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1、1安徽省滁州市定远县育才学校安徽省滁州市定远县育才学校 2020-20212020-2021 学年高二数学下学期期中试题学年高二数学下学期期中试题理理一、选择题一、选择题(共共 1212 小题小题,每小题每小题 5 5 分分,共共 6060 分分)1.已知i(R)ab a b，是1i1i的共轭复数，则ab()A1B12C12D12.从甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株,测得它们的株高分别如下:(单位:cm)甲25414037221419392142乙27164427441640401640根据上表数据估计()A.甲种玉米比乙种玉米不仅长得高而且长得整齐 B.乙种玉米比甲种玉米不仅长得高而且长得整
2、齐C.甲种玉米比乙种玉米长得高但长势没有乙整齐 D.乙种玉米比甲种玉米长得高但长势没有甲整齐3.如图所示，5 组数据(,)x y中去掉(3,10)D后，下列说法错误的是()A.相关系数r变大B.残差平方和变大C.相关指数2R变大D.解释变量x与预报变量y的相关性变强4.已知球O的半径3 134R，三棱锥PABC内接于球O,PA 平面ABC，且3PAACBC，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为()A.35B.22C.155D.235.根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程0.70.35yx$,则实数,m n应满足()x3m56y2.534nA.0.71.7nmB.0.71.5nmC.0.7
3、1.7nmD.0.71.5nm6.已知平面内的两个向量1,1,1,0,2,1ab,且4,4,1mncab.若c为平面的法向量,则,m n的值分别为()A.1,2B.1,2C.1,2D.1,2 7.下列命题：若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；2在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；若两个变量间的线性相关关系越强，则相关系数r的值越接近于 1;对分类变量X与Y的随机变量2K的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大.其中正确的命题序号是（）ABCD8.已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,)abcm，若,a b c共
4、面，则实数m的值为()A.607B.14C.12D.6279.已知平面的一个法向量2,2,1 n,点1,3,0A 在平面内,则点2,1,4P 到平面的距离为()A.10B.3C.83D.10310.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是()若2k的观测值满足26.635k,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病;从独立性检验可知有 99%的把握认为吸烟与患病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有 99%的可能患有肺病;从统计量中得知有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有 5%的可能性使得推断出现错误.A.B.C.D.1
5、1.已知空间点1,5,2,7,2AaBa,则AB的最小值是()A3 3B2 3C3 6D2 612.若平面的法向量为1(3,2,1)n，平面的法向量为2(2,0,1)n，则平面与夹角的余弦是()A.7010B.7010C.7014D.7014二、填空题二、填空题(共共 4 4 小题小题,每小题每小题 5 5 分分,共共 2020 分分)13.在复平面上内,一个正方形的三个顶点对应的复数分别为3i,2i,01i,则第四个顶点对应的复数为_.14.已知复数z，且|1z，则|34i|z 的最小值是_.15、已知空间三点的坐标为 A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2),若 A,B,
6、C 三点共线,则p=_,q=_.16.以模型ekxyc去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设lnzy,其变换后得到线性回归方程0.34zx,则c _.三、解答题三、解答题(共共 6 6 小题小题，10+12*510+12*5，共，共 7070 分分)17.已知复数22(56)(215)izmmmm,当实数m为何值时:(1)z为实数;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数;(4)复数z对应的点Z在第四象限.318.随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图，如图(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班的样本方差(3)现从乙班这 10 名同
7、学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的同学被抽中的概率.19.某校为了加强体能训练,利用每天下午 15-16 点进行大课间活动.为了了解学生适应情况,他们采用给活动打分的方式(分数为整数,满分 100 分).从中随机抽取一个容量为 120 的样本,发现所给数据均在40,100内,现将这些数据分成 6 组并绘制出如图所示的样本频率分布直方图.（I）请将样本频率分布直方图补充完整，并求出样本的中位数与平均数 x（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（）在该样本中，经统计有男同学 70 人，其中 40 人打分在70,100，女同学 50 人，其中 20 人打分在
8、70,100，根据所给数据，完成下面的 22 列联表，并判断是否有90%的把握认为“对大课间活动的适应性跟性别有关”(分数在70,100内认为适应大课间活).适应不适应合计男同学女同学合计120附:22(),()()()()n adbcKnabcdab cdac bd.20P Kk0.1000.0500.0100.0010k2.7063.8416.63510.828420.某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x元99.29.49.69.810销量y件1009493908578附：对于一组数据 1122,nnx yxyxy，其回归直线 yb
9、xa的斜率的最小二乘估计值为1221niiiniix yn x ybxn x；aybx本题参考数值2662115116,60.7iiiiixyxx（1）若销量y与单价x服从线性相关关系，求该回归方程；（2）在（1）的前提下，若该产品的成本是 5 元/件，问：产品该如何确定单价，可使工厂获得最大利润.21.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD为菱形，60ABC，,M N分别为AB,PC的中点.（1）证明：/MN平面PAD；（2）当PC与平面PAB所成角为 45时，求二面角NMDB的余弦值.22.如图，在三棱柱111ABCA BC中，侧棱1AA 平面,ABCABC为等腰
10、直角三角形，90BAC，且12,ABAAE F分别是1,CC BC的中点.（1）若D是1AA的中点，求证：BD平面AEF.（2）线段AE（包括端点）上是否存在点M，使直线1B M与平面AEF所成的角为 60？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由.参考答案参考答案1.答案：D5解析：1i1i2ii1i1i 1i2，i=iiab，0,1ab，1ab，故选：D.2.答案：D解析：1254140372214193921421013001030 cm=1127164427441640164031031 cm1010,即乙种玉米的苗长得高.,即甲种玉米的苗长得整齐.综上,乙种玉米的苗长得高,甲种玉
11、米的苗长得整齐.故选 D.3.答案：B解析：4.答案：D解析：本题考查三棱锥的外接球以及线面角的求解.如图，取AB的中点D，连接DC，DP，由3ACBC，得CDAB；因为PA 平面ABC,CD 平面ABC，所以PACD；因为PAABA，所以CD 平面PAB，故CPD为PC与平面PAB所成角.设ABC的外接圆圆心为O，半径为r，连接,OO OA O A O B，则2222PARr，即2223 13342r，解得94r.所以2sin23ACABCr，所以sin2CDBCABC.由题可知PAAC，则3 2PC，所以22sin33 2CDCPDPC，故选 D.65.答案：A解析：依题意，1111(35
12、6)(14),(2.534)(9.5)4444xmmynn，故11(9.5)0.7(14)0.3544nm，解得0.71.7nm.6.答案：A解析：(4,4,1)(,)(0,2,)(4,4,1)(4,24,1)mnm m mnnmmnmncab.由c为平面的法向量,得00c ac b,即310590mnmn,解得12mn.7.答案：B解析：若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，由方差的计算公式可得样本的方差不变，故正确；在残差图，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，故正确；r的绝对值越接近于 1，故错误；对分类变量X与Y的随机变量2K的观测值k来说，k越大，判断“
13、X与Y有关系”的把握越大，故错误.故选：B8.答案：B解析：9.答案：D解析：由(1,2,4)AP uuu r,得点P到平面的距离|10|3APdnnuuu r.10.答案：C解析：要正确认识观测值的意义,观测值同临界值进行比较得到一个概率,这个概率是推断出错误的概率,若2k的观测值为6.635k,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,但不表示在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病,故不正确.也不表示某人吸烟,那么他有 99%的可能患有肺病,故不正确.若从统计量中求出有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有 5%的可能性使得推判出现错误,正确.故选 C.11.答案：C解析：
14、12.答案：D解析：13.答案：13i 解析：3i(3i)(1i)24i12i1i(1i)(1i)2.设复数12312i,2i,0zzz ,它们在复平面上的对应点分别是7,A B C,1,2,2,1,0,0ABC.又直线AC,BC的斜率之积为-1，90BCA.设正方形ADBC的第四个顶点对应的坐标是,D x y,ADCBuuu ruur,1,22,1xy,12,21xy ,1,3xy.第四个顶点对应的复数为13i.14.答案：4解析：方法一：复数z满足|1z，|34i|34i|514zz，|34i|z的最小值是 4.方法二：复数z满足|1z，复数z的对应点的集合是以原点为圆心，1 为半径的圆.
15、则|34i|z 表示复数对应的点Z与点(3,4)之间的距离，圆心O到点(3,4)之间的距离22(3)(4)5d ，|34i|z的最小值为514.答案：15、16.答案：4e解析：ekxyc,两边取对数,可得lnln(e)lnlnelnkxkxyccckx,令lnzy,可得lnzckx,0.34zx,ln4c,4ec.17.答案：(1)由22150mm,得3m 或5m.所以当3m 或5m 时,z为实数.(2)由22150mm,得3m 或5m.所以,当3m 或5m 时,z为虚数.(3)由22560,2150,mmmm得2m .所以,当2m 时,z为纯虚数.(4)由22560,2150,mmmm得2
16、5m.所以,当25m 时,复数z对应的点Z在第四象限.解析：18.答案：(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于 160-179 之间，而乙班身高集中于 170-180 之间，因此乙班平均身高高于甲班。(2)158162163168168170171 17917918217010 x甲班的样本方差为2222222222211581700162170163170168170168170170170171 170171 17017917017917018217057108(3)设身高为 176cm 的同学被拍中的事件为A。从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有：181173,18
17、1176,181178,1()()()()()81179,179173,179176,179178,178173,178,176,()()()(176173),共10 个基本事件，而事件A含有 4 个基本事件；42105P A解析：19.答案：（I）设60,70内的高为h，则0.0100.015010(0,0.0250.3100 05)h,0.015h，故补全样本频率分布直方图如图所示.由(5040)0.005(7050)0.0150.35,(10090)0.010(9080)0.0250.35,可得中位数为 75.平均数(450.005550.015650.015750.030850.025
18、950.010)1073.5x.（）根据题中的数据得到 22 列联表：适应不适应合计男同学403070女同学203050合计606012022120(40 3020 30)3.4292.70660 60 70 50K,故有90%的把握认为“对大课间活动的适应性跟性别有关”.解析：20.答案：（1）99.29.49.69.8 109.56x1009493908578906y又2662115116,60.7iiiiix yxx9所以122151166 9.5 90200.7niiiniix yn x ybxn x 9020 9.5280aybx故回归方程为20280yx.（2）设该产品的售价为x元
19、，工厂利润为L元，当5x 时，利润0L，定价不合理.由202800yx 得14x，故514x520280205 14Lxxxx，当9.5x 时，L取得最大值.因此，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为 9.5 元解析：21.答案：(1)【证明】取PD的中点G，连接NG，AG.NQ为PC的中点，/NG CD且12NGCD，又四边形ABCD为菱形，M为AB的中点，/AM CD且12AMCD，/NG AM且,NGAM四边形AMNG为平行四边形，/,MN AG又AG 平面,PAD MN 平面PAD，/MN干面PAD.(2)【解】连接CM，PM，60ABCQ，ABCV为等边三角形，又MQ为AB的中点
20、，CMAB.PA Q平面,ABCDPACM又,PAABACM平面PAB，PC与平面PAB所成角为,CPM即45,CPMPMCM.设2,AB 则3,PMCM又222PAAMPM，即2221(3),2PAPA.以点A为原点，垂直AD的直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示10的空间直角坐标系Axyz，则(0,0,2),(3,1,0),(3,1,0)PBC，31(0,2,0),022DM，3 122,0,1,2222NMNuuur，3 5,022MD uuu r.设平面NMD的法向量为1(,)x y zn，则110,0,MNMDnnuuuruuu r即20,2350,22y
21、zxy令1,y 得15 3,1,23n.显然平面BMD的一个法向量为2(0,0,1)n，121212251cos,17251123 nnn nn n，由图可知，二面角NMDB是锐二面角，故二面角NMDB的余弦值为5117.解析：22.答案：（1）【证明】如图，连接11,DC BC.11因为D,E分别是11,AA CC的中点，所以1AEDC.因为AE 平面11,BDC DC 平面1BDC，所以AE平面1BDC.因为E,F分别是1,CC BC的中点，所以1EFBC.因为EF 平面11,BDC BC 平面1BDC，所以EF平面1BDC.又,AEEFE AE平面,AEF EF 平面AEF，所以平面AE
22、F平面1BDC.又BD 平面1BDC，所以BD平面AEF.（2）【解】由题意得1,AB AC AA两两互相垂直，故以A为坐标原点，1,AB AC AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则1(0,0,0),(2,0,2),(0,2,1),(1,1,0)ABEF.则(0,2,1),(1,1,0)AEAF.设平面AEF的法向量为(,)x y zn，则由0,0,AEAFnn得20,0,yzxy令2z，得1,1xy，所以平面AEF的一个法向量为(1,1,2)n.设(0,2,)(01)AMAE，又1(2,0,2)AB，所以11(2,2,2)B MAMAB .12若直线1B M与平面AEF所成的角为 60，则111|sin60cos,|B MB MB Mnnn222222|1(2)(1)22(2)|1(1)2(2)(2)(2)2266326548548，解得0或45，即当点M与点A重合或45AMAE时，直线1B M与平面AEF所成的角为 60.解析：