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1、第二章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.1直线的倾斜角与斜率课后篇巩固提升必备知识基础练1.若直线过坐标平面内两点(1,2),(4,2+3),则此直线的倾斜角是()A.30B.45C.60D.90答案A解析由题意知k=2+3-24-1=33,直线的倾斜角为30.2.(多选)下列说法中,不正确的有()A.任何一条直线都有唯一的斜率B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大C.任何一条直线都有唯一的倾斜角D.任何一条直线都能找出方向向量答案AB解析A错,因为倾斜角为90的直线没有斜率;B错,因为当00,当90180时,k0;C对,D对.3.若某直线的斜率k(-,3,则该直线的倾斜角的取值范围是()A
2、.0,3B.3,2C.0,32,D.3,答案C解析直线的斜率k(-,3,ktan3,该直线的倾斜角的取值范围是0,32,.故选C.4.在平面直角坐标系中,正三角形ABC的BC边所在直线的斜率是0,则AC,AB边所在直线的斜率之和为()A.-23B.0C.3D.23答案B解析由BC边所在直线的斜率是0知,直线BC与x轴平行或重合,所以直线AC,AB的倾斜角互为补角,根据直线斜率的定义知,直线AC,AB的斜率之和为0.故选B.5.若图中直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k2答案D解析由题图可知,k10,k30,且l2
3、比l3的倾斜角大,k1k3k2.6.已知直线l的倾斜角为2-20,则的取值范围是.答案10,100)解析由02-20180,得10100.故的取值范围为10,100).7.已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45,则点P的坐标为.答案(3,0)或(0,-3)解析若设点P的坐标为P(x,0),则k=0-(-1)x-2=tan45=1,x=3,即P(3,0).若设点P的坐标为P(0,y),则k=y-(-1)0-2=tan45=1,y=-3,即P(0,-3).8.已知A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线,则x=,直线AB的倾斜角为.答案3,4解析直线AB
4、斜率为kAB=1+22+1=1,直线BC斜率为kBC=2-1x-2,因为A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线,所以kAB=kBC,则x=3,由tan=1得=4,所以直线AB的倾斜角为4.9.已知点A(1,2),B(-2,-4),C2,72,D(x,-2).(1)证明:A,B,C三点共线;(2)若DAB=2,求x的值.(1)证明A(1,2),B(-3,-4),C2,72,kAB=-4-2-3-1=32,kAC=72-22-1=32,kAB=kAC,A,B,C三点共线.(2)解由AB=(-4,-6),AD=(x-1,-4),若DAB=2,则ABAD=0,即-4(x-1)+24=0,
5、解得x=7,x的值为7.10.已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(2,-1)的直线l与线段AB有公共点,求直线l的斜率k的取值范围.解直线l与线段AB有公共点,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,当l的倾斜角等于90时,斜率不存在;当l的倾斜角小于90时,kkPB;当l的倾斜角大于90时,kkPA.kPA=-1-42-(-3)=-1,kPB=-1-22-3=3,直线l的斜率k的取值范围是(-,-13,+).关键能力提升练11.直线ax-y+1=0与连接A(2,3),B(-3,2)的线段相交,则a的取值范围是()A.(-,-13,+)B.-1,3C.-,-131,+)D.-1
6、3,1答案C解析直线ax-y+1=0恒过定点C(0,1),如图,由kAC=3-12-0=1,kBC=2-1-3-0=-13,又直线ax-y+1=0与连接A(2,3),B(-3,2)的线段相交,即y=ax+1与连接A(2,3),B(-3,2)的线段相交,所以a-,-131,+).12.若a=ln21,b=ln32,c=ln54,则()A.abcB.cbaC.cabD.bac答案B解析lnxx-1=lnx-0x-1表示函数y=lnx图像上的点(x,y)与点D(1,0)连线的斜率,如图所示.令a=kDA,b=kDB,c=kDC,由图知kDCkDBkDA,即cba.13.若直线l的倾斜角满足2356,
7、则其斜率k的范围为()A.(1,3B.-3,-1C.-3,-33D.33,3答案C解析直线l的倾斜角满足2356,且k=tan,又tan23=-3,tan56=-33,函数y=tanx在2,上单调递增,k的范围为-3,-33.故选C.14.若直线l的一个法向量为n=(2,1),则直线l的斜率k=.答案-2解析根据题意,设直线l的斜率为k,则其方向向量为a=(1,k),若直线l的一个法向量为n=(2,1),则有an=2+k=0,解得k=-2.15.已知ABC的三个顶点坐标分别为A(2,4),B(1,2),C(-2,3),则BC边上的高AD所在直线的斜率为.答案3解析直线BC的斜率为kBC=3-2
8、-2-1=-13,BCAD,kBCkAD=-1,则kAD=3.16.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).(1)求直线AB和AC的斜率;(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动,求直线AD的斜率的变化范围.解(1)由斜率公式,可得直线AB的斜率kAB=2-3-4-3=17,直线AC的斜率kAC=-2-30-3=53,即直线AB的斜率为17,直线AC的斜率为53.(2)如图,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,由(1)知,kAB=17,kAC=53.故直线AD的斜率的变化范围是17,53.学科素养拔高练17.一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后
9、,经过点B(5,7),则点P的坐标为.答案110,0解析方法一:设P(x,0),由光的反射原理知,入射角等于反射角,即=,如图.所以反射光线PB的倾斜角与入射光线AP的倾斜角(-)互补,因此,kAP=-kBP,即0-3x-(-2)=-0-7x-5,解得x=110,即P110,0.图图方法二:由题意知,x轴是镜面,易知入射点A(-2,3)关于x轴的对称点为A(-2,-3).由光学知识知点A应在反射光线所在的直线上,即A,P,B三点共线,如图.从而有kAP=kPB,即0+3x+2=75-x,解得x=110,即P110,0.18.设直线l与坐标轴的交点分别为M(a,0),N(0,b),且ab0,斜率为k,坐标原点到直线l的距离为d.试证:(1)b=-ka;(2)a2k2=d2(1+k2);(3)1d2=1a2+1b2.证明(1)由斜率公式得k=b-00-a=-ba,所以b=-ka.(2)由面积公式可得SOMN=12|a|b|=12da2+b2,所以a2b2=d2(a2+b2).又由(1)b=-ka可得b2=k2a2,代入上式即得a2k2=d2(1+k2).(3)由(2)中a2b2=d2(a2+b2),可得1d2=a2+b2a2b2=1a2+1b2,即1d2=1a2+1b2.- 5 -