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1、第七章 非线性系统的分析方法12本讲稿第一页，共五十三页第七章第七章 非线性系统分析非线性系统分析 目的目的 掌握非线性控制系统的初步分析方法掌握非线性控制系统的初步分析方法内容内容作相平面图作相平面图相平面分析法相平面分析法本讲稿第二页，共五十三页7.1非线性控制系统概述非线性控制系统概述1.1.本质非线性特性本质非线性特性的基本特征的基本特征l不满足叠加定理不满足叠加定理l不能采用线性化方法处理问题不能采用线性化方法处理问题l稳定性问题稳定性问题 不仅与自身结构参数，且与输不仅与自身结构参数，且与输 入，入，初条件有关，初条件有关，平衡点平衡点可能可能不唯一不唯一l自持自持振荡问题振荡问题
2、 非线性系统特有的运动形式非线性系统特有的运动形式本讲稿第三页，共五十三页典型非线性环节典型非线性环节 饱和饱和 死区死区(不灵敏区不灵敏区)间隙间隙 继电特性继电特性本讲稿第四页，共五十三页本讲稿第五页，共五十三页2.2.典型的非线性特性典型的非线性特性继电特性继电特性本讲稿第六页，共五十三页饱和特性饱和特性本讲稿第七页，共五十三页死区（不灵敏区）死区（不灵敏区）本讲稿第八页，共五十三页死区特性死区特性线性线性+死区死区继电继电+死区死区饱和饱和+死区死区本讲稿第九页，共五十三页间隙特性间隙特性饱和间隙饱和间隙继电间隙继电间隙齿轮间隙齿轮间隙当输入量的当输入量的变化方向改变变化方向改变时，时
3、，输出输出量保持量保持不变不变，一直到输入量得变，一直到输入量得变化超出间隙值化超出间隙值本讲稿第十页，共五十三页典型非线性环节典型非线性环节 饱和饱和 死区死区(不灵敏区不灵敏区)间隙间隙 继电特性继电特性本讲稿第十一页，共五十三页稳态误差稳态误差ess 饱和饱和死区死区继电特性继电特性非线性特性非线性特性等效等效K*对系统的对系统的 影响影响举举 例例振荡性振荡性，s s限制跟踪速度限制跟踪速度晶体管特性晶体管特性滤除小幅值干扰滤除小幅值干扰电动机，仪表电动机，仪表抑制系统发散抑制系统发散容易容易导致自振导致自振开关特性开关特性非线性特性的定性分析非线性特性的定性分析本讲稿第十二页，共五十
4、三页 1）小扰动线性化小扰动线性化 2）非线性系统研究方法非线性系统研究方法 3）仿真方法）仿真方法全数字仿真全数字仿真 半实物仿真半实物仿真相平面法相平面法 描述函数法描述函数法研究自持振荡研究自持振荡反馈线性化法反馈线性化法微分几何方法微分几何方法非线性控制系统的分析方法非线性控制系统的分析方法本讲稿第十三页，共五十三页7.2 相平面分析法相平面分析法1.1.相平面与相平面图相平面与相平面图(相轨迹相轨迹)二阶微分方程二阶微分方程 系统变量系统变量相轨迹系统变量系统变量及及其导数其导数随时间变化随时间变化在相平面上描绘出来的轨迹在相平面上描绘出来的轨迹。本讲稿第十四页，共五十三页例：一阶线
5、性系统例：一阶线性系统画出其相平面图画出其相平面图。解：解：x x b 0 a0 本讲稿第十五页，共五十三页2.2.相轨迹作图相轨迹作图解析法作图（适用方程不显含解析法作图（适用方程不显含 ）相轨迹方程相轨迹方程本讲稿第十六页，共五十三页例：二阶系统如下，试绘制其相平面图例：二阶系统如下，试绘制其相平面图解：解：得椭圆方程得椭圆方程x&相平面 x 0 本讲稿第十七页，共五十三页等倾线法作图等倾线法作图相轨迹的斜率方程相轨迹的斜率方程则则相轨迹的相轨迹的等倾线等倾线方程方程思路：以切线代替曲线思路：以切线代替曲线本讲稿第十八页，共五十三页如何画出所有相轨迹？如何画出所有相轨迹？A本讲稿第十九页，
6、共五十三页给定一个斜率值给定一个斜率值，由等倾线方程，便可以在相由等倾线方程，便可以在相平面上画一条线，在这条线上的所有的点的切平面上画一条线，在这条线上的所有的点的切线的斜率是相同的，均为线的斜率是相同的，均为 ，因此该线称为，因此该线称为等等倾线倾线。改变。改变 的值，便可以作出若干条等倾线的值，便可以作出若干条等倾线充满整个相平面。充满整个相平面。本讲稿第二十页，共五十三页例例7-1：二阶线性定常系统二阶线性定常系统试用等倾线法作该系统的相平面图。试用等倾线法作该系统的相平面图。解：解：等倾线方程为等倾线方程为本讲稿第二十一页，共五十三页-1-2-3012等倾线斜率11/2-1-1/2-
7、1/3本讲稿第二十二页，共五十三页 a=-2-3-5 x 3 1 0-3/4-1/2-3/7-5/4-3/2-5/3-1/3 1/3-1 x 本讲稿第二十三页，共五十三页3.3.相轨迹的运动特性相轨迹的运动特性相轨迹的运动方向相轨迹的运动方向上半平面的相轨迹右上半平面的相轨迹右行；行；下半平面的相轨迹左行；下半平面的相轨迹左行；过实轴相轨迹斜率为过实轴相轨迹斜率为。本讲稿第二十四页，共五十三页相轨迹的对称性相轨迹的对称性 x 轴对称轴对称若若则相轨迹对称于则相轨迹对称于x 轴轴 轴对称轴对称若若则相轨迹对称于则相轨迹对称于 轴轴本讲稿第二十五页，共五十三页 原点原点对称对称若若则相轨迹对称于则
8、相轨迹对称于原点原点本讲稿第二十六页，共五十三页4.4.相轨迹的奇点相轨迹的奇点定义：二阶系统定义：二阶系统 在相平面上满足在相平面上满足 的点的点在奇点上相轨迹的斜率不定，为在奇点上相轨迹的斜率不定，为由奇点可以引出不止一条相轨迹由奇点可以引出不止一条相轨迹本讲稿第二十七页，共五十三页5.5.奇点邻域的运动性质奇点邻域的运动性质趋于奇点趋于奇点远离奇点远离奇点包围奇点包围奇点例：二阶线性定常系统例：二阶线性定常系统试分析其奇点运动性质。试分析其奇点运动性质。本讲稿第二十八页，共五十三页相轨迹趋于原点，该奇点称为相轨迹趋于原点，该奇点称为稳定节点稳定节点本讲稿第二十九页，共五十三页相轨迹远离原
9、点，该奇点为相轨迹远离原点，该奇点为不不稳定节点稳定节点本讲稿第三十页，共五十三页相轨迹振荡趋于原点，该奇点为相轨迹振荡趋于原点，该奇点为稳定焦点稳定焦点本讲稿第三十一页，共五十三页相轨迹振荡远离原点，为相轨迹振荡远离原点，为不不稳定焦点稳定焦点本讲稿第三十二页，共五十三页相轨迹为同心圆，该奇点为相轨迹为同心圆，该奇点为中心点中心点本讲稿第三十三页，共五十三页系统特征根一正一负，相轨迹系统特征根一正一负，相轨迹先趋向于先趋向于然后远离原点，然后远离原点，称为称为鞍点鞍点本讲稿第三十四页，共五十三页例：试确定二阶非线性系统的例：试确定二阶非线性系统的奇点奇点并分析奇点并分析奇点的运动性质的运动性
10、质解：解：由由奇点为奇点为本讲稿第三十五页，共五十三页在奇点邻域，其线性化方程为在奇点邻域，其线性化方程为在奇点在奇点邻域邻域线性化方程为线性化方程为特征根为特征根为奇点类型为奇点类型为不稳定焦点不稳定焦点本讲稿第三十六页，共五十三页6.6.极限环极限环在相平面上在相平面上闭合的相轨迹闭合的相轨迹表现为表现为非线性系统的非线性系统的自持振荡自持振荡本讲稿第三十七页，共五十三页相平面图分析相平面图分析1 1、分区作出系统的相平面图。、分区作出系统的相平面图。2 2、分析系统的稳定性。、分析系统的稳定性。3 3、分析系统是否具有、分析系统是否具有极限环极限环。4 4、参考线性系统的性能指标来考虑该
11、非线、参考线性系统的性能指标来考虑该非线 性系统的调节时间与超调量等。性系统的调节时间与超调量等。本讲稿第三十八页，共五十三页例：继电控制系统，阶跃信号作用下，试用例：继电控制系统，阶跃信号作用下，试用相平面法分析系统运动。相平面法分析系统运动。解：解：1.作相平面图作相平面图线性部分线性部分误差方程误差方程本讲稿第三十九页，共五十三页非线性部分非线性部分时，运动方程为时，运动方程为等倾线方程为等倾线方程为时，运动方程为时，运动方程为等倾线方程为等倾线方程为本讲稿第四十页，共五十三页2.给定初值给定初值 作相轨迹作相轨迹3.3.系统性能分析系统性能分析运动是分区的组合，运动是分区的组合，为翻转
12、条件，为翻转条件，运动连续，有运动连续，有振荡振荡本讲稿第四十一页，共五十三页补充：补充：描述函数法描述函数法1.1.描述函数的定义描述函数的定义前提：前提：固有特性固有特性 G0(s)一般具有低通特性，一般具有低通特性，近似认为信号的高频分量不能传递到输出端。近似认为信号的高频分量不能传递到输出端。本讲稿第四十二页，共五十三页若若 为奇函数，则为奇函数，则基波分量基波分量 非线性环节非线性环节输入输入输出信号为周期非正弦信号，展开付氏级数输出信号为周期非正弦信号，展开付氏级数本讲稿第四十三页，共五十三页定义：定义：输出信号的基波分量与输入正弦信号输出信号的基波分量与输入正弦信号 之比，为非线
13、性环节的之比，为非线性环节的描述函数描述函数。说明说明:1)1)以幅值与相位变化来描述，类以幅值与相位变化来描述，类 似频率特性。似频率特性。2)2)略去高频信号，只考虑基频，略去高频信号，只考虑基频，因此不同于线性系统的频率特性。因此不同于线性系统的频率特性。本讲稿第四十四页，共五十三页2.2.非线性环节的描述函数非线性环节的描述函数继电特性继电特性描述函数描述函数本讲稿第四十五页，共五十三页饱和特性饱和特性描述函数描述函数本讲稿第四十六页，共五十三页2.2.非线性系统的描述函数分析非线性系统的描述函数分析闭环频率特性闭环频率特性闭环特征方程闭环特征方程本讲稿第四十七页，共五十三页非线性系统
14、的稳定性描述非线性系统的稳定性描述 当当 曲线不包围曲线不包围 曲线时，该曲线时，该非线性系统是稳定的。非线性系统是稳定的。本讲稿第四十八页，共五十三页 当当 曲线包围曲线包围 曲线时，该非曲线时，该非线性系统不稳定。线性系统不稳定。本讲稿第四十九页，共五十三页 当当 曲线与曲线与 曲线相曲线相交时，系统可能是稳定的、发散的，或交时，系统可能是稳定的、发散的，或者是自持振荡的者是自持振荡的 本讲稿第五十页，共五十三页例：已知死区继电非线性系统如图例：已知死区继电非线性系统如图继电参数：继电参数：死区参数：死区参数：应用描述函数法作系统分析。应用描述函数法作系统分析。解：解：1.死去继电特性的描述函数死去继电特性的描述函数本讲稿第五十一页，共五十三页2.绘制描述函数的负倒数特性绘制描述函数的负倒数特性3.绘制线性部分的极坐标图绘制线性部分的极坐标图4.判断稳定性，分析两曲线相交点的性质判断稳定性，分析两曲线相交点的性质本讲稿第五十二页，共五十三页本讲稿第五十三页，共五十三页