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1、函数的单调性与导数第1页，共35页，编辑于2022年，星期五（4）.对数函数的导数对数函数的导数:（5）.指数函数的导数指数函数的导数:（3）.三角函数三角函数：（1）.常函数：常函数：(C)/0,(c为常数为常数)；（2）.幂函数幂函数：(xn)/nxn 1复习：基本初等函数的导数公式复习：基本初等函数的导数公式第2页，共35页，编辑于2022年，星期五单调性的定义单调性的定义对于函数yf(x)在某个区间上单调递增递增或单调递递减减的性质性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性单调性，这个区间区间叫做f(x)的单调区间单调区间。一一般般地地，设设函函数数y=f(x)的的定定义义域域为为I，如如
2、果果对对于于定定义义域域I内内的的某某个个区区间间D内内的的任任意意两两个个自自变变量量x1，x2，当当x1x2时时，都都有有f(x1)f(x2)，那那么么就就说说f(x)在在区区间间D上上是是增函数增函数 第3页，共35页，编辑于2022年，星期五判断函数单调性有哪些方法？判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数比如：判断函数 的单调性。的单调性。xyo函数在函数在 上为上为_函数，函数，在在 上为上为_函数。函数。图象法图象法定义法定义法减减增增如图：如图：第4页，共35页，编辑于2022年，星期五思考：那么如何求出下列函数的单调性呢思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?(1)f(x)=2
3、x(1)f(x)=2x3 3-6x-6x2 2+7 +7 (2)f(x)=e(2)f(x)=ex x-x+1 -x+1 (3)f(x)=sinx-x(3)f(x)=sinx-x发现问题：发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如：时。例如：2x2x3 3-6x-6x2 2+7+7，是否有更为简捷的方法，是否有更为简捷的方法呢？下面我们通过函数的呢？下面我们通过函数的y=xy=x2 24x4x3 3图象来图象来考察考察单调性单调性与与导数导数有什么关系有什么关系第5页，共35页，编
4、辑于2022年，星期五2yx0.再观察函数再观察函数y=xy=x2 24x4x3 3的图象：的图象：总结总结:该函数在区间该函数在区间（，2）上）上单减单减,切线斜率切线斜率小于小于0,即其即其导数为负导数为负;而当而当x=2时其切线时其切线斜率斜率为为0,即即导数为导数为0.函数在该点单调性发函数在该点单调性发生改变生改变.在区间（在区间（2，+）上）上单增单增,切线斜率切线斜率大于大于0,即其即其导数为正导数为正.第6页，共35页，编辑于2022年，星期五xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3 观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正探讨函数的单调
5、性与其导函数正负的关系负的关系.结论：在某个区间结论：在某个区间(a a,b b)内内,如果如果 ,那么函数那么函数 在这个区间内在这个区间内单调递增单调递增;如果如果 ,那么那么函数函数 在这个区间内在这个区间内单调递减单调递减.如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有f f(x)=0,(x)=0,则则f(x)f(x)为常数函数为常数函数第7页，共35页，编辑于2022年，星期五注意：应正确理解注意：应正确理解 “某个区间某个区间”的含义的含义,它必它必是是定义域内的某个区间定义域内的某个区间。第8页，共35页，编辑于2022年，星期五几何意义：几何意义：关系：关系：思考思考2：结合函数单调
6、性的定义，思考某个区间上函数结合函数单调性的定义，思考某个区间上函数 的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。课本思考课本思考思考思考1：如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ，那么函数，那么函数 有什么特性？有什么特性？第9页，共35页，编辑于2022年，星期五第10页，共35页，编辑于2022年，星期五例例1 1、已知导函数、已知导函数 的下列信息：的下列信息：当当1x41x0;0;当当x4,x4,或或x1x1时，时，0;0从而函数f(x)=x3+3x在xR上单调递增，见右图。第15页，共35页，编辑于2022年，星期五(2)f(x)=x2-2x
7、-3 ;解：=2x-2=2(x-1)图象见右图。当 0，即x1时，函数单调递增；当 0，即x1时，函数单调递减；第16页，共35页，编辑于2022年，星期五(3)f(x)=sinx-x ;x(0,)解：=cosx-10，即 时，函数单调递增；第18页，共35页，编辑于2022年，星期五图象见右图。当 0(B)0(B)11a1(C)1(D)01(D)0a1 1 A A第30页，共35页，编辑于2022年，星期五第31页，共35页，编辑于2022年，星期五第32页，共35页，编辑于2022年，星期五证明：令证明：令f(x)=e2x12x.f(x)=2e2x2=2(e2x1)x0，e2xe0=1，2
8、(e2x1)0,即即f(x)0f(x)=e2x12x在在(0，+)上是增函数上是增函数.f(0)=e010=0.当当x0时，时，f(x)f(0)=0，即，即e2x12x0.1+2xe2x2.当当x0时，证明不等式：时，证明不等式：1+2xe2x.分析：假设令分析：假设令f(x)=e2x12x.f(0)=e010=0,如如果能够证明果能够证明f(x)在在(0，+)上是增函数，那么上是增函数，那么f(x)0，则不等式就可以证明则不等式就可以证明.点评：点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.第33页，共35页，编辑于2022年，星期五3.3.设设f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间，试确定恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并的取值范围，并求其单调区间。求其单调区间。第34页，共35页，编辑于2022年，星期五提示提示:运用导数判断单调性运用导数判断单调性,根据函数的单调性比较函数值大小根据函数的单调性比较函数值大小第35页，共35页，编辑于2022年，星期五