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1、线性代数总复习,第一章 行列式,二阶行列式的计算方法,第一节 n阶行列式的定义,三阶行列式的计算方法沙路法,一些常用的行列式结果：,1.,2.,3.,4.,kk,k,k,mm,m,m,b,b,b,b,*,*,a,a,a,a,D,L,M,M,L,L,M,M,L,L,M,M,L,1,1,11,1,1,11,0,=,*,*,行列式与它的转置行列式相等.,行列式的某一行（列）中所有元素的,公因子可以提到行列式符号的外面,式为零。,行列式的某一行（列）中的所有元素都,乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.,如果行列式中有一行(列)为零，那么行列,第二节 行列式的性质,对换行列式的两行（列）,行列式
2、变号.,则此行列式为零.,如果行列式有两行（列）完全相同，,比例，那么行列式为零,如果行列式中有两行（列）对应成,如果行列式的某一行（列）的元素都是,则D等于下列两个行列式之和：,例如第i 行的元素都是两数之和,两数之和，,同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列,把行列式的某一行（列）的各元素乘以,式不变 (倍加运算),计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,第三节 行列式按行(列)展开,数余子式的乘积，即,一个n阶行列式，如果第i 行所有元素除,外都为零，,式某行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子,行列式的某行(列)的
3、所有元素与其对应,的代数余子式乘积之和等于该行列式的值。,式乘积之和等于零。,行列,行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,第二章 矩阵及其运算,由 个数,称为m行n列矩阵,简称 矩阵.,排成的m行n列的数表,其中 个数称为矩阵A的元素，数,称为矩阵,A的第i 行第j 列的元素.,1. 矩阵的基本概念,加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 方阵的幂 转置矩阵 对称及反对陈矩阵 方阵的行列式,1. 矩阵的基本运算：,2. 矩阵的运算规律：,加法：,数乘：,（其中 为数）;,乘法：,方阵的幂运算：,（2）,注意：,转置运算：,由n阶方阵A的元素按原相对位置所构成,
4、称为方阵A的行列式，记作,的行列式，,3. 方阵的行列式及其性质,方阵的行列式满足下列规律：,（2）,（3）,（设A、B为n阶方阵， 为数）,（1）,1. 基本概念,对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B,使得,则称B是A的逆矩阵，并称矩阵A是可逆矩阵或满秩,矩阵，或非奇异矩阵,记为,说明 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.,注意,各元素aij 的代数余子式Aij 构成如下n阶方阵,称为矩阵A的伴随矩阵.,设有n阶方阵,由行列式 中,设A为n阶方阵，A*为其伴随矩阵，则,2. 基本定理,设A为n阶方阵，则,A可逆,设A、B 都是n阶方阵，,3. 可逆矩阵的性质,利用定义（一般适用于证明题）
5、 (3)待定系数法(4) 初等变换法:步骤如下,4. 逆矩阵的计算方法,设方阵,分块对角矩阵的性质,则,1.,2.,是可逆矩阵，且,矩阵的初等变换包括3种：对换变换、数乘变换,和倍加变换。这三种初等变换的过程都是可逆的，,且其逆变换是同一类型的初等变换.,1.初等变换与初等矩阵,设A是一个 非零矩阵，那么A一定,可以通过有限次初等行变换化为行阶梯形及行最,简形，再进行初等列变换化为如下标准形：,其中r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.,注意：初等变换不改变矩阵的可逆性。,对于任何一个非零矩阵,都可以先进行初等行变换化,为行阶梯形及行最简形,再进行初等列变换化为标准形.,A的右边乘以相应的n阶初
6、等矩阵.,设A是一个 矩阵，对A 施行一次,初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶,初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在,n阶方阵A可逆的充要条件是存在有限,个初等矩阵,求矩阵秩的方法(1)利用定义：寻找矩阵中非零子式的最高阶数(2)初等变换法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩,对于n阶方阵A，如果A的秩等于n，则称A,为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.,A为可逆矩阵.,对于n阶方阵A，下列命题等价：,(1),A为满秩矩阵；,(2),(3),(4),第三章 线性方程组,非齐次线性方程组,(1),无解,(2),并且通解中有n-r个自由未知量.,其
7、中,有解:,非齐次线性方程组,的具体解法：,(1)对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，比较 以及n之间的大小关系，从而判断方程组解的情况：无解，唯一解，无穷解。,(2)在判断有解的情况下，继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多个解，需写出通解形式。,当m = n 时，n元非齐次线性方程组,有惟一解的充分必要条件是系数矩阵A的行列式,齐次线性方程组 一定有解：,(1),(2),并且通解中有n-r个自由未知量.,只有零解,有非零解,齐次线性方程组,的具体解法：,(1)对系数矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，比较 与n之间
8、的大小关系，从而判断方程组解的情况：唯一解（零解），无穷解（非零解）。,(2) 继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多个解，需写出通解形式。,当m = n 时，,(1)齐次线性方程组(3.2)只有零解,(2)齐次线性方程组(3.2)有非零解,当m n 时，,即方程个数小于未知量个数时，,齐次线性方程组(3.2)必有非零解.,第四章 向量组的线性 相关性,设n维向量,如果存在一组数,使得,则称向量,是向量组,的线性组合或称向,第二节 向量组的线性相关性,一、线性表示,于矩阵,的秩，即,说明：判断某个向量是否可由某向量组线性表示
9、，可归结为非齐次线性方程组是否有解，从而取决于该方程组系数矩阵和增广矩阵的秩是否相等，所以该问题最终可利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵来解决.,对于n维向量组,如果存在一组,不全为零的数,则称向量组,线性相关. 如果上式只有当,时才成立,则称向量组,线性无关.,二、线性相关与线性无关,于是判断某向量组的线性相关性，可归结为齐次线性方程组是否有非零解，从而取决于方程组系数矩阵的秩，所以该问题最终可利用初等行变换化系数矩阵为阶梯形矩阵来解决.,的充分必要条件是它所构成的矩阵,的行列式等于零，即,向量组线性无关的充分必,要条件是,向量组必线性相关.,(A)中至少有一个向量能由其余,线性相关，则向
10、量,的充分必要条件是：,向量线性表示.,一定可由向,量组(A)线性表示，且表示式是惟一的.,三、相关定理,设有向量组,是(A)的部分向量组 ,如果,都有,组(A)的一个极大线性无关组，简称极大无关组.,注意：在条件(1)下，(2)和下述条件等价：,对于向量组 (A) 中的任何一个向量,都可由,线性表出.,第三节 极大线性无关组,所含向量的个数，称为向量组的秩，记为,n阶方阵A可逆的充分必要条件是 A的行,(列)向量组线性无关.,向量组秩的求法：通过求向量组构成的矩阵的秩来,求该向量组的秩及其极大线性无关组.,第四节 线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的结构,(4.1),如果n元齐次线性方
11、程组（4.1）的系数,矩阵A的秩,则方程组（4.1）的基础,(证明略),解系一定存在，且基础解系含的解向量的个数为,齐次线性方程组基础解系的求法,（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为 最简形,由于,令,（2）得出 ，同时也可知方程组的一个基础解系含有 个线性无关的解向量,故,为齐次线性方程组的一个基础解系.,齐次线性方程组的通解为,二、非齐次线性方程组解的结构,（4.5）,导出组 (4.1)的解.,的解，则,也是(4.5)的解.,(称为特解)，,是其导出组（4.1）的通解，则方程组,(4.5)的通解为,说明：此定理表明,非齐次方程组的通解 = 齐次方程组的通解 +非齐次方程组的特解,第五章
12、特征值、特征向量及矩阵的对角化,一、 向量的内积,设有n 维向量,内积,令,正交,向量都是单位向量且两两正交,矩阵A为正交矩阵的充要条件是 A 的列(行),求矩阵特征值与特征向量的步骤：,二、特征值与特征向量,注意：属于不同特征值的特征向量是线性无关的,矩阵特征值与特征向量的性质：,特征值的常用结果：,一般矩阵可对角化的判定方法及求解：,1.,它们的重数依次为,2.,个线性无关的特征向,量，则矩阵A可对角化，否则，不能对角化。,解系，如果基础解系中含有,3.当A可对角化时，将所有基础解系中的特征向量,构成矩阵,应与P中列向量的排列次序相对应,次序,三、相似矩阵与对角化,1.,它们的重数依次为,2.,个线性无关的特征向量再把它们正交,正交化、单位化,解系，得,个两两正交的单位特征向量,故总共可得n个两两正交的,单位特征向量,实对称阵对角化的方法,把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵,3.,次序应与P中列向量的排列次序相对应,