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1、贵州省铜仁第一中学2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1.设集合,，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合、，再利用交集的运算律可得出集合.【详解】，因此，故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生对于集合运算律的理解应用，对于无限集之间的运算，还可以结合数轴来理解，考查计算能力，属于基础题。2.已知复数满足，则共轭复数( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先利用复数的乘法将复数表示为一般形式，然后利用共轭复
2、数的定义得出.【详解】，因此，故选：D.【点睛】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，解复数相关的问题，首先利用复数四则运算性质将复数表示为一般形式，然后针对实部和虚部求解，考查计算能力，属于基础题。3.若命题，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由特称命题的否定形式可得出答案。【详解】由特称命题的否定可知，为：，故选：B.【点睛】本题考查特称命题的否定，解题的关键在于熟悉全称命题与特称命题否定形式的变化，意在考查对这些基础知识点的掌握，属于基础题。4.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则( )A. -1B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出，再利用
3、奇函数的性质得，可得出答案。【详解】由题意可得，由于函数是定义在上的奇函数，因此，故选：A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，解题时要注意结合自变量选择解析式求解，另外就是灵活利用奇偶性，考查计算能力，属于基础题。5.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性由函数的奇偶性定义易得，是偶函数，是奇函数是周期为的周期函数，单调区间为时，变形为，由于21,所以在区间上单调递增时，变形为，可看成的复合，易知为增函数，为减函数，所以在区间上单调递减的函数故选择A6.设函数的定义域为R，满足，且当时则当，的最小值是
4、（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出函数在区间上的解析式，利用二次函数的性质可求出函数在区间上的最小值。【详解】由题意可知，函数是以为周期的周期函数，设，则，则，即当时，可知函数在处取得最小值，且最小值为，故选：D.【点睛】本题考查函数的周期性以及函数的最值，解决本题的关键就是根据周期性求出函数的解析式，并结合二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题。7.设,则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用中间值、比较大小，即先利用确定三个数的正负，再将正数与比较大小，可得出三个数的大小关系。【详解】由于函数在定义域上是减函数，则，且，由于函数在
5、定义域上是减函数，则，函数在定义域上是增函数，则，因此，故选：A.【点睛】本题考查指对数混合比大小，常用方法就是利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法来建立桥梁来比较各数的大小关系，属于常考题，考查分析问题的能力，属于中等题。8.函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】考查该函数的奇偶性，在处的取值以及该函数在上的单调性可辨别出图象。【详解】令，定义域为，该函数为偶函数，且，排除C选项，当时，则，当时，则，当时，则，所以， 函数在上单调递减，符合条件的图象为B选项中的图象。故选：B.【点睛】本题考查利用函数解析式辨别函数的图象，一般从以下几个要素来进行分析
6、：定义域；奇偶性；单调性；零点；函数值符号。在考查函数的单调性时，可充分利用导数来处理，考查分析问题的能力，属于中等题。9.甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同现了解到以下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步；可以判断丙参加的比赛项目是（ ）A. 跑步比赛B. 跳远比赛C. 铅球比赛D. 无法判断【答案】A【解析】分析：由（1），（3），（4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，即可得出结论.
7、详解：由（1），（3），（4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛.故选：A.点睛：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力.10.已知直线与曲线相切，则实数k的值为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】D【解析】由得，设切点，则，对比，故选D.11.如图，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD正方形，四边形ABEF是矩形，且AFADa，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B
8、(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)，(a，a,0)，(0,2a,2a)，(a，a，0)，(0,0,2a)，设平面AGC的法向量为n1(x1，y1,1)，由n1(1，1,1)sin.12.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知当时，在上是“凸函数”，则在上 ( )A. 既有极大值,也有极小值B. 既有极大值,也有最小值C. 有极大值,没有极小值D. 没有极大值,也没有极小值【答案】C【解析】此题考查函数极值存在的判定条件思路：先根据已知条件确定m的值，然后在判定因为时，在上是“凸函数”所以在上恒成立，得在是单调
9、递减，的对称轴要满足与单调递增单调递减，当时有极大值，当时有极小值所以在上有极大值无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分。13.设函数，则_;【答案】【解析】【分析】先结合分段函数的解析式计算，代入可求出的值。【详解】由题意可知，因此，故答案为：。【点睛】本题考查分段函数求值，在计算多层函数值时，遵循由内到外逐层计算，同时要注意自变量的取值，选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于基础题。14.已知函数，则_.【答案】【解析】【分析】对函数求导，再令可求出，于是可得出函数的解析式。【详解】对函数求导得，解得，因此，故答案为：.【点睛】本题考查导数的计算，在求导数的过程中，
10、注意、均为常数，可通过在函数解析式或导数解析式赋值解得，考查运算求解能力，属于中等题。15.已知R上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】先由图象得出不等式和的解集，再由不等式，得出或两种情况，解出这两个不等式可得出答案。【详解】由图像可知，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，则不等式的解集为，不等式的解集为.由，可得或.解不等式组，得；解不等式组，得.因此，不等式的解集为，故答案为：.【点睛】本题考查函数的单调性与导数之间的关系，并求解与导数相关的不等式，解题时要注意导数的符号与函数单调性之间的关系，考查分析问题的能力，属于中等题。16.已知，则方程恰有2个
11、不同的实根，实数取值范围_.【答案】【解析】【分析】将问题转化为当直线与函数的图象有个交点时，求实数的取值范围，并作出函数的图象，考查当直线与曲线相切以及直线与直线平行这两种临界位置情况，结合斜率的变化得出实数的取值范围。【详解】问题等价于当直线与函数的图象有个交点时，求实数的取值范围。作出函数的图象如下图所示：先考虑直线与曲线相切时，的取值，设切点为，对函数求导得，切线方程为，即，则有，解得.由图象可知，当时，直线与函数在上图象没有公共点，在有一个公共点，不合乎题意；当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有两个公共点，合乎题意；当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在有两个公共点，不合
12、乎题意；当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在没有公共点，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查函数的零点个数问题，一般转化为两个函数图象的交点个数问题，或者利用参变量分离转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题，若转化为直线（不恒与轴垂直）与定函数图象的交点个数问题，则需抓住直线与曲线相切这些临界位置，利用数形结合思想来进行分析，考查分析问题的能力和数形结合数学思想的应用，属于难题。三、解答题（本小题共6小题，共70分，写出文字说明，证明过程或步骤）17.已知，设：实数满足 ，：实数满足（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数
13、的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先解出命题、的不等式，由为真，得知命题与均为真命题，再将两个不等式对应的范围取交集可得出答案；（2）解出命题中的不等式，由题中条件得知命题中的不等式对应的集合是命题中不等式对应集合的真子集，因此得出两个集合的包含关系，列不等式组解出实数的取值范围。【详解】（1）由 得 ，当时，即为真时，实数的取值范围是.由，得，即为真时，实数的取值范围是.因为为真，所以真且真，所以实数的取值范围是；（2）由得，所以，为真时实数的取值范围是.因为是的必要不充分条件，所以且所以实数的取值范围为：.【点睛】本题考查第（1）问考查利用复合命题真假求参数的取值范围，
14、转化为两个命题为真假时参数取值范围的交集，第（2）问考查由命题的充分必要性求参数的取值范围，转化为集合的包含关系，考查转化与化归的数学思想的应用，属于中等题。18.已知定义在上的函数是奇函数（1）求的值，并判断函数在定义域中的单调性（不用证明）；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】；.【解析】试题分析：(1)根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可求的值；(2)根据函数奇偶性和单调性的性质,将不等式进行转化进行求解即可.试题解析：是定义在上的奇函数，即对一切实数都成立，不等式等价于又是上的减函数，对恒成立，即实数的取值范围是考点：函数的奇偶性和单调性.【方法点晴】本题属于
15、对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中的易错点是容易忽视定义域.19.在直角梯形中，为的中点，如图1将沿折到的位置，使，点在上，且，如图2（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值【答案】（1）在图中，由题意可知为正方形，所以在图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，因为，ABBC，所以BC平面SAB，又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，所以SA平面ABCD，（2）【解析】试题分析：（1）证明：在图中，由题意可知，为正方形，所以在图中
16、，四边形ABCD是边长为2的正方形，因为，ABBC，所以BC平面SAB，又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，所以SA平面ABCD，（2）在AD上取一点O，使，连接EO。因为，所以EO/SA所以EO平面ABCD，过O作OHAC交AC于H，连接EH，则AC平面EOH，所以ACEH。所以为二面角EACD的平面角，在中，11分，即二面角EACD的正切值为考点：线面垂直的判定及二面角求解点评：本题中第二问求二面角采用的是作角求角的思路，在作角时常用三垂线定理法；此外还可用空间向量的方法求解；以A为原点AB,AD,AS为x,y,z轴建立坐标系，写出各点坐标，代入向量计算公式即可20.已知函数（1）求在
17、点处的切线方程；（2）若存在，满足成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出，得出切点坐标，利用导数求出，得出切线的斜率，再利用点斜式写出切线的方程；（2）由，即，将问题转化为，然后利用导数求出函数在区间上的最大值，可求出实数的取值范围。【详解】（1），在处的切线方程为：，即；（2），即，令，得.时， ，时，.在上减，在上增，又时，的最大值在区间端点处取到. ，在上最大值为，故的取值范围是：.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用函数不等式能成立求参数的取值范围，在处理函数不等式成立的问题时，可利用分类讨论或者参变量分离法来求解，在利用参变量分离时要注意是恒成立还是能成立
18、的问题，以便转化为对象函数相应的最值来处理，考查计算能力，属于中等题。21.已知曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）射线与曲线交点为、两点，射线与曲线交于点，求的最大值【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，再由转化为极坐标方程，将曲线的极坐标利用两角差的正弦公式展开，由转化为直角坐标方程；（2）点和点的极坐标分别为，将点、的极坐标分别代入曲线、的极坐标方程，得出、的表达式，再利用辅助角公式计算出的最大值。【详解】（1）由曲线的参数方程（为参数）得
19、：，即曲线的普通方程为，又， 曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程可化为， 故曲线的直角方程为；（2）由已知，设点和点的极坐标分别为，其中则，于是 其中，由于，当时，的最大值是【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，以及利用极坐标方程求解最值问题，解题时要充分理解极坐标方程所适用的基本条件，熟悉极坐标方程求解的基本步骤，考查计算能力，属于中等题。22.已知函数（1）若，求函数的最大值；（2）令，讨论函数的单调区间；（3）若，正实数满足，证明.【答案】（1）f（x）的最大值为f（1）=0（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：（）代入求出值，利用导数求出函数的极值，进而判断最
20、值；（）求出，求出导函数，分别对参数分类讨论，确定导函数的正负，得出函数的单调性；（）整理方程，观察题的特点，变形得，故只需求解右式的范围即可，利用构造函数，求导的方法求出右式的最小值.试题解析：（）因为，所以a=-2，此时f（x）=lnx-x2+x， f（x）=-2x+1， 由f（x）=0，得x=1， f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， 故当x=1时函数有极大值，也是最大值，所以f（x）的最大值为f（1）=0 （）g（x）=f（x）-ax2-ax+1， g（x）=lnx-ax2-ax+x+1 ， 当a=0时，g（x）0，g（x）单调递增； 当a0时，x（0，）时，g（x）0，g（x）单调递增；x（，+）时，g（x）0，g（x）单调递减； 当a0时，g（x）0，g（x）单调递增； （）当a=2时，f（x）=lnx+x2+x，x0， 由f（x1）+f（x2）+x1x2=0，即 lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=0 从而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2-ln（x1x2）， 令t=x2x1，则由（t）=t-lnt得，（t）= 可知，（t）区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增所以（t）1， 所以（x1+x2）2+（x1+x2）1，正实数x1，x2， - 16 -