A1(-3,0),A2(3,0),所以a=3.又b2=a2-c2=9-8=1,所以椭
7、圆C的方程为x29+y2=1.(2)由m+k=0知直线l过定点D(1,0).设直线A1M的方程为y=k1(x+3),直线NA2的方程为y=k2(x-3).联立方程y=k1(x+3),x29+y2=1,消去y,得(1+9k12)x2+54k12x+81k12-9=0,解得点M的坐标为3-27k121+9k12,6k11+9k12.同理,可解得点N的坐标为27k22-31+9k22,-6k21+9k22.由M,D,N三点共线,可得6k11+9k123-27k121+9k12-1=-6k21+9k2227k22-31+9k22-1,化简得(k2-2k1)(9k1k2+1)=0.由题设可知k1与k2同号,所以k2=2k1,即k1+-12k2=0,即存在=-12,使得k1+k2=0.