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1、第一章随机事件和概率第一节基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式Pn =m!从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。m(m - n)!C=nm!mn!(m - n)!从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。例 11：方程 1 - 1 =7的解是C xC x10C x567A4B 3C 2D 1例 12：有 5 个队伍参加了甲 A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2) 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。(3) 乘法原理（两个步骤分
2、别不能完成这件事）：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。例 13：从 5 位男同学和 4 位女同学中选出 4 位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例 14：6 张同排连号的电影票，分给 3 名男生和 3 名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例 15：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜- 1 -色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A120 种B140 种C160 种D180 种(4) 一些常见排列 特殊排列 相邻 彼此隔开 顺序
3、一定和不可分辨例 16：晚会上有 5 个不同的唱歌节目和 3 个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？3 个舞蹈节目排在一起；3 个舞蹈节目彼此隔开；3 个舞蹈节目先后顺序一定。例 17：4 幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例 18：5 辆车排成 1 排，1 辆黄色，1 辆蓝色，3 辆红色，且 3 辆红车不可分辨，问有多少种排法？重复排列和非重复排列（有序）例 19：5 封不同的信，有 6 个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？对立事件例 110：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例 111：15 人中取 5 人，有 3 个不能
4、都取，有多少种取法？例 112：有 4 对人，组成一个 3 人小组，不能从任意一对中取 2 个，问有多少种可能性？- 83 -顺序问题例 113：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，2 白的种数？（有序） 例 114：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，2 白的种数？（有序） 例 115：3 白球，2 黑球，任取 2 球，2 白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1） 随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。例如：掷一枚硬币，
5、出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5” 点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午 9 时到 10 时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为 0.1 米、0.5 米及 1 米到 3 米之间都是随机事件（正态分布）。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：（1） 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；（2） 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用w 来表示，例如w1 ,w2 ,Lwn（离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用W 表示。一个
6、事件就是由W 中的部分点（基本事件w ）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是W 的子集。如果某个w 是事件 A 的组成部分，即这个w 在事件 A 中出现，记为w A。如果在一次试验中所出现的w 有w A，则称在这次试验中事件 A 发生。如果w 不是事件 A 的组成部分，就记为wA 。在一次试验中，所出现的w 有wA ，则称此次试验 A 没有发生。W 为必然事件， 为不可能事件。（2）事件的关系与运算关系：如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：A B如果同时有A B ，B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=
7、B。A、B 中至少有一个发生的事件：AU B，或者 A+B。属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与B 的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。A、B 同时发生：AI B，或者 AB。A I B=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。W -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A 。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C分配率：(AB)C=(AC)(BC)(AB)C=(AC)(BC)I A
8、i = U Ai德摩根率： i=1i=1A U B = A I B ， A I B = A U B例 116：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间W 。若A 表示取到的两只球是白色的事件， B 表示取到的两只球是红色的事件，试用A 、B 表示下列事件：（1） 两只球是颜色相同的事件C ，（2） 两只球是颜色不同的事件 D ，（3） 两只球中至少有一只白球的事件E 。例 117：硬币有正反两面，连续抛三次，若 Ai 表示第 i 次正面朝上，用Ai 表示下列事件：（1） 前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件C ，（
9、2） 至少有一次正面朝上的事件 D ，（3） 前两次正面朝上的事件E 。3、概率的定义和性质（1） 概率的公理化定义设W 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1，2 P() =13 对于两两互不相容的事件A1 ， A2 ，有P UA P A = i ( i) i=1i=1常称为可列（完全）可加性。则称 P(A)为事件A 的概率。（2） 古典概型（等可能概型） 1 W = w1 ,w2 Lwn ，2 P(w1 ) = P(w2) = L P(wn) = 1 。n设任一事件A ，它是由w1 ,w2 Lwm 组成的，则有P(A)= (
10、w1 ) U (w2 ) UL U (wm )= P(w1 ) + P(w2 ) + L + P(wm )m= n =A所包含的基本事件数基本事件总数例 118：集合 A 中有 100 个数，B 中有 50 个数，并且满足 A 中元素与 B 中元素关系 a+b=10 的有 20 对。问任意分别从 A 和 B 中各抽取一个，抽到满足a+b=10 的 a,b 的概率。例 119：5 双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？ 例 120：在共有 10 个座位的小会议室内随机地坐上 6 名与会者，则指定的 4 个座位被坐满的概率是A. 114B. 113C. 112D. 11例 121：3
11、 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，2 白的概率？（有序） 例 122：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，2 白的概率？（有序） 例 123：3 白球，2 黑球，任取 2 球，2 白的概率？（无序）注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）（1） 加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)例 124：从 0，1，9 这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：A“三个数字中不含 0 或者不含 5”。（2） 减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A
12、时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=时，P( B )=1- P(B)例 125：若 P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求 P(A+B)和 P( A + B ).例 126：对于任意两个互不相容的事件 A 与 B， 以下等式中只有一个不正确，它是：(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P( A B )-1(C) P( A -B)= P( A )-P(B) (D)P(AB)(A-B)=P(A)(E) p A - B =P(A) -P( A B )（3） 条件概率和乘法公式定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称 P( AB)
13、为事件 A 发生条件下，P( A)事件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) = P( AB) 。P( A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A)乘法公式： P( AB) = P( A)P(B / A)更一般地，对事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则有P( A1 A2 An) = P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1 A2) P( An | A1 A2 An - 1) 。例 127：甲乙两班共有 70 名同学，其中女同学 40 名，设甲班有 30 名同学，而女生 15 名，问在碰
14、到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。例 128：5 把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？第一次打开；第二次打开；第三次打开。（4） 全概公式设事件 B1, B2,L, Bn 满足1 B1, B2,L, Bn 两两互不相容， P(Bi) 0(i = 1,2,L, n) ，nA U Bi2i=1，则有P( A) = P(B1)P( A | B1) + P(B2)P( A | B2) + L + P(Bn)P( A | Bn) 。此公式即为全概率公式。例 129：播种小麦时所用的种子中二等种子占 2，三等种子占 1.5， 四等种子占 1，其他为一等种子。用一等、二等、
15、三等、四等种子播种长出的穗含 50 颗以上麦粒的概率分别为 0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有 50 颗以上麦粒的概率。例 130：甲盒内有红球 4 只，黑球 2 只，白球 2 只；乙盒内有红球 5 只， 黑球 3 只；丙盒内有黑球 2 只，白球 2 只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是：A0.5625 B0.5 C0.45 D0.375 E 0.225例 131：100 个球，40 个白球，60 个红球，不放回先后取 2 次，第 2 次取出白球的概率？第 20 次取出白球的概率？（5） 贝叶斯公式设事件 B1 ， B2 ， Bn 及A 满足1 B1
16、 ， B2 ， Bn 两两互不相容， P(Bi) 0， i = 1，2， n ，nA U Bi2i=1，P( A) 0 ，则P(Bi/ A) =P(Bi )P( A / Bi )n P(Bj )P( A / Bj )j=1，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。P(Bi ) ，（ i = 1 ， 2 ， n ），通常叫先验概率。P(Bi / A) ，（ i = 1 ， 2 ，n ），通常称为后验概率。如果我们把 A 当作观察的“结果”，而 B1 ，B2 ，Bn 理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。例 132：假定用甲胎蛋白法诊断肝癌。设C 表示被检
17、验者的确患有肝癌的事件， A 表示诊断出被检验者患有肝癌的事件， 已知 P( A / C) = 0.95 ， P( A / C ) = 0.98 ，P(C) = 0.004 。现有一人被检验法诊断为患有肝癌，求此人的确患有肝癌的概率 P(C | A) 。5、事件的独立性和伯努利试验（1） 两个事件的独立性设事件 A 、 B 满足 P( AB) = P( A)P(B) ，则称事件 A 、 B 是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。若事件A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ，则有P(B | A) = P( AB) = P( A)P(B) = P(B) P( A)P( A)所以这与我们所理
18、解的独立性是一致的。若事件A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独立。（证明）由定义，我们可知必然事件W 和不可能事件 与任何事件都相互独立。（证明）同时， 与任何事件都互斥。（2） 多个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。两两互斥互相互斥。两两独立互相独立？例 133：已知 P(B / A) = P(B / A) ，证明事件A 、
19、B 相互独立。例 134：A，B，C 相互独立的充分条件：（1）A，B，C 两两独立（2）A 与 BC 独立例 135：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为 0.9，乙射中的概率为 0.8，求目标没有被射中的概率。（3） 伯努利试验定义 我们作了n 次试验，且满足u 每次试验只有两种可能结果， A 发生或A 不发生；u n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；u 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。n用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则A 发生的概率为1 - p
20、= q ，用 Pn(k ) 表示n 重伯努利试验中A 出现k (0 k n) 次的概率，Pn(k) = Ck p k q n-k， k = 0,1,2,L, n 。例 136：袋中装有个白球及个黑球，从袋中任取 a+b 次球，每次放回， 试求其中含 a个白球，b 个黑球的概率（a，b）。例 137：做一系列独立试验，每次试验成功的概率为 p，求在第 n 次成功之前恰失败 m 次的概率。第二节练习题1、事件的运算和概率的性质例 138：化简(A+B)(A+ B )( A +B)例 139：ABC=AB(CB)成立的充分条件为： (1)AB C(2)B C例 140：已知 P(A)=x，P(B)=
21、2x，P(C)=3x，P(AB)=P(BC)，求 x 的最大值。例 141：当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则下列结论正确的是（A） P（C）=P（AB）。（B） P（C）=P（A U B）。（C）P（C）P（A）+P（B）-1（D）P（C）P（A）+P（B）-1。2、古典概型例 142：3 男生，3 女生，从中挑出 4 个，问男女相等的概率？例 143：电话号码由四个数字组成，每个数字可以是 0,1,2,9 中的任一个数，求电话号码是由完全不同的数字组成的概率。例 144：袋中有 6 只红球、4 只黑球，今从袋中随机取出 4 只球，设取到一只红球得 2 分，取到一只黑球得
22、1 分，则得分不大于 6 分的概率是A. 2342B. 47C. 2542D. 1321例 145：10 个盒子，每个装着标号为“16”的卡片。每个盒子任取一张， 问 10 张中最大数是 4 的概率？例 146：将 n 个人等可能地分到 N（nN）间房间中去，试求下列事件的概率。A“某指定的 n 间房中各有 1 人”； B“恰有 n 间房中各有 1 人” C“某指定的房中恰有 m（mn）人”例 147：有 5 个白色珠子和 4 个黑色珠子，从中任取 3 个，问全是白色的概率？3、条件概率和乘法公式例 148：假设事件 A 和 B 满足 P（B | A）=1，则（A）A 是必然事件。（C） A
23、B 。（B） A B 。（D） P( AB) = 0 。例 149：设 A，B 为两个互斥事件，且 P（A）0, P(B)0，则结论正确的是（A） P（B | A）0。（B） P（A | B）=P（A）。（C） P（A | B）=0。（D） P（AB）=P（A）P（B）。例 150：某种动物由出生而活到 20 岁的概率为 0.7，活到 25 岁的概率为0.56，求现龄为 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率。例 151：某人忘记三位号码锁（每位均有 09 十个数码）的最后一个数码，因此在正确拨出前两个数码后，只能随机地试拨最后一个数码，每拨一次算作一次试开，则他在第 4 次试开时才将锁打开的
24、概率是A. 14B. 16C. 25D. 110例 152：在空战训练中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为 0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是 0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率是 0.4，求在这几个回合中：甲机被击落的概率； 乙机被击落的概率。例 153：为防止意外事故，在矿井内同时安装两种报警系统 A 与 B，每种系统单独使用时，其有效率 A 为 0.92，B 为 0.93，在 A 失灵条件下 B 有效概率为 0.85。求：（1）这两种警报系统至少有一个有效的概率；（2）在 B 失灵条件下，A 有效的概率。4、全概和贝叶斯公式例 154：甲文具盒内有
25、2 支蓝色笔和 3 支黑色笔，乙文具盒内也有 2 支蓝色笔和 3 支黑色笔现从甲文具盒中任取 2 支笔放入乙文具盒，然后再从乙文具盒中任取 2 支笔求最后取出的 2 支笔都是黑色笔的概率。例 155：三个箱子中，第一箱装有 4 个黑球 1 个白球，每二箱装有 3 个黑球 3 个白球，第三箱装有 3 个黑球 5 个白球。现先任取一箱，再从该箱中任取一球，问：（1）取出的球是白球的概率？（2）若取出的为白球，则该球属于第二箱的概率？例 156：袋中有 4 个白球、6 个红球，先从中任取出 4 个，然后再从剩下的 6 个球中任取一个，则它恰为白球的概率是。5、独立性和伯努利概型例 157：设 P(A
26、)0,P(B)0，证明（1） 若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 不互斥；（2） 若 A 与 B 互斥，则 A 与 B 不独立。例 158：设两个随机事件 A，B 相互独立，已知仅有 A 发生的概率为 1 ，4仅有 B 发生的概率为 1 ，则 P（A）=4，P（B）=。例 159：若两事件 A 和 B 相互独立，且满足 P(AB)=P( A B ),P(A)=0.4， 求 P(B).例 160：设两两相互独立的三事件 A，B 和 C 满足条件；ABC=，P（A）=P（B）=P（C） 1 ，且已知 P( A U B U C) = 9 ，则 P（A）=。216例 161：A 发生的概率是 0
27、.6，B 发生的概率是 0.5，问 A,B 同时发生的概率的范围？例 162：设某类型的高炮每次击中飞机的概率为 0.2，问至少需要多少门这样的高炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中飞机的概率达到 95%以上。例 163：由射手对飞机进行 4 次独立射击，每次射击命中的概率为 0.3，一次命中时飞机被击落的概率为 0.6，至少两次命中时飞机必然被击落，求飞机被击落的概率。例 164：将一骰子掷 m+n 次，已知至少有一次出 6 点，求首次出 6 点在第n 次抛掷时出现的概率。例 165：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为 2：1，另一
28、罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为 2：1 。今任取一罐并从中取出 50 只球，查得其中有 30 只红球和 20 只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的(A) 154 倍(B)254 倍(C)798 倍(D)1024 倍第二章 随机变量及其分布第一节 基本概念在许多试验中，观察的对象常常是一个随同取值的量。例如掷一颗骰子出现的点数，它本身就是一个数值，因此 P(A)这个函数可以看作是普通函数（定义域和值域都是数字，数字到数字）。但是观察硬币出现正面还是反面，就不能简单理解为普通函数。但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来。当出现正面时，规定其对应数为“1”；而出现反
29、面时，规定其对应数为“0”。于是X = X (w) = 1，当正面出现0，当反面出现称X 为随机变量。又由于 X 是随着试验结果（基本事件w ）不同而变化的， 所以X 实际上是基本事件w 的函数，即 X=X()。同时事件 A 包含了一定量的（例如古典概型中 A 包含了1，2，m，共 m 个基本事件），于是 P(A)可以由 P(X()来计算，这是一个普通函数。定义 设试验的样本空间为W ，如果对W 中每个事件w 都有唯一的实数值X=X()与之对应，则称 X=X()为随机变量，简记为X 。有了随机变量，就可以通过它来描述随机试验中的各种事件，能全面反映试验的情况。这就使得我们对随机现象的研究，从前
30、一章事件与事件的概率的研究，扩大到对随机变量的研究，这样数学分析的方法也可用来研究随机现象了。一个随机变量所可能取到的值只有有限个（如掷骰子出现的点数）或可列无穷多个（如电话交换台接到的呼唤次数），则称为离散型随机变量。像弹着点到目标的距离这样的随机变量，它的取值连续地充满了一个区间，这称为连续型随机变量。1、随机变量的分布函数（1） 离散型随机变量的分布率设离散型随机变量X 的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：X|x1, x2,L, xk
31、,LP( X = xk )p1, p2,L, pk ,L 。显然分布律应满足下列条件：（1） pk 0 ， k = 1,2,L ， pk = 1（2） k =1。例 21：投骰子，出现偶数的概率？例 22：4 黑球，2 白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令 X() 为“取白球的数”，求 X 的分布律。例 23：若干个容器，每个标号 13，取出某号容器的概率与该号码成反比，令 X()表示取出的号码，求 X 的分布律。（2）分布函数对于非离散型随机变量，通常有 P( X = x) = 0 ，不可能用分布率表达。例如日光灯管的寿命X ， P( X = x0) = 0 。所以我们考虑用 X 落
32、在某个区间(a, b 内的概率表示。定义设X 为随机变量， x 是任意实数，则函数F(x) = P( X x)称为随机变量 X 的分布函数。P(a X b) = F(b) - F(a)可以得到 X 落入区间(a, b 的概率。也就是说， 分布函数完整地描述了随机变量 X 随机取值的统计规律性。分布函数F(x) 是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。1F(x) 的图形是阶梯图形， x , x2 ,L是第一类间断点，随机变量 X 在xk 处的概率就是F(x) 在xk 处的跃度。分布函数具有如下性质：10 F(x) 1,- x + ；2F(x) 是单调不减的函数，即x1 x2 时
33、，有 F(x1) F(x2) ；3F(-) = lim F(x) = 0 ，F(+) = lim F(x) = 1；x-x+4F(x + 0) = F(x) ，即F(x) 是右连续的；5P( X = x) = F(x) - F(x - 0) 。例 24：设离散随机变量X 的分布列为XP- 1,0,1,21 1 1 1， ， ，8 8 4 2求X 的分布函数，并求 P( X 1 ) ， P(1 X 3)， P(1 X 3)。222例 25：设随机变量 X 的分布函数为 Ax F(x) = 1 + x 0x0 x 0其中 A 是一个常数，求（1） 常数 A（2）P（1X2）（3）连续型随机变量的密
34、度函数x定义 设F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数x ，有F(x) = - f (x)dx ，则称X 为连续型随机变量。 f (x) 称为X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 f (x) 的图形是一条曲线，称为密度（分布）曲线。由上式可知，连续型随机变量的分布函数F(x) 是连续函数。所以，P(x1 X x2 ) = P(x1 X x2 ) = P(x1 X x2 ) = P(x1 X x2 ) = F(x2 ) - F(x1 )密度函数具有下面 4 个性质： 1f (x) 0 。+2- f (x)dx = 1。+F(+) = -等于 1。f
35、 (x)dx = 1 的几何意义；在横轴上面、密度曲线下面的全部面积如果一个函数 f (x) 满足 1、2，则它一定是某个随机变量的密度函数。x23P(x1 X x2 ) F(x2 ) - F(x1 ) f (x)dx 。x14若 f (x) 在x 处连续，则有F (x) = f (x) 。P(x X x + dx) f (x)dx它在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X = xk ) = pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。E w, W A P( A), (古典概型，五大公式， 独立性)X (w) X (w) x F(x) = P( X x)对于连续型随机变量 X ，虽然有
36、P( X = x) = 0 ，但事件( X = x) 并非是不可能事件 。x+hP( X = x) P(x X x + h) = f (x)dxx令h 0 ，则右端为零，而概率 P( X = x) 0 ，故得 P( X = x) = 0 。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同 理，必然事件（）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。例 26：随机变量 X 的概率密度为 f(x)， f (x) = A x,0 x 1，求 A 和0, 其他F(x)。例 27：随机变量 X 的概率密度为1x2-f (x) =x3e 2x f 020x 0求 X 的分布函数F
37、(x) 和 P(-2 X 4) 2、常见分布01 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q例如树叶落在地面的试验，结果只能出现正面或反面。二项分布在n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生的次数是随机变量，设为X ，则X 可能取值为0,1,2,L, n 。nP( X = k ) = Pn(k ) = Ck p k q n-k ，其中q = 1 - p,0 p 0 ， k = 0,1,2L ，则称随机变量X 服从参数为l 的泊松分布，记为X p(l) 或者 P( l )。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。如飞机被击中的子弹数、来到公共汽车站的乘客数、机床发生故
38、障的次数、自动控制系统中元件损坏的个数、某商店中来到的顾客人数等，均近似地服从泊松分布。例 29：某人进行射击，设每次射击的命中率为 0.001，若独立地射击 5000 次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。超几何分布Ck Cn-kk = 0,1,2L, lP( X = k) =MN -M ,NCnl = min(M , n)随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布。例 210：袋中装有个白球及个黑球，从袋中任取 a+b 个球，试求其中C a Cb含 a 个白球，b 个黑球的概率（a，b）。ab （非重复排列）Ca +ba+b例 211：袋中装有个白球及个黑球，从
39、袋中连续地取 a+b 个球（不放C a Cb Pa+b回），试求其中含 a 个白球，b 个黑球的概率（a，b）。重复排列）abPa +ba+ba+b （非例 212：袋中装有个白球及个黑球，从袋中连续地取 a+b 个球（放回），试求其中含 a 个白球，b 个黑球的概率（a，b）。(（重复排列）几何分布P( X = k ) = q k -1 p, k = 1,2,3,L ，其中 p0，q=1-p。aa + b) a (b) Ca + bbaa +b随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布。例 213：5 把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开不扔掉，问以下事件的概率？第一次打开；第二次打开；第三
40、次打开。均匀分布设随机变量X 的值只落在a，b内，其密度函数 f (x) 在a，b上为常数 k，即axbf (x) = k,0,其他，其中 k=1，b - a则称随机变量X 在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。分布函数为0，xb。当 ax1x2b 时，X 落在区间（ x1 , x2 ）内的概率为x X x ) =x2f (x)dx =x21dx = x2 - x1P( 12x1x1b - ab - a 。例214：设电阻R 是一个均匀在9001100的随机变量，求R 落在10001200 之间的概率。指数分布设随机变量 X 的密度函数为,le-lx ,x 0f ( x) =0,x 0
41、 ，则称随机变量 X 服从参数为l 的指数分布。X 的分布函数为,1 - e-lx ,x 0F ( x) =0,x0。记住几个积分：+ xe- x dx = 1, x 2 e-x dx = 2, x n-1e-x dx = (n - 1)!000+G(a) = xa-1e-x dx ，G(a + 1) = aG(a)0例 215：一个电子元件的寿命是一个随机变量 X 。它的分布函数F(x) 的含义是，该电子元件的寿命不超过 x 的概率。通常我们都假定电子元件的寿命服从指数分布。 试证明服从指数分布的随机变量具有“ 无记忆性 ”： P(x0 X x0) = P( X x) 。正态分布-设随机变量X 的密度函数为