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1、第七章万有引力1本讲稿第一页，共二十八页（一）质点在有心力场中的运动（一）质点在有心力场中的运动一、有心力一、有心力所谓有心力，就是方向始终指向（或背向）固定中心的力所谓有心力，就是方向始终指向（或背向）固定中心的力.该固定中心称为力心该固定中心称为力心.在许多情况下，有心力的大小在许多情况下，有心力的大小仅与考察点至力心的距离有关，即仅与考察点至力心的距离有关，即 有心力存在的空间称为有心力场，如万有引力场、有心力存在的空间称为有心力场，如万有引力场、库仑力场、分子力场。库仑力场、分子力场。保守有心力保守有心力第六章万有引力第六章万有引力2本讲稿第二页，共二十八页二、有心力场质点运动的一般特
2、征二、有心力场质点运动的一般特征在有心力场中，质点的运动方程为在有心力场中，质点的运动方程为其特征：其特征：运动必定在一个平面上运动必定在一个平面上 当质点的初速度给定后，质点只能在初速度与初始矢当质点的初速度给定后，质点只能在初速度与初始矢径所构成的平面内运动径所构成的平面内运动.往往用往往用平面极坐标平面极坐标描述运动描述运动.取力取力心为原点，运动方程为心为原点，运动方程为方向方向方向方向第六章万有引力第六章万有引力3本讲稿第三页，共二十八页有心力对原点的力矩为零，故质点对原点的有心力对原点的力矩为零，故质点对原点的角动量守恒角动量守恒.两个守恒量两个守恒量对（对（2 2）式两边乘）式两
3、边乘r，再对时间积分得，再对时间积分得有心力为保守力，质点的有心力为保守力，质点的机械能守恒机械能守恒第六章万有引力第六章万有引力即角动量守恒即角动量守恒4本讲稿第四页，共二十八页 有效势能与轨道特征有效势能与轨道特征因因 是运动常量，故机械能守恒定律可写为是运动常量，故机械能守恒定律可写为 设有两个质量分别为设有两个质量分别为m、M 的质点，的质点，则引力势能为则引力势能为有效势能有效势能第六章万有引力第六章万有引力则有则有5本讲稿第五页，共二十八页u利用势能曲线对引力场轨道特征作定性讨论利用势能曲线对引力场轨道特征作定性讨论第六章万有引力第六章万有引力 质点总能量质点总能量E 的大小决定了
4、质点在有心力场中的运动范围，即质的大小决定了质点在有心力场中的运动范围，即质点可作不同类型的轨道运动点可作不同类型的轨道运动.Er拱点：质点的总能量为拱点：质点的总能量为E的水平线的水平线 与有效势能曲线的交点与有效势能曲线的交点拱点的性质：拱点的性质：在拱点处，在拱点处，r 取极值，径向速度为零，取极值，径向速度为零，即即代入（代入（3）式可得）式可得6本讲稿第六页，共二十八页1.1.若若E=E1 0，E1r1E=E1r1r2MOErVeff可证明此轨道为一双曲线；可证明此轨道为一双曲线；第六章万有引力第六章万有引力(r,)，由方程（，由方程（4）可得）可得7本讲稿第七页，共二十八页第六章万
5、有引力第六章万有引力2.2.若若E=E2=0，E=E2r2MOErVeffEr2可证明此轨道为一抛物线；可证明此轨道为一抛物线；(r,)，由方程（，由方程（4）可得）可得8本讲稿第八页，共二十八页第六章万有引力第六章万有引力3.3.若若E=E3 0，此轨道为一双曲线；，此轨道为一双曲线；E1r1E=E1r12.2.若若E=E2=0，此轨道为一抛物线；，此轨道为一抛物线；Er2E=E2r23.3.若若E=E30，此轨道为一椭圆，力心为椭圆的一个焦点；，此轨道为一椭圆，力心为椭圆的一个焦点；4.4.若若E=E4=Veff-min，此轨道为一圆，此轨道为一圆.E3r3minr3maxr3minr3m
6、axE=E3ME=E4r0E4r0OErVeff11本讲稿第十一页，共二十八页 有心力场中质点运动的定量处理有心力场中质点运动的定量处理第六章万有引力第六章万有引力由角动量守恒和机械能守恒定律可得由角动量守恒和机械能守恒定律可得解以上方程组解以上方程组 为待定常数为待定常数(与与E和和V(r)有关有关)其中其中i.=0，圆方程，半径，圆方程，半径 r=r0ii.0 1，双曲线方程，焦点，双曲线方程，焦点:(0,0)，开口向左，开口向左12本讲稿第十二页，共二十八页(二二)开普勒三定律开普勒三定律 人们对金、木、水、火、土五颗行星的运动有过长期的观人们对金、木、水、火、土五颗行星的运动有过长期的
7、观察，特别是丹麦天文学家第谷（察，特别是丹麦天文学家第谷（Tyeho Brahe,1546-1601Tyeho Brahe,1546-1601）进）进行了连续行了连续2020年的仔细观测和记录，他的学生开普勒（年的仔细观测和记录，他的学生开普勒（Kepler Kepler Johamnes,1571-1630Johamnes,1571-1630）则花了大约）则花了大约2020年的时间分析这些数据，年的时间分析这些数据，总结出三条行星运动规律。总结出三条行星运动规律。一、开普勒行星运动定律一、开普勒行星运动定律(1)1)轨道定律：行星沿椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一轨道定律：行星沿椭圆轨道运行，
8、太阳位于椭圆的一 个焦点上；个焦点上；(2)(2)面积定律：对任一行星，它的矢径在相等的时间内扫过面积定律：对任一行星，它的矢径在相等的时间内扫过 的面积相等；的面积相等；(3)(3)周期定律：行星绕太阳运动轨道半长轴周期定律：行星绕太阳运动轨道半长轴 a 的立方正比的立方正比 于公转周期于公转周期 T 的平方的平方,即即第六章万有引力第六章万有引力13本讲稿第十三页，共二十八页 利用角动量守恒定律证明开普勒面积定律利用角动量守恒定律证明开普勒面积定律用用 表示从表示从O到速度矢量到速度矢量v的垂直的垂直距离，则有距离，则有如图，行星对太阳的角动量大小为如图，行星对太阳的角动量大小为其中其中
9、是是 时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积，故时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积，故LOrmv掠面速度掠面速度第六章万有引力第六章万有引力14本讲稿第十四页，共二十八页 由于万有引力为有心力，它对力心的力矩总是等于零，由于万有引力为有心力，它对力心的力矩总是等于零，故角动量守恒，亦即故角动量守恒，亦即 这就证明了掠面速度不变，也就是开普勒笫二定律这就证明了掠面速度不变，也就是开普勒笫二定律.实实际上，此定律与角动量守恒定律等价际上，此定律与角动量守恒定律等价.如图，由解析几何知，椭圆方程为如图，由解析几何知，椭圆方程为 太阳在焦点位置太阳在焦点位置两焦点在长轴上位置坐标为两焦点在长轴上位置坐
10、标为ca第六章万有引力第六章万有引力15本讲稿第十五页，共二十八页 设行星远日点和近日点的距离分别为设行星远日点和近日点的距离分别为 ，对应的速，对应的速度为度为 .由机械能守恒，有由机械能守恒，有由角动量守恒，有由角动量守恒，有第六章万有引力第六章万有引力(1)(1)(2)(2)16本讲稿第十六页，共二十八页其中考虑到其中考虑到 这表明太阳位置坐标为（这表明太阳位置坐标为（-c），这正是几何上的椭圆焦点位置），这正是几何上的椭圆焦点位置.这这一结果与天文观测资料的一致，证明了牛顿力学理论的正确性一结果与天文观测资料的一致，证明了牛顿力学理论的正确性,最为重要最为重要的是一举同时证明了引力二次
11、方反比律和运动定律两者的正确性的是一举同时证明了引力二次方反比律和运动定律两者的正确性.解（解（1 1）、（）、（2 2）和（）和（3 3）得）得根据向心力公式和长轴端点弧元的曲率半径，有根据向心力公式和长轴端点弧元的曲率半径，有第六章万有引力第六章万有引力最后求得最后求得(3)(3)（其中：（其中：）17本讲稿第十七页，共二十八页(三三)万有引力定律万有引力定律一、由开普勒定律推导万有引力定律一、由开普勒定律推导万有引力定律 若若mms，可把太阳看作静止惯性系，行星轨道看作圆形，而行星，可把太阳看作静止惯性系，行星轨道看作圆形，而行星应作匀速圆周运动。由开普勒轨道定律得应作匀速圆周运动。由开
12、普勒轨道定律得而而 ,故故取比例系数为取比例系数为k,则得则得（注：下面推导中（注：下面推导中a用用r代替）代替）第六章万有引力第六章万有引力（注：这里（注：这里a为向心加速度为向心加速度）18本讲稿第十八页，共二十八页 牛顿认为这种引力是万有的、普适的、统一的，即所有物牛顿认为这种引力是万有的、普适的、统一的，即所有物体之间都存在这种引力，称之为万有引力。体之间都存在这种引力，称之为万有引力。对地球和月亮之间的吸引力应有对地球和月亮之间的吸引力应有根据牛顿第三定律，由以上两式得根据牛顿第三定律，由以上两式得其比值应是一个与地球和月亮都无关的普适常数，设为其比值应是一个与地球和月亮都无关的普适
13、常数，设为G,则则第六章万有引力第六章万有引力19本讲稿第十九页，共二十八页于是，地球、月亮之间的引力为于是，地球、月亮之间的引力为普适的万有引力定律则可描述为普适的万有引力定律则可描述为G称为万有引力常数称为万有引力常数.因为引力太弱，又不能屏蔽对它的因为引力太弱，又不能屏蔽对它的干扰，实验很难做，故万有引力常数是目前测量最不精干扰，实验很难做，故万有引力常数是目前测量最不精确的一个基本物理常量。确的一个基本物理常量。其量纲为其量纲为第六章万有引力第六章万有引力20本讲稿第二十页，共二十八页卡文迪许扭秤实验（卡文迪许扭秤实验（1789年）年）亨利亨利卡文迪许卡文迪许(Henry Cavend
14、ish,17311810)英国化学家、物理学家。英国化学家、物理学家。1760年卡文迪许被选为伦敦皇家学年卡文迪许被选为伦敦皇家学会成员，会成员，1803年又被选为法国年又被选为法国研究院的研究院的18名外籍会员之一名外籍会员之一。第六章万有引力第六章万有引力21本讲稿第二十一页，共二十八页第六章万有引力第六章万有引力例例7.1 试由地球向火星发射人造天体的发射速度。试由地球向火星发射人造天体的发射速度。ESM解：采用双切轨道方案（霍曼轨道方案）解：采用双切轨道方案（霍曼轨道方案）设地球轨道和火星轨道半径分别为设地球轨道和火星轨道半径分别为re,rm,则飞船运行的双切椭圆则飞船运行的双切椭圆轨
15、道半长轴轨道半长轴a是是re,rm,的平均值，即的平均值，即双切轨道双切轨道22本讲稿第二十二页，共二十八页第六章万有引力第六章万有引力由由其中其中 C=Gmsm，ms，m分别为太阳和飞船质量；分别为太阳和飞船质量；E为飞船摆脱地球的引力束缚后的总能量；为飞船摆脱地球的引力束缚后的总能量；此时，飞船与太阳的距离仍为此时，飞船与太阳的距离仍为re，则此时飞船的动能为，则此时飞船的动能为由此解得飞船此时的速度由此解得飞船此时的速度（注：此速度相（注：此速度相对于太阳）对于太阳）23本讲稿第二十三页，共二十八页相对于地球，飞船摆脱地球引力后的速度为相对于地球，飞船摆脱地球引力后的速度为其中其中ve
16、e为地球公转速度，为地球公转速度，ve=29.6km/s设飞船相对于地球的发射速度为设飞船相对于地球的发射速度为v，由机械能守恒定律可得，由机械能守恒定律可得于是可得于是可得其中其中v2为第二宇宙速度，为第二宇宙速度，v2=11.2km/s第六章万有引力第六章万有引力24本讲稿第二十四页，共二十八页第六章万有引力第六章万有引力将有关数据代入，可得将有关数据代入，可得以及以及最后可得由地球向火星发射人造天体的发射速度为最后可得由地球向火星发射人造天体的发射速度为25本讲稿第二十五页，共二十八页解：考虑产生解：考虑产生“黑洞黑洞”的条件：的条件：令笫二宇宙速度取其等于光速令笫二宇宙速度取其等于光速
17、c，则对质量为，则对质量为M的天体，的天体，要成为要成为“黑洞黑洞”，其半径需为，其半径需为引力半径引力半径第六章万有引力第六章万有引力例例7.2 引力半径与宇宙半径引力半径与宇宙半径若一物质均匀分布的半径为若一物质均匀分布的半径为 r 的球体内，密度为的球体内，密度为 r r，则总质量，则总质量为为又假设又假设 r 正好是引力半径，则正好是引力半径，则此式表示光不可能发射到此式表示光不可能发射到Rg以外的范围以外的范围宇宙环境的平均质量密度为宇宙环境的平均质量密度为10-26kg/m3，可得，可得宇宙半宇宙半径径26本讲稿第二十六页，共二十八页第六章万有引力第六章万有引力例例7.3 银河系为什么是扁的？银河系为什么是扁的？银河系在引力和离心力共同作银河系在引力和离心力共同作用下坍塌成盘状用下坍塌成盘状27本讲稿第二十七页，共二十八页本章基本要求本章基本要求1.1.掌握质点在有心力场中运动的基本规律掌握质点在有心力场中运动的基本规律.2.2.理解开普勒三定律的意义理解开普勒三定律的意义.3.3.掌握万有引力定律掌握万有引力定律.第六章万有引力第六章万有引力28本讲稿第二十八页，共二十八页