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1、立体几何中的翻折问题与最值问题一知识点导学1. 解决折叠问题注意什么？折叠问题是立体几何的一个重要内容 ，是空间几何问题与平面几何问题相互转化的集中体现，处理这类问题的关键就是抓住折叠前后图形的特征关系。解答折叠问题在于画好折叠前后的平面图形和立体图形，并弄清折叠前后哪些量和位置关系发生了变化 ， 哪些量和位置关系没有发生变化，这些未发生变化的已知条件就是我们分析问题和解决问题 的依据 。2立体几何常见的最值问题有哪些？如何解决？空间图形最值问题有线段、角、距离、面积、体积等最值问题，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题;如果不
2、能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解;再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解;还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次顺序思考，基本可以找到解题的途径3如何解决涉及几何体切接问题最值计算？求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题
3、，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；4解决折叠问题的步骤有哪些？二考点典例考点一：面积、体积最值问题空间几何体的侧面积、表面积、截面面积、体积等最值问题，往往是几何体中有关几何元素如顶点、侧棱、侧面、截面等在运动变化过程中 ， 达到某个特殊位置时所具有的度量性质 。 因此，在解决此类问题时，要注意分析这些几何元素运动变化与所求量的联系，建立两者之间的数量关系 。实例演练1（2021湖南模拟）如图所示，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为，为圆上的点，分别是以，为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以，为折痕折起，使得，重合，
4、得到三棱锥则当的边长变化时，三棱锥的表面积的取值范围是AB，CD，解：设三棱锥的底面边长为，则，如图所示，连接，交于点，则，三棱锥的底面积为，侧面积为，三棱锥的表面积，当的边长变化时，三棱锥的表面积的取值范围是，故选：实例演练2（2021宜宾模拟）已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，平面，是线段上一点，且若球的表面积为，则过点作球的截面，所得截面圆面积的最小值为ABCD解：依题意，两两互相垂直，取中点，连接，由对称性可知，球心在点正上方，且平面，则，设球的半径为，则，解得，由，解得，平面，又，而，在中，由余弦定理有，故，在中，要使过作圆的截面面积最小，则此时截面与垂直，设此时截面圆半径为，则，
5、故选：实例演练3（2021河南模拟）现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面为正方形，侧面为等边三角形，线段的中点为，若，则所需球体原材料的最小体积为ABCD解：所需原材料体积最小的球体即为四棱锥的外接球，如图，设为中点，为正方形中心，为边长为2的等边三角形，又，是的外心，过作面的垂线与过与面的垂线交于，则为四棱锥外接球的球心，又，在直角三角形中求出，又直角中，即球半径，得由于此时四棱锥在球心同侧，不是最小球，可让四棱锥下移到面过球心时，即球半径时，原材料最省，此时故选：实例演练4（2021马鞍山二模）如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，为底面圆心，为底面半径
6、，且，是母线的中点则在此圆锥侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为ABCD解：由题意，在底面半径为1，高为的圆锥中，是底面圆心，为圆锥顶点，圆锥的侧面展开图是半圆，如图，是底面圆周上的两点，所以在展开图中，母线长为：，为母线的中点，所以，所以从到的最短路径的长是故选：考点2：角的最值问题立体几何中的角有异面直线所成角、线面角和二面角的平面角三种。解决与这些角有关的最值问题的主要思路是将已知条件集中，运用运动变化的思想方法分析判断在何时取得最值；或利用空间直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，利用代数方法来解决 。实例演练5（2020秋丹东期末）已知，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的
7、直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，则A直线与所成角的最小值为B直线与所成角的最大值为C当直线与成角时，与成角D当直线与成角时，与成角解：由题意知，、三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故，斜边以直线为旋转轴，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆，以坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，直线的方向单位向量，1，直线的方向单位向量，0，设点在运动过程中的坐标中的坐标，其中为与的夹角，在运动过程中的向量，设与所成夹角为，则，正确，错误设与所成夹角为，当与夹角为时，即，此时与的夹角为，故正确，当与夹角为时，即，此时与的
8、夹角为，故正确故选：实例演练6（2020秋郑州期末）已知，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在的直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：（1）直线与所成的角不可能为；（2）直线与所成角的最大值为；（3）直线与所成的角为时，与所成的角为其中正确的是A（1）（2）B（2）（3）C（1）（3）D（1）（2）（3）解：把直线和直线都平移到过点，建立空间直角坐标系如图，直线即轴，直线即轴，所在直线即轴，斜边以直线为旋转轴旋转，点轨迹为圆，设，与轴正向成角为，与轴正向成角为，与轴正向成角为，斜边在平投影与轴正向成角为，则有，轴正向单位向量，0，轴正向单位向量，1，轴正向单位向
9、量，0，同理，所以有对于（1），假设直线与所成角为，即，与矛盾，所以（1）对；对于（2），当时，即时，直线与所成角的最大值为，所以（2）对；对于（3），假设直线与所成的角为时，与所成的角为，即，与矛盾，所以（3）错；故选：考点3折叠问题解决折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形和立体图形，抓住两个关键点 ，即不变的线线关系 、不变的数量关系。不变的线线关系，尤其是平面图形中的线线平行、线线垂 直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据 ；不变的数量关系是求解几何体的 数 字特征，如几何体的表面积和体积 、空间中的角和距离等 。实例演练7：（济南高三2021一模）已知菱形，将沿折起，使二面
10、角的大小为，则三棱锥的体积为ABCD解：如图，取的中点记为，连接，菱形，所以与是正三角形，就是二面角的平面角，平面平面，棱锥的高为：，所以三棱锥的体积为：故选：实例演练8（重庆2021三模）如图，正方形的边长为1，、分别为、的中点，将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下结论正确的是A异面直线与所成的角为定值B存在某个位置，使得直线与直线垂直C三棱锥与体积之比值为定值D四面体的外接球体积为解：对于，取中点，连接，则，且，平面，异面直线与所成的角为，又，异面直线与所成的角为定值，故正确；对于，若直线与直线垂直，直线与直线也垂直，则直线平面，直线直线，又，平面，而是以和为腰长的等
11、腰三角形，与题意不符，故错误；对于，分别为正方形的边、的中点，与面积比为，到面的距离与到面的距离之比为，三棱锥与体积之比值为定值，故正确；对于，外接球球心在中点，由题意解得外接球半径，四面体的外接球体积为，故正确故选：实例演练9.（2021秋潍坊期中）如图，已知菱形边长为3，点为对角线上一点，将沿翻折到的位置，记为，且二面角的大小为，则三棱锥的外接球的半径为；过作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为解：（1），且四边形为菱形，均为等边三角形，取，的重心分别为，过，分别作平面，平面的垂线，且交于一点，此时即为三棱锥外接球的球心，记，连接，二面角的大小为，且，二面角的平面角为，则，又，则，又
12、，即三棱锥的外接球的半径为；当截面面积最小时，此时截面，又截面是个圆，设圆的半径为，外接球的半径为，又，且，此时截面面积故答案为：；实例演练10（2020邵阳一模）已知菱形的边长为4，将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥，如图所示（1）当时，求证：平面；（2）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的正切值解：（1）证明：在中，即，且，平面；（2）由（1）知，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，则，为二面角的平面角，设平面的一个法向量为，则，可取，设直线与平面所成角为，则，思维提升 “平面折叠型 ”问题是近几年高考和模考考查立体几何的热点 ，所谓 “ 平面折叠型 ” 问题，
13、即将平面图形通过折叠变成立体图形，让静止问题动态化，有效考查空间线线 、 线面 、 面面的关系，有效考查空间角、空间距离、空间几何体的体积与表面积，更有效考查直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养 ， 使得立体几何的考查显得更加丰富多 彩策略一：明确翻折前后变与不变的关系先根据题目画出翻折前后的平面图形与空间图形，分清翻折前后图形的位置关系和数量关系的变化情况.一般折痕同侧的点、线、面之间的位置关系和数量关系不变，而位于折痕两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化.对不变的关系问题，在平面图形中处理；对变化的关系问题，在空间图形中处理. 突破训练1：在平行四边形中，且，沿折成直二面角，则直线与
14、直线所成角的大小是ABCD解：以为坐标原点建立如图所示的坐标系，设则，0，0，1，1，则，1，1，设直线与直线所成角为，则，故选：突破训练2（2020平顶山一模）在直角梯形中，沿将折成直二面角，则折后经过，四点的球面面积为ABCD解：根据题意，如图所示：所以：，由于，所以，由于，所以球心为的中点且垂直于的连线，且垂直于平面的直线与的连线，且是的中点，即球心为的中点，所以，则故选：策略二：明确翻折后关键点的位置所谓关键点，是指翻折过程中运动变化的点.这些点的位置移动，会带动其他点、线、面的关系随之变化，以及其他点、线、面相互之间的位置关系与数量关系的变化.分析清楚关键点的准确位置，以此作为参照点
15、，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算.突破训练3：（2021春沙坪坝区校级月考）如图所示，在矩形中，为上一动点，现将沿折起至，在平面内作，为垂足设，则下列说法正确的是A若平面，则B若平面，则C若平面平面，且，则D若平面平面，且，则解：如图，对于，若平面，则有，在中，则，所以，在中，即，故错误；对于，若平面，则有，在中，在中，即，解得，故正确；对于，若平面平面，过点作，垂足为，连接，因为平面平面，所以平面，所以，又，所以平面，所以，因为，所以在等腰中，所以在等腰中，故正确；对于，若平面平面，因为平面平面，所以平面，所以，过点作，垂足为，连接，因为，所以平面，又平面，所以，所以在矩
16、形中，连接，则有，三点共线，则，又，所以，又，由知，因为，所以，故正确故选：突破训练4：（2021春安徽月考）如图1，在一个正方形内，有一个小正方形和四个全等的等边三角形将四个等边三角形折起来，使，重合于点，且折叠后的四棱雉的外接球的表面积是（如图，则四棱锥的体积是解：在图2中，连接，交于点，则是正四棱锥外接球的球心，正四棱锥的所有棱都相等，设其为，则外接球的半径是，所以，因此故四棱锥的体积故答案为：方法总结：1图形翻折是空间几何的典型问题，在翻折的过程中，图形经历了由平面到空间的构建过程，在该过程中两者显然存在紧密的联系，即翻折前后有一定的不变量，而这些不变量构建了平面图形与空间几何之间的桥
17、梁，也是问题降维突破的关键.2立体几何的最值问题一般涉及长度、角度、面积和体积这四方面，并且多以较为规则的几何体为载体，通过几何体中相关几何元素的运动变化，求解时一般可以从三个方面思 考 ： 一是函数的方法，即引人变量 利用几何量之间的关系或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数 ， 将问题转化为求解函数的最值 ；二是综合法，即根据几何体的结 构特征及几何元素的运动变化 ，直接分析判断在什么情况下取得最值；三是转化法，即将空间几何问题化归为平面几何问题，运用平面几何知识解决 。基础卷1.（2021自贡模拟）已知四面体中，且若四体的外接球体积为，则当该四面体的体积最大时，A2B4C6D8解：如图
18、，由，得，又，平面，则，又，平面取中点，可得，则为四面体的外接球的球心，设外接球的半径为，由外接球体积为，得，即又，设，则，即当且仅当时上式取等号故选：2.（2021石家庄模拟）在三棱锥中，底面，动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为ABCD解：如图，底面，平面，又，平面把平面翻折至与平面重合，使位于处，则，由余弦定理得：，即，解得（舍去），或取中点，在与中，可得，则为三棱锥的外接球的球心，该棱锥的外接球的表面积为故选：3.（2020秋江苏期末）已知四边形是等腰梯形（如图，将沿折起，使得（如图，连结，设是的中点下列结论中正确的是AB点到平面的距离为C平面
19、D四面体的外接球表面积为解：在图1中，过作，四边形是矩形，四边形是等腰梯形，连接，则，得，则在图2中，平面平面，平面若，又，平面，过一点与垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾，故错误；由，得，又，而，设点到平面的距离为，由，得，即，故正确；假设平面，平面，平面，平面，又，平面平面，而平面，平面，与平面平面矛盾假设不成立，故与平面不平行，故错误；连接，为，为，且为的中点，即为四面体的外接球的球心，四面体的外接球的半径为，则四面体的外接球表面积为，故正确故选：4.（2020秋舟山期末）如图，平面四边形中，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，则四面体的外接球的球心到平面的距离
20、等于解：平面四边形中，可得，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，由面面垂直的性质可得，平面，则，由，得，又，得，由，取中点，则为四面体的外接球的球心，又，、平面，平面，即为到平面的距离，而为中点，则到平面的距离等于即四面体的外接球的球心到平面的距离等于故答案为：5.（2021春杨浦区校级期中）已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形（1）若该三棱锥的侧棱长为1，且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至回到出发点，求质点移动路程的最小值；（2）若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以为顶点，以内切圆为底面的圆锥的侧面积和体积；（3）若该棱锥的体积为定值，求该三棱锥侧面与底面所成的角，使该三
21、棱锥的表面积最小解：（1）如图，三棱锥的侧面展开图，质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至回到出发点，质点移动路程的最小值：1（2）易得圆雉的母线长，底面半径，高，所以，；（3）设是顶点在其底面上的射影，令到的距离为，于点，则则，所以所以令，则，从而，当且仅当，即也即时，取得最小值所以体积一定时，正三棱锥侧面与底面所成的二面角为时其表面积最小6.（2020安庆二模）正三角形的边长为，将它沿平行于的线段折起（其中在边上，在边上），使平面平面，分别是，的中点（）证明：平面；（）若折叠后，两点间的距离为，求最小时，四棱锥的体积证明：连接，在中，是的中点，所以又因为是等腰梯形的对称轴，所以而，所以平面解：因为平面平面，所以平面，连结，则设，为的中点），于是，当时，此时四棱锥的体积为