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1、数学家与函数第1页，本讲稿共33页实验中学2013届八班数学研究性课题组长：张岩副组长：张宇翔图片收集：张龄予、买云婷文字收集：沈志明、罗大伟感受总结：李佳奇修改：陈濮第2页，本讲稿共33页目录contents什么是函数：中国数学家：祖冲之李善兰华罗庚外国数学家：笛卡尔莱布尼茨 欧拉柯西狄利克雷 大家的感受：张岩张宇翔买云婷张龄予沈志明罗大伟李佳奇陈濮总的感受老师的评价：函数之美：叶形线箕舌线双纽线李萨茹曲线蔷薇线阿基米德线耐克线星形线其他函数之美的调查：第3页，本讲稿共33页什么是函数 函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号
2、为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应，就称对应法则f是X上的一个函数，记作yf（x），称X为函数f（x）的定义域，集合y|y=f（x），xR为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。对应法则和定义域是
3、函数的两个要素。返回目录返回目录第4页，本讲稿共33页祖冲之 他写的缀术一书，被收入著名的算经十书中，作为唐代国子监算数课本，可惜后来失传了。隋书律厉志留下一小段关于圆周率（）的记载，祖冲之算出的真值在3.1415926和3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，成为当时世界上最先进的成就。祖冲之入选中国世界记录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家，创造了中国纪协世界之最。这一纪录直到15世纪才由阿拉伯数学家卡西打破。祖冲之还给出的两个分数形式：22/7（约率）和355/113（密率），其中密率精确到小数第7位，在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托重
4、新发现。祖冲之还和儿子祖暅一起圆满地利用牟合方盖解决了球体积的计算问题，得到正确的球体积公式。我们的看法：祖冲之不仅是我国历史上杰出的科学家，而且在世界科学发展史上也有崇高的地位。祖冲之创造“密率”，是世界闻名的。我们应该纪念像祖冲之这样的科学家，珍视他们的宝贵遗产。返回目录第5页，本讲稿共33页李善兰李善兰 李善兰,原名李心兰,字竟芳,号秋纫,别号壬叔.生于 1811 年1 月2 日,浙江海宁人,是近代著名的数学,天文学,力学和植物学家，创立了二次平方根的幂级数展开式,各种三角函数,反三角函数和对数函数的幂级数展开式,这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。自幼喜好数学，后以诸生应试
5、杭州，得元代著名数学家李冶撰测圆海镜，据以钻研，造诣日深。道光间，陆续撰成四元解、麟德术解、弧矢启秘、方圆阐幽及对数探源等，声名大起。我们的看法：李善兰创立了二次平方根的幂级数展开式,各种三角函数,反三角函数和对数函数的幂级数展开式,这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。返回目录第6页，本讲稿共33页华罗庚 已故数学大师华罗庚院士是中国科学院数学研究所的创始人。他关于典型域上多元复变数函数论的研究，于1956年获得第一届国家自然科学奖一等奖。华罗庚1958年在科学出版社出版了多复变函数论中典型域上的调和分析一书。此书的初稿完成于1954年，是申请一等奖的依据。此书一出版就引起了国际上
6、的高度重视。首先是苏联科学院Steklov数学研究所于同年来函要求将此书翻译成俄文出版（但由于苏联人同时精通中文及数学的不多，请华罗庚先译成英文，再由他们译成俄文出版）。英文版是1963年从俄文版再翻译成英文，由美国数学会出版的。英文版出版后，此书受到国际数学界的普遍关注和高度评价，成为该领域研究的必然要引用的书籍。丘成桐教授（菲尔兹奖、瑞典科学院卡拉夫奖、美国国家科学奖获得者）说，华罗庚这方面的研究成果领先世界十年。我们的看法：治学严谨的数学家，科学成就斐然。在美国过着优越的生活，但是心系祖国，新中国成立后，他毅然抛弃优厚的待遇回国支援国家建设，并带动起一批海外人才的归国热潮，是当代知识分子
7、的榜样。返回目录 第7页，本讲稿共33页笛卡尔 笛卡尔最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学。在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究，于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。他的这一成就为微积分的创立奠定了基础。解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一。笛卡尔不仅提出了解析几何学的主要思想方法，还指明了其发展方向。他在几何学中，将逻辑，几何，代数方法结合起来，通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法，从此，数和形就走到了一起，数轴是数和形的第一次接触。解析几何的创立是数学史上一次划时代的转折。而
8、平面直角坐标系的建立正是解析几何得以创立的基础。直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念可以用代数形式来表示，几何图形也可以用代数形式来表示，于是代数和几何就这样合为一家人了。我们的看法：笛卡尔在哲学上是二元论者，并把上帝看作造物主。但笛卡儿在自然科学范围内却是一个机械论者，这在当时是有进步意义的。笛卡尔堪称17世纪及其后的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。返回目录第8页，本讲稿共33页莱布尼茨 戈特弗里德威廉凡莱布尼茨（Gottfried Wilhelm von Leibniz，1646年7月1日1716年11月14日）德国最重要的自然科学家
9、、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见的科学天才，和牛顿（1643年1月4日1727年3月31日）同为微积分的创建人。最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨。最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂，如y=kx+b都叫函数。以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标。莱布尼茨曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，莱布尼茨证明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论，此外，莱布尼茨还创立了符号逻辑学的基本概念。我
10、们的看法：莱布尼茨在数学方面的成就是巨大的，他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。返回目录 第9页，本讲稿共33页欧拉欧拉 莱昂哈德莱昂哈德欧拉（欧拉（Leonhard Euler Leonhard Euler，17071707年年4 4月月5 5日日17831783年年9 9月月1818日）是日）是瑞士数学家和物理学家。他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学瑞士数学家和物理学家。他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔家之一（另一位是卡尔弗里德里克弗里德里克高斯）。欧拉是第一个使用高斯）。欧拉是第一个使
11、用“函数函数”一一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y=F(x)(y=F(x)(函数的定义由莱函数的定义由莱布尼兹在布尼兹在16941694年给出年给出)。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。欧拉的数学生涯开始于牛顿欧拉的数学生涯开始于牛顿(Newton)(Newton)去世的那一年。对于欧拉这样一个天才人去世的那一年。对于欧拉这样一个天才人物，不可能选择到一个更有利的时代了。解析几何物，不可能选择到一个更有利的时代了。解析几何(1637(1637年问世年问世)已经应用了已经应用了9090年，年，微积分大约微
12、积分大约5050年，牛顿年，牛顿(Newton)(Newton)万有引力定律这把物理天文学的钥匙，摆到数学界万有引力定律这把物理天文学的钥匙，摆到数学界人们面前已人们面前已4040年。在这每一个领域之中，都已解决了大量孤立的问题，同时在各处做年。在这每一个领域之中，都已解决了大量孤立的问题，同时在各处做了进行统一的明显尝试。但是还没有像后来做的那样，对整个数学，纯粹数学和应用了进行统一的明显尝试。但是还没有像后来做的那样，对整个数学，纯粹数学和应用数学，进行任何有系统的研究。特别是笛卡儿数学，进行任何有系统的研究。特别是笛卡儿(Descrates)(Descrates)、牛顿、牛顿(Newto
13、n)(Newton)和莱布和莱布尼茨尼茨(Leibniz)(Leibniz)强有力的分析方法还没有像后来那样被充分运用，尤其在力学强有力的分析方法还没有像后来那样被充分运用，尤其在力学和几何学中更是如此。和几何学中更是如此。我们的看法：欧拉的天才使纯数学和应用数学的每一个领域都得到了充实，他我们的看法：欧拉的天才使纯数学和应用数学的每一个领域都得到了充实，他的数学物理成果有着无限广阔的应用领域。的数学物理成果有着无限广阔的应用领域。返回目录第10页，本讲稿共33页柯西 柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没有给出明确的定义。柯西首
14、先阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算，级数与无穷乘积的展开，用含参变量的积分表示微分方程的解等等。当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度。他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”。1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。我们的看法：人总是要死的，但是，他们的功绩永存。返回目录第11页，本讲稿共33页狄利克
15、雷 德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；18221826年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。1837年，德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数。”这个定义抓住了概念的本质属性，
16、变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式。这个定义比前面的定义带有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便。因此，这个定义曾被比较长期的使用着。我们的看法：狄利克雷是现代数学的真正远祖，他是头一个在数学中重视概念，并有意识地“以概念来代替运算”的人。返回目录 第12页，本讲稿共33页返回目录叶形线叶形线其解析式为：其解析式为：x x3 3+y+y3 3=3axy=3axy 第13页，本讲稿共33页返回目录箕舌线箕舌线其解析式为其解析式为y(x2+4a2)=8a3y(x2+4a2)=8a3第1
17、4页，本讲稿共33页返回目录双纽线双纽线解析式：解析式：(x2+y2)2=2a2(x2(x2+y2)2=2a2(x2 y2)y2)第15页，本讲稿共33页其中，返回目录李萨茹曲线李萨茹曲线第16页，本讲稿共33页其别名很多，如玫瑰曲线等其别名很多，如玫瑰曲线等返回目录蔷薇线蔷薇线蔷薇线是使用了极坐标系的三角函数蔷薇线是使用了极坐标系的三角函数标准形式为：标准形式为：第17页，本讲稿共33页这是一个三叶蔷薇曲线，其极坐标解析式为：这是一个三叶蔷薇曲线，其极坐标解析式为：第18页，本讲稿共33页这是一个四叶蔷薇曲线，其极坐标解析式为：这是一个四叶蔷薇曲线，其极坐标解析式为：返回目录第19页，本讲稿
18、共33页返回目录阿基米德线阿基米德线第20页，本讲稿共33页返回目录耐克线耐克线第21页，本讲稿共33页返回目录星形线星形线第22页，本讲稿共33页 第23页，本讲稿共33页 第24页，本讲稿共33页返回目录 第25页，本讲稿共33页张岩、张宇翔的感受：现实世界是数学的丰富源泉,数学源于生活、寓于生活、用于生活。数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,日用之繁,无处不用数学。这是对数学与生活的精彩描述。这次活动，让我们体会到了数学的魅力。并深深爱上了这门伟大的学科。许多许多的石头堆积起来可以变成一座巨大的高山；许多许多的砖头垒筑起来，可以砌成万里长城。蚂蚁虽小，
19、但许多蚂蚁团结在一起，能拖动一根很大的骨头；一个人的力量虽小，但许多微弱的力量汇合在一起，就能排山倒海，战胜一切！正是因为我们8个人一起努力，一起学习，才完成了我们这次的课题学习，我们在快乐中学习，在学习中享受快乐。我们在探究中不光学到了知识，还学会了团结，学会了享受学习。返回目录 第26页，本讲稿共33页张龄予、买云婷的感受：通过这次数学函数与科学家的课题学习，我们了解了很多知识。数学家们将自己的人生奉献于数学的海洋中。我们应学习他们坚持不懈的精神。在以后的数学学习中，这些知识一定会有很大的帮助。这次活动中，我深刻体会到数学源于生活，又反过来应用于生活。数学最大的价值在于其应用价值。马克思曾
20、说过：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完善的地步。”数学的应用是广泛的。从日常生活，到工业生产、商贸交易、天文地理、科学研究数学的应用无处不在。所以说，学好数学不光是为了考试，在实际生活当中对我们也有极大的好处。这次活动，我们受益匪浅。返回目录第27页，本讲稿共33页沈志明、罗大伟的感受：绚丽多彩的函数图像，坎坷曲折的人生故事，源远流长的发展历程，构成了生活中不可或缺的元素数学。在这知识与知识的碰撞中给了我很多感悟，中外数学家为数学的发展做出了巨大贡献，有的人不惜献出生命，体现了他们伟大的科学探索精神，为数学发展提供了飞跃的契机。美丽的函数图像更加反映了人们的思想结晶。数学的殿堂以为
21、我们敞开，让我们乘着腾飞的翅膀去感悟多彩的数学世界吧！通过这次数学探究课题的学习，使我对数学这门学科更加了解，同时也让我对于高中的数学有了一个新的认识，相信通过这次课题的学习，会更有助于我对日后在学习上的帮助，理解，并且通过这次课题的学习，使我对数学这门学科更有兴趣。让我学习到了在平时课堂上都很难了解到的知识，这对我学习数学有了很大的帮助。返回目录第28页，本讲稿共33页李佳奇、陈濮的感受：通过这次的制作数学课体活动，我了解到了许多有关于函数的历史、来历，以及那些为了数学的发展所做了巨大贡献的数学家们和他们为了这些成果所付出的努力。看过他们的故事后，我觉得我也应该具有向他们那样的吃苦耐劳，不怕
22、苦，不怕累的精神。通过这次课题活动，我了解到了数学的来之不易，他是经过古代的数学家不断研究，幸苦付出，乃至付出了生命才得到了现在的成果，他们不畏艰难，废寝忘食，是我们的数学有了如此巨大的发展，我们必须努力的学习才能对得起这些科学家的付出与艰辛。返回目录第29页，本讲稿共33页全组感受：函数是数学课题研究的重要一课，这是我们高中第一次做课题。通过我们8个人的努力，凝结成了这“数学之美”在合作的过程中不免有些分歧，每个人都有自己的思想，但8个人的小团队通过讨论、理解，取其精华，剔其糟粕，团结上进的我们成功的完成了这次数学课题。这次课题制作，让我们更加深入透彻地了结了函数，加深了我们的印象，在以后的
23、函数学习中也有很大帮助。了解了中外数学家与那些鲜为人知的故事，不仅在数学方面有所了解，也在我们每个人的精神层面上有深深的触动，让我们了解了数学发展的不易，也让我们体会到了成功的背后所需要付出的辛勤汗水，更教会了我们如何做人。这次的数学课题学习，我们收获很多，对数学的热爱也是越来越强烈，我们会团结奋进在数学的世界里体味这它的魅力，享受数学带给我们的快乐。返回目录第30页，本讲稿共33页实验中学高一八班学生对各种函数图像喜爱情况调查表实验中学高一八班学生对各种函数图像喜爱情况调查表调查对象：实验中学高一八班全体学生调查人数：65（人）男生人数：34（人）女生人数：31（人）函数图像名称 叶形线 箕舌线 双纽线 李萨茹曲线 蔷薇线 阿基米德线耐克线 星形线 其他 男生人数（人）2316321421女生人数（人）3221134042共计人数（人）55371661463第31页，本讲稿共33页老师的评价：第32页，本讲稿共33页第33页，本讲稿共33页