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1、函数在某一个点处连续的定义函数在某一个点处连续的定义函数在某一个点处连续的定义函数在某一个点处连续的定义1第1页，共40页，编辑于2022年，星期五 若若 f(x),g(x)都在点都在点x0处连续，则根据极限的四则运算法则有处连续，则根据极限的四则运算法则有 即连续函数的和差仍然是连续函数即连续函数的和差仍然是连续函数 即连续函数的乘积仍然是连续函数即连续函数的乘积仍然是连续函数若若 g(x0)0 则则 即在分母不为零的情况下，连续函数的商仍然是连续函数即在分母不为零的情况下，连续函数的商仍然是连续函数 由前面我们知道由前面我们知道 y=c y=x都是连续函数，所以它们的乘积，和都是连续函数，
2、所以它们的乘积，和差都连续函数，所以反复的和差乘积得到差都连续函数，所以反复的和差乘积得到 在定义域内的每一点都连续在定义域内的每一点都连续2第2页，共40页，编辑于2022年，星期五 函数函数 （P,Q是多项式）在其定义域内每一点都是多项式）在其定义域内每一点都连续连续Sinx cosx 也是也是R上的连续函数上的连续函数所以得到所以得到 tanx cotx 在其定义域内连续在其定义域内连续定理定理 4.5 对于复合函数对于复合函数y=g(f(x)，若函数，若函数f在点在点x0连续，连续，g在点在点u0=f(x0)连续，则复合函数连续，则复合函数g.f在点在点x0连续。连续。证明证明 要证明
3、复合函数要证明复合函数 gf在点在点x0连续，按定义，只要证明连续，按定义，只要证明 要证明这个极限等于它，按定义要证明这个极限等于它，按定义任给任给 找找 当当 时时 因为因为 g在在 u0处连续处连续 所以存在所以存在 ，当，当 时，有时，有 3第3页，共40页，编辑于2022年，星期五 又因为又因为 f在在x0处连续，处连续，所以对上面的所以对上面的 存在存在 当当 时时 有有 即即 从而有：当从而有：当 时时 有有 从而从而 由这个定理得到由这个定理得到 即即 4第4页，共40页，编辑于2022年，星期五 例如例如 求求 解：这个函数可以看做是由函数解：这个函数可以看做是由函数 sin
4、u u=1-x2复合而得到的。由于函数复合而得到的。由于函数 sinu 1-x2等都是连续函数等都是连续函数所以所以 其实对于公式其实对于公式 并非一定要求里面的函数一定要是连续函数，其实只要里面的函并非一定要求里面的函数一定要是连续函数，其实只要里面的函数在数在x0处有极限处有极限a，至于函数在该点处的函数值是否等于这个，至于函数在该点处的函数值是否等于这个a，以及在，以及在该点处是否有定义我们都不用管，而外面的函数在该点处是否有定义我们都不用管，而外面的函数在a处又连续处又连续 5第5页，共40页，编辑于2022年，星期五 即即 若若 则则 和刚才证明定理的一样：和刚才证明定理的一样：任给
5、任给 找找 当当 时时 因为因为 g在在 a处连续处连续 所以存在所以存在 ，当，当 时，有时，有又因为又因为 所以对上述的所以对上述的 存在存在 当当 时时 有有 从而从而6第6页，共40页，编辑于2022年，星期五 即当即当 时，有时，有 所以所以 例例 求极限求极限 （1）（2）解：这个函数是由这两个函数解：这个函数是由这两个函数 复合得到复合得到 7第7页，共40页，编辑于2022年，星期五 函数在某一点处连续的一些性质函数在某一点处连续的一些性质:局部有界性、局部保号性、复局部有界性、局部保号性、复合的连续性合的连续性 函数在一个闭区间上的连续的性质：函数在一个闭区间上的连续的性质：
6、定义定义1 设设f为定义在数集为定义在数集D上的函数，若存在上的函数，若存在x0 D，使得对一切，使得对一切x D,都都有有 则称则称f在在D上有最大（最小）值，并称上有最大（最小）值，并称f(x0)为为f在在D上的最大（最上的最大（最小）值。小）值。例如例如 函数函数 y=sinx 在闭区间在闭区间 上上 最大值是最大值是1，最小值是最小值是0是不是任何一个函数在其定义域上都有最大值、最小值呢是不是任何一个函数在其定义域上都有最大值、最小值呢？8第8页，共40页，编辑于2022年，星期五 例如例如 函数函数 y=x (0,1)则它既没有最大值也没有最小值则它既没有最大值也没有最小值函数函数
7、闭区间闭区间0,1上也既没最大值也没有最小值上也既没最大值也没有最小值 定理定理4.6（最大、最小值定理最大、最小值定理）若函数若函数f在闭区间在闭区间a,b上连续，则上连续，则f在在a,b上有最大最小值上有最大最小值推论推论 （有界性定理）有界性定理）若函数若函数f在闭区间在闭区间a,b上连续，则上连续，则f在在a,b上上有界有界9第9页，共40页，编辑于2022年，星期五 定理定理4.7（介值定理）（介值定理）设函数设函数f在闭区间在闭区间a,b上连续，且上连续，且,若若u为为介介于于f(a)与与f(b)之之间间的的任任何何实实数数（f(a)uuf(b)）,则至少存在一点则至少存在一点,使
8、得使得 从而从而 同同时时当当 异异号号，则则必必有有一一个个正正、一一个个负负，因因此此 0必必在在这这个个值值域区间中，从而必至少有一个自变量域区间中，从而必至少有一个自变量 ，使得，使得 推推论论（根根的的存存在在定定理理）若若函函数数f在在闭闭区区间间a,b上上连连续续，且且f(a)与与f(b)异异号号，则则至至少少存存在在一一个个点点x0 a,b,使使得得f(x0)=0,即即方方程程f(x)=0在在(a,b)内至少有一个根。内至少有一个根。10第10页，共40页，编辑于2022年，星期五 f(a)与与 f(b)异号至少一个点的函数值为异号至少一个点的函数值为0 一般地，一般地，I是一
9、个区间，但未必是一个闭区间，函数是一个区间，但未必是一个闭区间，函数y=f(x)在在I上连续，任意取上连续，任意取 ，因为函数在，因为函数在I上连续，上连续，从而在闭区域从而在闭区域c,d上连续，因此上连续，因此，由闭区间上的介值定理有，由闭区间上的介值定理有 ，这说，这说明任意的两个不同的函数值所组成这个区间都包含在这个函数明任意的两个不同的函数值所组成这个区间都包含在这个函数的值域中的值域中，所以值域是一个区间，即，所以值域是一个区间，即I是区间，且是区间，且f在在I上连续，则函数上连续，则函数的值域也是一个区间。的值域也是一个区间。11第11页，共40页，编辑于2022年，星期五 闭区间
10、上连续的函数，有最大值闭区间上连续的函数，有最大值M,最小值最小值m,从而区间为从而区间为m,M必必包含在包含在f(I)中，又函数值最大就是中，又函数值最大就是M，最小是，最小是m，所以值域最大也就，所以值域最大也就能为能为m,M,因此因此f(I)=m,M 若函数在这个区间是增函数，则最大值为若函数在这个区间是增函数，则最大值为f(b),最小值为最小值为f(a),因此值域因此值域为为f(a),f(b)，若是减函数，则值域为，若是减函数，则值域为 f(b),f(a)闭区间上连续函数的几点性质，闭区间上连续函数的几点性质，最大最小值定理最大最小值定理，有界性定理，有界性定理，根的存在定理根的存在定
11、理12第12页，共40页，编辑于2022年，星期五例例 3 证明证明：若：若 r0,n 为正整数，则存在唯一正数为正整数，则存在唯一正数x0，使得使得 （称为（称为r的的n次正根次正根(即算术根即算术根)，记作，记作 ）证明：证明：存在性存在性:要证明存在一个数要证明存在一个数x0，使得使得 ，利用介值定理来，利用介值定理来证明，首先就必须构造一个闭区间上连续的函数，根据所要证明的式证明，首先就必须构造一个闭区间上连续的函数，根据所要证明的式子，我们构造函数子，我们构造函数 由于由于 0n=0,所以存在正数所以存在正数a，使得使得 考虑函数考虑函数 则这个函数在这个闭区间上连续则这个函数在这个
12、闭区间上连续 且且 f(0)rf(a)由介值定理，存在由介值定理，存在 ，使得，使得 再证唯一性再证唯一性 设还有另一个整数设还有另一个整数x1，使得，使得xn1=r，则有，则有 从而从而 x0=x113第13页，共40页，编辑于2022年，星期五 例例 4 设设f在在a,b上连续，满足上连续，满足 证明：存在证明：存在 ，使得，使得 分析，要找一个分析，要找一个 使得使得 ，即即考虑用根的存在定理，考虑用根的存在定理，作函数作函数 F(x)=f(x)-x，则，则F(x)在在a,b上连续，上连续，并且由并且由所以所以 F(a)=f(a)-a0 F(b)=f(b)-b0上面的两个不等式，若其中至
13、少有一个成立，则命题成立。若两个不等上面的两个不等式，若其中至少有一个成立，则命题成立。若两个不等式的等号都不成立，则这时两端的函数值异号，由根的存在定理得到，式的等号都不成立，则这时两端的函数值异号，由根的存在定理得到，存在存在 ，使得，使得 14第14页，共40页，编辑于2022年，星期五 连续函数的复合是连续函数，连续函数的复合是连续函数，连续函数若存在反函数时，反函数连续函数若存在反函数时，反函数是否连续？是否连续？定理定理4.8 若函数若函数f在在a,b上严格单调并连续，则反函数上严格单调并连续，则反函数f-1在其定义域在其定义域f(a),f(b)或或f(b),f(a)上连续上连续
14、证明：证明：不妨设不妨设f在在a,b上严格增，由于上严格增，由于f是单调函数，所以是单调函数，所以f有反函数有反函数f-1，并且由闭区间上连续函数性质得到，并且由闭区间上连续函数性质得到，f的值域为的值域为f(a),f(b)，从而从而 f-1的定义域为的定义域为f(a),f(b)任取任取 对端点一样证明对端点一样证明 往下证明在该点处连续，即：往下证明在该点处连续，即：即任给的即任给的 找找 当当 时有时有15第15页，共40页，编辑于2022年，星期五 设设 即即 在在x0的左右两侧分别取的左右两侧分别取 x1,x2,且使得且使得设设 根据函数是单调递增，所以根据函数是单调递增，所以 取取
15、则当则当 时时，有，有 所以所以 所以反函数所以反函数f-1 连续连续16第16页，共40页，编辑于2022年，星期五 例例5 由于由于y=sinx在区间在区间 上严格单调且连续，故其反上严格单调且连续，故其反函数函数y=arcsinx在区间在区间-1,1上连续上连续 同样同样 y=arccosx在在-1,1上连续上连续 y=arctanx 在上连续在上连续例例6 y=xn(n为整数为整数)在在0,+)上严格单调且连续，故其反函上严格单调且连续，故其反函数数 在在0,+)连续，连续，而而 可以看做可以看做 的复合，而这两个函数都是连续的复合，而这两个函数都是连续函数，所以这个函数也连续函数，所
16、以这个函数也连续 所以得到所以得到 （q为非零整数）是其定义域区间上的连续函数为非零整数）是其定义域区间上的连续函数17第17页，共40页，编辑于2022年，星期五 例例 证明：证明：有理幂函数有理幂函数 在其定义区间上连续在其定义区间上连续证明：证明：是有理数，所以是有理数，所以 可以表示为可以表示为 ，这里，这里 p,q都都是整数，是整数，所以所以 可以看做由可以看做由 与与 ，而这两个函数都是连续函数，所以这个函数是连续函数。，而这两个函数都是连续函数，所以这个函数是连续函数。18第18页，共40页，编辑于2022年，星期五 练习练习 6-10 作业作业 9 19第19页，共40页，编辑
17、于2022年，星期五 练习练习 P9 1-8 作业作业 P9 720第20页，共40页，编辑于2022年，星期五 练习练习 P9 1-8 作业作业 P9 721第21页，共40页，编辑于2022年，星期五 练习练习 P9 1-8 作业作业 P9 722第22页，共40页，编辑于2022年，星期五 练习练习 P9 1-8 作业作业 P9 723第23页，共40页，编辑于2022年，星期五 练习练习 P9 1-8 作业作业 P9 724第24页，共40页，编辑于2022年，星期五 练习练习 P9 1-8 作业作业 P9 725第25页，共40页，编辑于2022年，星期五 练习练习 P9 1-8 作
18、业作业 P9 726第26页，共40页，编辑于2022年，星期五 练习练习 P9 1-8 作业作业 P9 727第27页，共40页，编辑于2022年，星期五 练习练习 P9 1-8 作业作业 P9 728第28页，共40页，编辑于2022年，星期五 练习练习 P9 1-8 作业作业 P9 729第29页，共40页，编辑于2022年，星期五 练习练习 P9 1-8 作业作业 P9 730第30页，共40页，编辑于2022年，星期五 练习练习 P9 1-8 作业作业 P9 731第31页，共40页，编辑于2022年，星期五 练习练习 P9 1-8 作业作业 P9 732第32页，共40页，编辑于2
19、022年，星期五 练习练习 P9 1-8 作业作业 P9 733第33页，共40页，编辑于2022年，星期五 练习练习 P9 1-8 作业作业 P9 734第34页，共40页，编辑于2022年，星期五 练习练习 P9 1-8 作业作业 P9 735第35页，共40页，编辑于2022年，星期五 练习练习 P9 1-8 作业作业 P9 736第36页，共40页，编辑于2022年，星期五 练习练习 P9 1-8 作业作业 P9 737第37页，共40页，编辑于2022年，星期五 练习练习 P9 1-8 作业作业 P9 738第38页，共40页，编辑于2022年，星期五 练习练习 P27 1 239第39页，共40页，编辑于2022年，星期五 P27 练习练习 2-8 作业作业 2（1）（）（2）40第40页，共40页，编辑于2022年，星期五